Какая фигура является идеальной?
Разбираем знаменитую изопериметрическую задачу (задачу Дидоны). Сложный вопрос, красивая симметрия и настоящая геометрия!
Поддержать канал и ПОЛУЧИТЬ БОНУСЫ: boosty.to/wildmathing
РОЛИК ВЫШЕЛ БЛАГОДАРЯ УЧАСТНИКАМ КУРСОВ
Занятия в октябре-ноября по ЕГЭ: vk.com/wall-135395111_28047
Олимпиадная математика: vk.com/wall-135395111_24068
Преподавателям: vk.com/wildmathing?w=product-...
VK: vk.com/wildmathing
Задачник: vk.com/topic-135395111_35874038
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Прелюдия
0:37 - Симметрия помогает
1:26 - Возвращаемся к античности
2:01 - Идея выпуклости
3:07 - Неравновеликие части?
4:02 - Самая сложная загадка!
5:30 - Решение задачи Дидоны
5:55 - А нет ли ошибки?
6:38 - Ответ на исходную задачу
7:00 - Изопериметрическое неравенство
7:40 - Благодарности
7:56 - Финальный аккорд
БОЛЬШЕ КРАСИВОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Физика + геометрия: • Удивительная связь физ...
2. Удивительные факты с анимацией: • Удивительные факты гео...
3. Теоремы XX века: • Теоремы XX века!
4. Принцип Дирихле в геометрии: • УДИВИТЕЛЬНЫЙ математич...
5. Гармония четырехугольников (feat. МО): • Гармония четырехугольн...
ДЕТАЛИ ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ
(Вопросы-ответы)
- Как доказать эквивалентность формулировок в момент 1:30?
- Это хороший вопрос! Мы выяснили, что при фиксированном периметре (длине граничной кривой) наибольшей площадью обладает круг. Покажем, что отсюда вытекает то, что при фиксированной площади наименьшим периметром обладает также круг.
Предположим, это не так и найдется иная фигура (отличная от круга) с той же площадью S, но меньшим периметром L. Мы знаем (из задачи Дидоны), что тогда найдется круг большей площади, чем S, но того же самого периметра L. А это влечет существование круга с площадью S и периметром меньшим, чем L. Противоречие. Значит, при фиксированной площади наименьшим периметром обладает именно круг, ч.т.д. В обратную сторону рассуждения аналогичны.
- Чему равна длина прямого разреза и намного ли она хуже дуги окружности? Почему в ролике об этом не рассказали?
- Численное сравнение произвести относительно легко, но счет уводит от основной цели видео, поэтому они даны в виде вопроса (6:57). Но, естественно, могу уточнить здесь: длина показанной дуги окружности составит 0,6734..., если сторона исходного треугольника равна единице. В то время как прямой разрез будет иметь длину 1/√2=0,7071...
- Почему концы разреза не могут располагаться на одной стороне треугольника?
- Несложно показать, что изначальный разрез будет оптимальным, только если его концы будут лежать на двух сторонах треугольника. Если вдруг оба конца окажутся на одной стороне треугольника, то рекомендую желающим зеркально отразить конструкцию относительно соответствующей стороны треугольника - получится замкнутая кривая, и дальше уже ясно, как рассуждать. Еще одно важное замечание по этой теме относится к случаю, когда один из концов разреза окажется в вершине треугольника. Тогда длина разреза будет никак не меньше высоты треугольника, которая равна √(3)/2=0,866.
ЛИТЕРАТУРА
1. Протасов В.В. Максимумы и минимумы в геометрии
mccme.ru/free-books/mmmf-lect...
Ролик снят отчасти по мотивам параграфа «Изопериметрическая задача» из этой брошюры. И здесь же в самом конце вы найдете формальное доказательство существования интересующей фигуры через теорему Вейерштрасса.
2. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах
www.mathedu.ru/text/tihomirov...
3. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
math.ru/lib/files/pdf/kurant.pdf
#наука #математика #геометрия
Лайк, если считаете, что Wild еще не разучился делать видео! Репост, если Якоб Штейнер, придумавший доказательства трех свойств, - красавчик! Комментарий, если если есть вопрос по видео или хотите пошутить насчет идеальной фигуры. Но и без повода тоже можно! В описании к ролику вы найдете интересные уточнения и литературу по теме. Например, почему эквивалентны формулировки в момент 1:33, почему другие типы разрезов будут хуже, чему равны длины прямого и кругового разрезов.
Я бы сказал: Wild красавчик!
Побуду занудой. 6:35 это "Вторая теорема Вейерштрасса", а просто "Теорема Вейерштрасса" говорит о существовании конечного предела у возрастающей ограниченной последовательности, и существовании бесконечного предела, если последовательность не является огранич сверху))
@Kos tin , спасибо за фидбек! Если серьезно, то поскольку в ролике была только одна теорема Вейерштрасса, уточнения названия («Об ограниченной функции на компакте») неактуальны
👍👍👍😀
@@WildMathing поставь пожалуйста лайк этому коментарию🙏🙏🙏
Вспомнил анекдот. Парень математик говорит своей девушке: ты у меня такая компактная! Девушка довольна, спрашивает: что, такая миниатюрная? Парень отвечает: нет, замкнутая и ограниченная.
Классика, но в очередной раз улыбнулся!
И фигура у неё идеальная!
Ты у меня такая топологически гомеоморфная тору, мой бубличек...
@@user-nj9jy2xr7r Отоларинголог в ужасе.
@@user-yi4yh8xz4l ухо-горло... А нос убежал
- Катюха! Мне муж сказал, что у меня идеальная фигура! - Твой муж - математик! Для него идеальная фигура - ШАР!
Мне очень нравится, как навязчиво окружность пытается о себе напомнить на каждом шаге все умозаключений: тут тебе и выпуклая фигура, и диаметр делит пополам длину кривой и площадь, ей ограничиваемую, и диаметр под прямым углом из каждой точки виден… - Say my name. - …Circle. - You’re goddamn right.
Про задачу Дидоны есть история: Царевна Дидона бежала из своего царства в соседнее и попросила у Царя тех земель маленький кусочек земли. Царь же был жадный и приказал дать Дидоне шкуру убитого быка (заданная площадь) и сказал ей: « Сколько земли обхватит эта шкура, столь и будет твоей». Дидона не растерялась а разрезала шкуру на тонкие линии и сделала пояс, которым охватила очень большую площадь. Это «первая» задача вариационного исчисления: найти из все фигур на плоскости заданной длиной границы, имеющей максимальную площадь.
В очередной раз восхищаюсь! Математика - это совершенство! Восторг! 🥵 Маткульт привет моим маленьким любителям математики, как говорится)
Восхищаюсь людьми, которые всё это понимают. Я просто получила удовольствие от качественной анимации и подачи материала, хоть и пересказать не смогу
Если в таком случае видео понравилось, то это высшая похвала, поскольку научно-популярный ролик и должен быть интересен всем. Хотя, думаю, какое-то из трех свойств вы все-таки поняли, а то и сможете воспроизвести, чего уж там!
@@WildMathing Если б была такая анимация, когда я училась, я б наверняка всё это поняла! У меня с геометрией поэтому и сложность была: сложно в голове представлять, как это работает) Дочь говорит, нужно видео на паузу ставить и писать конспект, тогда будет совсем понятно.
@@ealexeenko, да, пожалуй, что так! Спасибо в любом случае!
Отличное видео, Wild! Прекрасный пример использования симметрии для визуальной иллюстрации идеи решения.
Спустя годы, мы дождались ответа на задачу из выпуска №111!
Я уж и не думал, что кто-то помнит про нее!
Всё просто и понятно. С помощью простых рассуждений получаем ответ. Спасибо за видео.
Тот самый момент, когда хотел посмотреть ролик про историю и искусство, но посмотрел что-то гораздо лучше. Спасибо за контент! Геометрия навсегда в сердце ♥
Спасибо! Уже соскучилась ♥️!
