А вы знали эти свойства параболы?
Сегодня мы рассмотрим удивительные свойства всем известного графика. О них не говорят школах, но зато используются на практике или же обладают геометрической красотой
Поддержать канал и получить бонусы: boosty.to/wildmathing (либо по кнопке «Спонсировать» под видео)
Олимпиадная математика: vk.com/wall-135395111_24068
ЕГЭ: vk.com/wall-135395111_24068
Преподавателям: vk.com/wildmathing?w=product-...
VK: vk.com/wildmathing
Задачник: vk.com/topic-135395111_35874038
УТОЧНЕНИЕ
Вопрос в начале ролика был о изображенном круге. И конкретно он после очередного отскока движется по идеальной параболе: так уж запрограммирован. Но если учесть то, что вектор гравитации направлен к центру Земли, то траекторией реального мяча будет служить дуга эллипса, которая на глаз будет неотличима от параболы. Однако такой фактор было бы странно рассматривать в модели движения, но при этом не учитывать сопротивление воздуха и направление ветра, то есть в общем случае траекторией будет служить более произвольная кривая. Кроме того, возможен вырожденный случай - прямая.
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Гравитация и траектория движения
0:17 - Прямые образуют кривую?
0:45 - Парабола в пространстве
1:25 - Еще одна огибающая
1:48 - Геометрический подход
2:33 - Оптическое свойство
2:48 - Парабола делает жизнь лучше
3:37 - График квадратичной функции
4:28 - Единство конических сечений
5:20 - Теорема Паскаля
6:00 - Потрясающий факт!
6:30 - Для настоящих математиков
7:48 - Удивительная связь!
8:25 - Геометрия в картинках
9:30 - Фантастический факт!
10:20 - Божественная анимация
ЛИТЕРАТУРА
1) А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка: mccme.ru/free-books/akopyan/Z...
2)А. В. Акопян. Геометрия в картинках: mccme.ru/free-books/akopyan/A...
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: • #200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕ...
2. Революционер в математике: • ГАЛУА. Революционер в ...
3. Проблемы Гильберта: • ГИЛЬБЕРТ. Величайшие п...
4. Теоремы XX века: • Теоремы XX века!
5. Красивейшие фракталы: • 10 фракталов, которые ...
Обязательно поиграйтесь с параметрами кривой второго порядка здесь: www.desmos.com/calculator/n4xchbhae5 Ученые долго скрывали эти свойства параболы. Но, как оказалось, достаточно было открыть простой советский... . . . . . . . . . . учебник.
МА одобряет
спасибо за видео, скажите пожалуйста, а в какой программе можно создать такую анимацию?
@@chu6275, спасибо за интерес! Анимации создаю с помощью Python: kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.html
Почему с опозданием на 3 дня?
@@WildMathing спасибо за ответ!
Как восьмикласник недавно прошедший квдаратичную функцию, скажу это удивительно!)
Мы изучали подобное на линале на первом курсе, поэтому жди) Есть мотивация не уйти после 9)
Как старый 47 дядька, забывай половину школьной программы скажу-это явно колдовство какое-то 😅
Брахистохрона ещё удивительней!
как девятиклассник, написавший огэ, скажу, что ну не хватает в школьной программе такого. надеюсь в 10 расскажут :)
@@user-mi9xy2ee1l не а, только в мат школе, а там весело) проверенно
я реально удивлён вашей подачей, голос, ум, ваше умение писать коды… это нечто, вы самый умный человек, которого я встречал в интернете
Wild, это самое красивое произведение математического искусства на канале! Качество и интерес материала растёт и растёт! Спасибо за ваш труд!
Большое спасибо! Приятно!
Хотите верьте, хотите нет, но у меня все видео ком в горле стоял. От того, какая же это красота, и от того, как же я много теряю, не доходя до всего этого сам. Учусь в 11 классе, неплохо (вроде бы) знаю математику и даже на олимпиады ходил. Но такие видео напрочь ломают мою уверенность в хоть каком-то понимании математики, настолько она для меня непостижима. Грустно все это в общем.