В каком бы возрасте какой бы сложности факт на этом канале я ни смотрел - всегда захватывает дух! Очень красиво)
Это приятно знать!
Сюжет подобран фантастически красивый. Да и решение поставленной задачи очень изящное! Я раньше не сталкивался с этой задачей, но понял всё до 5:52 с первого просмотра. Дальнейшее повествование понял с третьего просмотра, что тоже считаю Вашей заслугой. Сценарий, интонирование и анимации на высоте. Браво, Wild! Мой ответ на вопрос (6:58): l = sqrt(π*sqrt(3)/12) ≈ 0,6734
Супер! Спасибо за интерес! Особенно приятно знать, что удалось разобраться во всем. Ответ на финальный вопрос верный!
Откуда 12 в знаменателе? Никак допереть не могу, sqrt(4Pi*1/2*sqrt(3)/2*1/6)
@@McFruty Давайте я последовательно опишу полученные мной величины (квадратные скобки использую только для чуть лучшей читаемости): 1) Площадь правильного треугольника со стороной 1 равна sqrt(3)/4. Считаем по полупроизведению двух сторон на синус угла между ними (или через проведение высоты). 2) Так как найденная линия (дуга окружности) делит треугольник на две равновеликие части, площадь верхней половинки (в форме кругового сектора) равна половине площади треугольника, то есть (1/2)*(sqrt(3)/4) = sqrt(3)/8 3) Мы знаем, что верхняя половинка - круговой сектор, т.к. полученная линия - дуга окружности. Площадь кругового сектора можно посчитать по формуле: S = π*(R^2)*a/360, где a - угол между радиусами, концы которых соединяет дуга. Так как треугольник правильный, то a=60. Тогда площадь сектора равна S = π*(R^2)*60/360 = π*(R^2)/6 4) C другой стороны, мы, в пункте 2, уже вычислили площадь этого сектора. Составим уравнение, приравняв формулу площади сектора из пунктов 2 и 3: π*(R^2)/6 = sqrt(3)/8 => R^2 = [6*sqrt(3)]/[8*π] => R = sqrt([3*sqrt(3)]/[4*π]) 5) Длина дуги окружности L = 2*π*R*a/360 = π*R*a/180. Но мы уже знаем, что данная дуга стягивает угол a=60, поэтому L= π*R*60/180 = (π/3)*R. Также мы знаем, из пункта 4, чему равен радиус дуги. Подставим это значение в формулу длины дуги: L = (π/3)*sqrt([3*sqrt(3)]/[4*π]) = sqrt(π*π/9)*sqrt([3*sqrt(3)]/[4*π]) = sqrt([π*π*3*sqrt(3)]/[9*4*π]) = sqrt([π*sqrt(3)]/[3*4]) = sqrt(π*sqrt(3)/12) Получили L = sqrt(π*sqrt(3)/12). Если есть вопросы или замечания, задавайте.
@@McFruty √3/4 - площадь правильного треугольника с единичной стороной. Круговой сектор имеет такой радиус R, что его площадь равна половине площади треугольника, то есть πR²/6=√3/8, откуда R²=3√3/(4π). Теперь вычислим длину дуги (шестую часть длины окружности): 2πR/6 (подставляем значение R, получаем ответ)
@@simonmatveev сравнил свой расчёт с вашим - у меня корень в знаменателе под корнем. Если избавляться от него, то ответы совпадут. А я уж подумал, что что-то не так в расчётах…
Хорошо, что можно поставить на паузу и всё осмыслить, а также насладиться каждой секундой видео!
сколько не подписан - поражаюсь качеству и понятным пояснениям! можно даже сказать, что благодаря тебе и 3б1б полюбил математику и сейчас учусь в одном из лучших политехов. спасибо вам за старания
Как всегда великолепно. Анимации на высшем уровне
Спасибо!
Мне аж на душе полегчало после трудного дня: всё из-за хорошей комбинации темы и музыки
Спасибо огромное за видео! Как всегда потрясающе!
Большое спасибо за видеоролик!
Все для вас, все для вас!
Очень красиво💯
Класс! 👍 Очень интересно! Особенно визуализация создаёт потрясающий эффект!) 👏
Такая красивая задача однозначно заслуживает красивого оформления!
Отличный канал! Сначала думал у тебя больше дыма подписчиком и комментарий минимум 10к. Много шуток и хорошо доносишь мысль
Ура! Новый классный ролик!
Спасибо, что вы делаете это! Чувства после просмотра, будто побывал в другой вселенной и отвлекся от проблем настоящего
Как услышал про задачу Дидоны, вспомнил курс вариационного исчисления и все прилегающие аспекты этого курса. А Wild объяснил все очень доходчиво и понятно. Как всегда, все на высшем уровне, спасибо!
Смотрел видео в 4K. Мелочь, но приятная. Математическая составляющая очень привлекательна. Отличная работа
С возвращением
Спасибо!
Большое спасибо за выпуск
Все для вас!
С каждым новым выпуском качество видео, плавность переходов всё улучшаются и улучшаются (хотя куда уж лучше-то)! Великолепная подача, интересный сюжет, красота и наглядность. Спасибо за видео, Вайлд, вы на высоте!
Упомянутая задача Дидоны, к слову, связана с легендой об основании Карфагена. Получается, наследие Древнего мира прожило много тысяч лет и дошло до наших дней со сложными рассуждениями, с относительно недавними открытиями математики
@@avoidstax2191, спасибо за добрые слова! От учеников видеть обратную связь вдвойне приятно! А задача действительно известна со времен античности, и ответ был известен. Но конкретно вот эта красивая реализации симметрии была найдена лишь в XIX веке. А уж по-честному решить ее с помощью анализа удалось и того позже
Всё очень красиво и наглядно.! Спасибо...👍
Это всегда пожалуйста!
Как раз недавно начали изучать кратные и криволинейные интегралы, пытался применить их для решения, но попытки оказались тщетны. Зато последнее неравенство смотрится еще красивее, если записать его с помощью интегралов) Спасибо за видео!
Да, с помощью анализа задача решается гораздо сложнее! Но все-таки решается: kzhead.info/sun/p7KAmcaQaGh9dq8/bejne.html Спасибо за интерес к этой теме!
Ура, новое видео)
Эх, вариационное исчисление и экстремалы))) Как я соскучился
очень круто!
Обожаю анимацию, математику и физику - обожаю твои ролики, Wild. Несомненно, ставлю лайк! P. s. Ещё черчение люблю.
Wild, Ты второй ютубер, лайкнувший мой комментарий (причём, быстрозаметивший его) ). Кайфую от этой "рациональной магии". Честно.
@@user-no9ic9xr9p, в свою очередь очень признателен за комментарий и просмотр!
Браво!!!❤❤❤
Спасибо огромное!
Это всегда пожалуйста!
- Что это ⚪ ? - Круг. - А ты попробуй докажи...
Привет, если не сложно, сделай видео о прямой эйлера, всегда хотел узнать наглядное док-во этой теоремы, у тебя прекрасно получается!
Приветствую! Кое-что уже есть: kzhead.info/sun/oaWIksmBf5VveaM/bejne.html Но эта тема красивая и сейчас работаю над созданием геометрического модуля для анимаций, так что обязательно к ней еще вернемся!
Великолепная задача! Помню, как её разбирал Михаил Абрамович. С анимацией эта задача стала ещё прелестнее. Помню, как на вашем канале вы разбирали комбинаторику. Недавно искал и не смог найти, подскажите, ролик ещё существует?)
Солидарен: красивая тема! По комбинаторике, возможно, вот этот ролик попадался: kzhead.info/sun/lJZvZcmrj3WIlmg/bejne.html Или, например, про принцип Дирихле и комбинаторную геометрию: kzhead.info/sun/g96SdqyaqoCrfoU/bejne.html
Красота
Браво! Шикарное видео. Спасибо всем причастным. Особенно аниматора 🙏
Глаз радуется плавным переходам
Я старался!