почему грустно- это не постижимость мира, чем больше знаем, тем больше граница с неизвестностью
Ничего страшного, когда поступите в университет Вам всё этотрааскажут на аналитической геометрии)
Грустить не стоит: свойства квадратичной функции тебе и так знакомы, конические сечения и соответствующие уравнения еще доведется изучить в университете. Оптическое свойство параболы наверняка запомнится из этого видео, и при желании ты можешь попробовать доказать его сам. А все остальное - это уже специализация (ссылки на книги в описании). Так и учимся!
Погоди, поступишь в вышку на аналит.геометрии СТОЛЬКО нового узнаешь. Это реально красиво и завораживает. Прям рай перфекциониста.
@@WildMathing когда нам всё это рассказывали в 9 классе в физико-математическом лицее, да ещё заставляли учить доказательства, я ничего не понимал... Если бы тогда мне показали столь простые и наглядные анимации, я бы сразу всё понял. У нового поколения математиков есть большое преимущество: цифровые технологии. И огромное спасибо Вам, что его реализуете!
Ничего удивительного, Wild Mathing как обычно выпустил ЛЕГЕНДАРНОЕ видео! Огромное спасибо вам за труд! Всегда ценил вас как одного из лучших он-лайн ютуберов.
О Боже, какая красота, какое великолепие... А ещё эта качественная картинка в 4К, звуковое оформление, подача... Просто потрясают. Желаю столь невероятному каналу стремительного процветания и долгих лет активного творчества!
Рад, что понравилось! Спасибо!
Немного не в тему, но расскажу кулл стори применения фокусов эллипса. Я работал с твердотельным лазером. Есть стеклянный эллиптический цилиндр. На боковой поверхности серебряное напылением, отражающей поверхностью внутрь. В одном из фокусов находится ультрафиолетовая лампа, а в другом активный элемент (АЭ) в виде цилиндра из неодимового стекла. Естественно исходя геометрии, свет лампы при вспышке фокусируется на АЭ. И возникает лазерный импульс. Им можно сваривать, перфорировать металл. Ну ещё нужно не забыть поставить два зеркала с торцов АЭ, чтобы работало все. Ну вот, теперь вы немного знаете про лазеры, в них тоже много геометрии). Ну и без тригонометрии, линейной алгебры, даже топологии ничего не выйдет)
Это отличная история! В медицине с помощью похожего лазера и оптического свойства эллипса «лечат» камни в почах
Ох уж эти ученые. Постоянно что-то скрывают. От тех кто ничем не интересуется )
Большое спасибо за этот шедевр! Всё больше ощущается одно: математика была найдена - не изобретена!
6:00 Доказательство: Рассмотрим две параболы с вертикальной и горизонтальной осями симметрии y=a(x-h)^2+k и x=b(y-v)^2+u соответственно. Пусть они пересекаются в точках (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) и (x4, y4). Точки пересечения можно найти путем решения системы из двух уравнений: y=a(x-h)^2+k (1) x=b(y-v)^2+u (2) Поскольку оси парабол перпендикулярны, можно предположить, что a!=b (если a=b, то параболы совпадают и имеют бесконечное количество точек пересечения). Выразим x и y из (1) и (2) и подставим одно в другое. Получим уравнение, описывающее окружность: (x-h)^2 + (y-v)^2 = ((a+b)/ab)(x-u)^2 + ((a+b)/ab)(y-u)^2 Таким образом, точки пересечения двух парабол лежат на одной окружности с центром в точке (u, v) и радиусом R = sqrt((a+b)/ab). Если а=a, то можно предположить, что a>0, тогда перед полученным уравнением окружности будет стоять положительный коэффициент, что гарантирует существование такой окружности. Таким образом, мы доказали, что точки пересечения двух парабол, оси которых перпендикулярны, всегда лежат на одной окружности.