Ребят, те кто смотрят этот канал, не запрасывайте это дело - за полгода просмотра этих видео смог попасть на IMO 2022, и не смотря на сравнительную простату, смог спокойно решить геометрию (Problem 4). Спасибо автору за контент и надеюсь, что в будущем видео будут выходить чаще. Со своей стороны поддерживаю канал лайком и подпиской☺
Ну, тут явно одними видео дело не ограничивалось! Выход на IMO - это всегда огромный труд. Спасибо за поддержку!
как всегда превосходное видео!!! Спасибо автору)
Мне очень нравится музыка из видео - можете дать ссылку или написать название?
К сожалению, она недоступна для привычного прослушивания, но обязательно еще прозвучит в роликах Wild Mathing boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
@@WildMathing что значит "привычного прослушивания"? Если это epidemic sound - то можно просто написать название - я бы нашёл. Мне не для видео и т.п. нужно, а для себя.
Спасибо
По зову сердца!
l^2/S≥4п Новая любимая теорема)
Как всегда прекрасное видео! А каким образом доказывается равенство сегментов на 4:51?
Благодарю! Тут, возможно, мне стоило в самом видео уточнить детали. В сущности, мы имеем некоторую замкнутую кривую. Если вписанный угол, опирающийся на диаметр, не является прямым, то берем соответствующую половину и затем «распрямляем» угол, не изменяя сегменты. То есть наше преобразование само по себе подразумевает равенство сегментов для любой градусной меры угла. Нам важно увеличить площадь, сохраняя длину кривой
@@WildMathing понял, большое спасибо за ответ!
Это прекрасно!
Рад, что понравилось!
Спасибо за видео и чудесные анимации)
Вам спасибо!
Круто!
В который раз убеждаюсь, что математика - самая красивая наука
Удивительно, что настолько общая задача решается так конкретно. Интересно, есть ли другие не менее элементарные пути, или эти соображения предопределены.
Спасибо за интерес! Задачу можно решить и по-другому, но, пожалуй, показанный путь -самый «геометричный» и красивый, хотя и не лишен недостатков. Рассматривая аналогичную задачу для многоугольников, можно прийти к еще одному хорошему геометрическому решению, которое обобщается на произвольные замкнутые кривые. Так, в частности, можно показать, что среди всех четырехугольников с фиксированным периметром наибольшей площадью обладает квадрат. Наконец, задачу Дидоны часто решают в курсе вариационного исчисления, т.е. средствами анализа: kzhead.info/sun/p7KAmcaQaGh9dq8/bejne.html
я пришел к такому же ответу физически, поместив мыльную пленку в цилиндр ровно посередине, и потом "стянув" один из торцов цилиндра в точку. получился конус в котором мыльная пленка стала частью сферы. значит искомая кривая в исходной задаче - часть окружности. осталось приравнять площади, что несложно.
Как это прекрасно!!
Приятно знать, что удалось донести красоту этой задачи!
Thank you for this video! Me and a lot of non-russian watchers would appreciate english subtitles.
Окружность тем временем: ...они даже не подозревают что мои сородичи делали с математиками....