6:24 очень красиво утверждение, узнал его давно, но за недавнее время всплыло столько красивых доказательств, что попробую описать их здесь: 1. посчитать в координатах(а почему бы и нет?) 2. векторные пространства(по сути тот же счет в координатах, но в одну строчку) 3. степень точки относительно параболы 4. изогональное сопряжение(при сопряжении описанная вокруг треугольника парабола переходит в касательную к описанной окружности) 5. Теорема Дезагра о проективной инволюции Геометрия по истине красива, такое простое в формулировке, но бесконечное по объему фактов за собой утверждение
Как всегда шикарно. Спасибо за столь качественный контент!
Насколько же это прекрасно, будто созерцание произведений искусства!
The best insight into the life of parabola ever! Wild Mathing is surprising us once again! Keep it working, comrade! We will strive for knowledge and acquire it with Your help! Deeply appreciate Your work!
Oh, thank you for the kind words!
Красота! Нам бы в 80-е такой контент к тому образованию....
Как интересно!!! Спасибо 🙏💕
Как всегда прекрасное видео!
Это прекрасно. Это просто наслаждение и для разума и для глаза. Спасибо!
Спасибо, Сергей! Очень приятно
Неожиданные, удивительные свойства параболы. Спасибо за видео с прекрасной анимацией.
Превью топ! Очень милая улыбка😅
Прекрасное видео, прекрасный формат. А задачка с пересекающимися параболами была года четыре назад в олимпиаде Физтех (вроде бы)
По задаче 6:20. Можно просто написать уравнения двух таких парабол, сложить их и получим, что точки пересечения парабол удовлетворяют уравнению окружности.
Подтверждаю!
очевидно, вновь шедевр! спасибо
Так, я придумал такое доказательство: y = ax2 + bx +c X = qy2 + wy + e - формулы парабол и, по совместительству, система уравнений (1) Сложим уравнения порабол: ax2 + x(b-1) + c + qy2 +y(w-1) + e = 0 Выразим полные квадраты: a(x+a(b-1)/2)^2 + q(y + q(w-1)/2) = …-уравнение (2) А т.е. множество всех вероятных решений системы уравнений (1) принадлежит множеству задаваемую уравнением (2), которое по своей общей форме задает эллипс, который при a и q = 0 превращается в окоужность
Это не просто удивительно, это шикарно! Супер ролик, супер подача, супер всё! Математика бест оф зе бест :)
Огромное спасибо! Замечательные иллюстрации. Последний факт заставил задуматься над отличиями между параболами в другом русле
Это великолепно! Математика красива и безупречна!
Свойство подобия парабол обнаружил сам в 8-ом классе, когда для облегчения домашки написал простенькую прогу для решения квадратных уравнений. Прога решала уравнение и рисовала график. Что бы график всегда был хорошо виден и был по центру экрана добавил автомасштабирование и смещение начала координат. С удивлением обнаружил, что после этого ВСЕ графики стали выглядеть АБСОЛЮТНО одинаково.
Это очень здорово! Должен признать, что сам я только в процессе создания этого видео понял, что увеличиение старшего коэффициента дает тот же эффект, что и отдаление камеры
@@WildMathing, обобщения всегда удивляют. Свойство параболы, увиденное как бы камерой, это не "скольжение" параболы по сечениям конуса?
Ролик прекрасен, жду продолжения серии! Как вы делаете такие потрясающие анимации?
Спасибо! Может, еще доведется развить тему Анимацию создаю с помощью Python: kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.html
Прекрасное видео!
Несколько лет назад, ещё в средней школе, я влюбился в математику, влюбившись в планиметрию. Прошло время, и казалось бы, это невероятное ощущение красоты и открытия при наблюдении удивительных геометрических конструкций осталось лишь в воспоминаниях, заменившись алгеброй и анализом…но не тут-то было. Спасибо, что вновь вдохнул жизнь в эти чувства!