Чел, харош
Привет! Учусь на втором курсе. Завтра буду делать двадцати минутную презентацию на английском. Выбрал тему представленную в этом ролике. В принципе все хорошо объяснено, но все же если делать прям математическую презентацию, надо уточнить пару моментов, например, почему если вписанный угол в любой точке равен 90 градусов, то это окружность? Но это мелочи. Реальная проблема начинается когда думаешь про часть с существованием этой фигуры. Явно использовать теорему Виерштрасса- хорошая идея, но когда задумываешься о деталях начинаются проблемы. Вот, что я придумал. Приготовьтесь, сейчас будет мясо. По сути площадь это функция меры из множества закрытых подмножеств плоскости( которые образуют алгебру) в действительные числа >=0 и до бесконечности. Вопрос первый. Почему эта функция непрерывна? Интуитивно это так, даже по признаку Гейнэ: если последовательность множеств сходится, то и последовательность их площадей сходится. Но люди которые шарят в топологии знают, что это еще не равносильно непрерывности. А чтобы было нужно дополнительное условие метризуемости или хотябы чтобы была выполнена вторая аксиома счетности. Что такое расстояние между закрытыми и ограниченными множествами? Попытался попридумывать, фигня всякая получается. Ну ладно, предположим, что вторая аксиома выполнена( плоскость ее выполняет, взять хотя бы все круги в рациональных точках и рациональных радиусах) хотя тут тоже не все гладко. Хорошо, откуда мы знаем что алгебра закрытых и ограниченных подмножеств с заданной длиной ограничивающей кривой, это компактное множество? Чем вообще является покрытие в данном случае? Теоретически, компактность можно получить если доказать, что это закрытое множество в хаусдорфовом пространстве( плоскость же Хаусдорфова) , но опять таки непонятно как. Материала на двадцать минут хватит, так что все равно спасибо) Просто интересно, что ты об этом думаешь?
Приветствую! Рад, что тема заинтересовала. Геометрическое определение окружности (через ГМТ) следует напрямую из свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла (она равна половине гипотенузы). А на счет существования рассуждения хороши! И этот подход как раз и ведет к теореме Вейерештрасса об ограниченной функции на компакте. Детали см. в конце этой брошюры: mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf
Здравствуйте, можно вопрос не по теме? Чтобьі написать о делимости числа нацело на другое, используються 3 точки в вертикальньій ряд, но как написать, что число не делиться нацело на другое?
Добрый день! Используют перечеркнутые три вертикальные точки. Ааналогично тому, как перечеркивают символ принадлежности для отрицания
@@WildMathing Понял, спасибо. Просто в учебнике его не бьіло, и нигде не видел где так писали.
@@Stas-bl4ud, пустяки, не за что!
А можно, наверное, физику использовать. Возьмем прямоугольную рамку и поместим в нее замкнутую нитку и сделаем так, чтобы область вне нитки была заполнена мыльным раствором, а область внутри нитки была «пустой». Мы знаем, что пленка постарается принять такую форму, при которой ее площадь будет минимальной, но это будет соответствовать максимально площади «не мыльной зоны». Также известно, что сила поверхностного натяжения будет тянуть нить во все стороны. Тогда получим окружность.
Да, совершенно верно! Спасибо за интерес! Тут небольшая анимация: 6:27
Замечательно, что был отмечен тот факт, что максимум не всегда существует. Бывают случаи, что каждую конструкцию можно улучшить, а конструкция с максимальным показателем отсутствует. А здесь всё чётко!
Спасибо за интерес! Физкульт-привет!
Я ничерта не понел, но в середине я понел, что это будет круг
Ладно, убедил: Круг - Имба
Здравствуйте, я был на довольно интересном флешмопе по математике, на котором я смог решить почти все задания, но несколько я не осилил (либо я очень слабо в них уверен). Так как я девятиклассник, то для меня они показались не самыми простыми, так что я хотел бы попросить вас решить их и объяснить, если у вас есть время и желание. Буду сильно благодарен даже за одну решённую из трех! Задача 1: На кошачей выставке сидит в ряд 300 котов. Каждый кот либо пушистый, либо голубоглазый, либо и пушистый, и голубоглазый. Известно, что если пушистый кот сидит с пушистым котом, то он лжёт. С голубоглазым котом аналогично. Во всех других случаях кот говорит правду. Каждый пушистый кот заявил "Рядом со мной сидит два пушистых кота". Каждый голубоглазый кот заявил "Рядом мо мной два голубоглазых кота" (Если кот был и пушистым, и голубоглазым, то он сказал два утверждения) Какое максимальное количество утверждений могло быть сказано или, что-то же самое - какое наибольшее количество пушистых голубоглазых котов могло сидеть на выставке. Задача 2: Храбрый Дон Кихот утром в понедельник выехал из своего замка и отправился в путешествие. В понедельник он проехал по прямой 5 км, а во вторник повернул на 90° и проехал 10 км, в среду он снова повернул на 90° и проехал 15 км. И так далее: проезжая каждый день на 5 км больше, чем в предыдущий. На каком наименьшем расстоянии от своего замка мог он оказаться в воскресенье вечером? Последняя задача: В ряд стоят 7 коробочек, в каждой из которых есть хотя бы один орех. Будем говорить, что орехи соседние, если они лежат в одной и той же или в соседних коробочках. Известно, что у каждого ореха либо ровно 4, либо ровно 7 соседних орехов. Сколько всего орехов может быть в коробочках? Укажите все возможные варианты.