Отличное видео! Довольно понятные и красивые факты :) Да, ребяток с ФКН такими не удивить, но анимация шедевральная
Большое спасибо за видеоролик! Математика красива!
Рад делиться красотой! Спасибо вам!
Божественная красота
Это очень круто!!!
Я просто выпал от данного видео. Моя жизнь ни когда не станет прежней. Респект.
Крутое видео!!! Удачи
Рад, что понравилось! Спасибо!
я сам в 11 классе, начал гореть математикой только с конца 10 класса. я сам не знаю, как так получилось, но я только рад этому. хочу вот в будущем, будучи на курсе 2-3, пойти учителем в моей школе подрабатывать. ваш канал просто что-то с чем-то! он подходит вообще для любой аудитории
9:40 Это потому что у эллипса - два параметра, независящих друг от друга и нельзя найти общий коэффициент, чтобы он влиял на оба параметра как надо. А вот у параболы и круга - по одному такому параметру. Соотвественно через один коэффициент его можно преобразовать во что угодно, главное подобрать\найти это коэффициент.
Какие именно параметры вы имеете ввиду?
Это красиво. Это красота математики
хотелось бы такой же жеванный анализ про цепную функцию мы ее по всюду видим
Уау! Это взрыв красоты!
Спасибо за видео. Как всегда красиво. Как всегда мало. Но для школьников пойдет
Это прекрасно.
10:06 Мы не только в это верим, но и умеем доказывать)))
Это просто красотища!
Ждём шары Данделена!)
Круто!! П.с. у вас в описании в "ЛИТЕРАТУРА" в первом пункте написано не "Акопян", а "Акпоян" :)
Спасибо, исправил!
Сейчас вот игрался в Desmose с параболой x^2+bx и включил анимацию изменения по b. Оказалось, что при этом вершина параболы движется по параболе -x^2. Удивительно!
Вершина любой параболы, заданной функцией f(x), имеет координаты (x₀, f(x₀)), так что подтверждаю квадратичную зависимость!
Здравствуйте, раньше был очень интересный ролик про Галуа, его печальную историю и труды. Можно узнать - будет ли какой-нибудь ролик о других великих математиках? Гедель, Паскаль, Лейбниц и прочее?
Добрый день! Спасибо за интерес! С этим есть сложности, но скоро кое-что может сдвинуться с места. Сейчас биографических роликов 4, не считая диафильмов: 1. Гильберт: kzhead.info/sun/l7anmJmXoWKJoY0/bejne.html 2. Рамануджан: kzhead.info/sun/Z8V-m5yfmGuEdmw/bejne.html 3. Галуа: kzhead.info/sun/n9WQZbqsfYebrKc/bejne.html 4. Ковалевская: kzhead.info/sun/fciaXbKjrHyjh58/bejne.html
6:20 вроде бы была такая задача на олимпиаде типа интернет этапа высшей пробы
Это классический сюжет на самом деле. На «Высшей пробе» уже не первый раз дают картинки из Акопяна
7:35 Я уже хотел возразить, но услышал слово "явно" и передумал)
я просто вас обожаю…
невероятно красиво
В школе ещё, когда строил параболы в других масштабах, заметил, что они всегда подобны: интересное свойство
Красиво как!!!
Круто!!! Концовку только не понял(😂
Спасибо! Насчет концовки: существуют фигуры которые подобны между собой (имеют одинаковую форму, но отличаются в размерах). Так, например, все квадраты подобны между собой. Как бы ни располагался один из них на плоскости, мы всегда с помощью движения, а также растяжения фигуры «равномерно по обеим осям», можем добиться того, что один квадрат совпадет с другим. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 подобен треугольнику со сторонами 6, 8, 10: у них равные углы, а соответственные стороны отличаются ровно в два раза. Но понятно, что существуют и фигуры, которые не подобны между собой, хотя и принадлежат одному классу. Например, тот же треугольник со сторонами 3, 4, 5 не подобен правильному треугольнику со сторонами 3, 3, 3: у них разные углы. И никакое растяжение (гомотетия) не позволит этим треугольникам совпасть. Прямоугольник с соотношением соседних сторон 2: 1 не подобен прямоугольнику, соседние стороны которого относятся 3:1. В финале мы рассмотрели два родственных типа объектов: все окружности подобны между собой, а эллипсы - нет. Возникает аналогичный вопрос насчет парабол. Они все подобны между собой или нет? Для многих в новинку то, что ответ на этот вопрос положительный: демонстрирую это в ролике
Магия!)
Все эти свойства очевидны. На все вопросы я дал ответ еще до пояснения автором, а на некоторые до того, как был задан вопрос.
Пора записывать курс по ангему с анимациями
Спасибо за такую красоту!!! (я преподаватель математики) Программа, на которой это делается, какая-то особая, или можно и нам, простым смертным, на ней показывать такие чудесные фокусы?
Спасибо, что оценили! Анимации написаны с помощью Python: kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.html Под силу всем, но требуется предварительная подготовка. Какие-то вещи с чуть менее высоким качеством можно реализовать в GeoGebra: www.geogebra.org
@@WildMathing Спасибо! Я тут подсела на Ваши ролики - познавательные и видеоуроки! Очень много важной информации. Буду рекомендовать своим ученикам. (Да и сама узнаю много нового.) Спасибо за Ваш труд. Спасибо за популяризацию наук. И спасибо за красоту, эмоции от просмотра - чудесные!
@@karinasoyan, спасибо, что написали эти добрые слова! Каждый новый зритель - всегда радость, мотивирует продолжать!
Нет ответа на самые главные вопросы: чем определяется у параболы параметр "p"; почему это у параболы один фокус, а не два; почему расстояние от вершины параболы до фокуса равно именно половине величины параметра "p" параболы, а не, скажем, его трети? Остальные вопросы я даже боюсь задавать. .... )))
Click bait detected! На вилы надо этих учёных, которые такие секреты от простых смертных скрывают.
Следующим ждём геометрические тайны кубического многочлена😊
8:07 "центры этих окружностей лежат на биссектрисах смежных углов". Не односторонних углов?
Первый случай это напоминает о прямолинейных образующих параболоида
WM, у меня такой вопрос, под прошлым роликом Я оставил комментарий с моими идеями для роликов(спасибо что лайкнули!). Вопрос в том, будут ли видео на мои темы? Ответьте пожалуйста в ответах на комментарий! От любого ответа не расстроюсь, ведь Вы лучший математический блогер! Я даже буду рад если вы просто ответите на комментарий! Залайкайте чтобы WM увидел!❤
Приветствую! Спасибо за добрые слова и интерес! Бином Ньютона для четвертой степени геометрически не планируется в ближайшее время, но это не значит, что его никогда не будет. А красивые уравнения нам еще наверняка встретятся: может, в том числе совместно с GPT
@@WildMathing , спасибо, очень приятно читать эти слова! Желаю вам всего хорошего!
Наш ответ 3blue1brown!!! Жду новых видео❤
Очень ценю!
Слушай, а сможешь ли объяснить математический парадокс "Колесо Аристотеля"? И как математики прошлых веков объясняли его?
Красотища!
Почему у таких отличных видео, сравнимых с 3brown1blue так мало просмотров? Сам занимаюсь математикой давно, но эти видео так восхищают и мотивируют. Большое автору спасибо
😢😢😢 почему так мало?
Так и любые два элипса проецируются друг на друга при повороте вокруг их главных осей! Точно так же как и все треугольники проецируются друг на друга
Речь идет о преобразованиях подобия. В этом случае не любые два эллипса подобны между собой ru.wikipedia.org/wiki/Подобие
- Насколько красива математика? - Да.
4:45 кто нибудь разбирал вот это?
Где можно найти гайд по созданию таких видео?
kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.html kzhead.info/sun/qJyzfKWNqaGLpHA/bejne.html
Что за музыка играет на фоне?
Увы, секрет: boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
А откуда вы берете столько интересных фактов?)
Рад, что было интересно! Две особенно полезные книги по теме указал в описании
0:10 Может я душню, но чисто технически это не совсем порабола так как ускорение все же меняется.
Это хорошее замечание! Но конкретно на изображенной модели, про которую был вопрос, все-таки идеальная парабола, потому что ускорение свободного падения в коде сцены фиксировано
Фантастический факт тесно связан с коэффициентом "a" в уравнении пораболы. Кто знает, скажите, Я верно думаю?
В разделе "Для настоящих математиков", что такое и откуда берётся "оптическое свойство"? Там же: где доказательство, что перед нами биссектриссы односторонних углов?
Спасибо за интерес! Оптическое свойство показываю в этом же ролике: см. 2:33. Мы его и доказывали как-то раз: kzhead.info/sun/maumY9uSmYengYE/bejne.html У научно-популярного ролика нет цели доказать все утверждения, но интересующее вас как раз было доказано. Найдите на рисунке розовую прямоугольную трапецию. Затем односторонние углы: лучи, исходящие из их вершин, являются биссектрисами как раз по оптическому свойству параболы. Что и требовалось доказать
Подскажите пожалуйста как Вы такие анимации делаете ?
Здесь все детали: kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.html
@@WildMathing Спасибо большое)
поздравьте меня! последнее свойство парабол я интуитивно изложил для себя ещё лет 20-30 назад и говорил об этом некоторым своим друзьям.
💚💚💚
Лишь слив юмш мы обретаем свободу
🖤
Увидеть красоту в обыденном - вот что значит математика
я человек простой, вижу Виктора Глушкова на превью -- включаю видос, ставлю лайк не глядя))
Не думал, что он так узнаваем!
❤❤❤
Wild, что такое поворотная гомотетия?
Это композиция поворота и гомотетии, имеющих общий центр: mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl19.htm
@@WildMathing спасибо🙏
0:02 Не по параболе, а по очень похожей на параболу дуге эллипса
В ролике речь идет об изображенном круге. И он движется по параболе: так уж запрограммирован. Если же вы хотите учесть даже незначительные факторы в вашей физической модели, то и про сопротивление воздуха не стоит забывать, тогда уж, извините, ни эллипса, ни параболы
Лайк сразу
я в шоке с этих видео
Про подобие парабол - очень интересный и малоизвестный факт
Я вообще в шоке.. неужели все параболы между собой подобны??
А как называется область (области) математики, в которой излагаются эти факты?
Большинство фактов здесь из элементарной геометрии (которую изучают в школе), некоторые из аналитической геометрии (1-й курс университета). В описании есть книги по теме
Рай перфекциоиста)
Хотя я знал всё эти теоремы, но ваша подача материала на более высоком уровне. Возможно я не внимательно смотрел ваше видео я не нашёл одной теоремы. Если провести прямую через середину хорды и точку пересечения касательных к концам хорды, то прямая будет перпендикулярна директрисе.
Спасибо за интерес! На самом деле в ролик не вошло несколько тысяч фактов, связанных с параболой. Около сотни особенно интересных из них можно найти в книгах, которые оставил в описании
Можно ли сказать, что большинство секретов параболы открывают конические сечения? В проективном наблюдении за параболой многие факты выглядят лишь, как искрометная россыпь. Конус и его сечения хорошо бы давать в школе. Сразу дает объемное видение.
Думаешь шаришь в матане? Wild Mathing за 5 минутное видео это опровергнет