Спасибо за один из лучших контентов по математике на Ютубе!
Спасибо за столь высокую оценку! Все мы (популяризаторы математики) стараемся!
А ведь когда-то я думал что хорошо знаю геометрию, верните мне надежду 😭. Ну а если серьёзно то спасибо за такой материал, это станет отличным пополнением в моей коллекции теорем и доказательств, которые можно будет применить в решениях. Как говорится: "Сила математика, заключена в количестве известных ему теорем". Спасибо за то что продолжаешь баловать нас тем, чему в школе не научат ленивые учителя
Это всегда пожалуйста! И спасибо за интерес! На всякий случай оставлю ссылочки на другие геометрические выпуски: вдруг что-то еще не довелось посмотреть 1. Физика + геометрия: kzhead.info/sun/fZiydM-SZ4xshKc/bejne.html 2. Удивительные факты с анимацией: kzhead.info/sun/iNCffr2OfZtpao0/bejne.html 3. Теоремы XX века: kzhead.info/sun/g6xweaikkHZtmXA/bejne.html 4. Принцип Дирихле в геометрии: kzhead.info/sun/g96SdqyaqoCrfoU/bejne.html 5. Гармония четырехугольников (feat. МО): kzhead.info/sun/lq6QntyqsYRod3A/bejne.html
@@WildMathing благодарю
А, мне кажется я понял, в чём тут суть теоремы Вейерштрасса. Сдаётся мне, это подсказывает, что площадь, ограниченная данной кривой, является непрерывной функцией от некоторого параметра, который задаёт её форму (при постоянной длине этой кривой). И если узнать, что это за параметр (может, и геометрическая интерпретация какая-то есть?) и является ли множество его значений компактом, то теорема Вейерштрасса указывает, что должно существовать значение параметра, при котором функция площади принимает максимальное своё значение. Это лишь набросок идеи, верна ли задумка?
Да, идейно это почти так! В простейшем случае многим уже доводилось использовать теорему Вейерштрасса. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений. Скажем, таким образом легко объяснить то, что функция f(x)=x³-3x²+2, например, на отрезке [0;1] достигает как наибольшего, так и наименьшего значений
Спасибо за видео!
Спасибо за просмотр и добрый комментарий!
Поясните, пожалуйста, про эквивалентность задач. 1:31
Это хороший вопрос! Эквивалентность становится почти очевидной после решения задачи Дидоны. Мы выяснили, что при фиксированном периметре (длине граничной кривой) наибольшей площадью обладает круг. Покажем, как отсюда вытекает то, что при фиксированной площади наименьшим периметром обладает также круг. Предположим, это не так и найдется иная фигура (отличная от круга) с той же площадью S, но меньшим периметром L. Мы знаем (из задачи Дидоны), что тогда найдется круг большей площади, чем S, но того же самого периметра L. А это влечет существование круга с площадью S и периметром меньшим, чем L. Противоречие. Значит, при фиксированной площади наименьшим периметром обладает именно круг, ч.т.д. В обратную сторону рассуждения аналогичны.
@@WildMathing Большое вам спасибо за разъяснение!
@@Kykuch1, это всегда пожалуйста!
Ого. Очень красиво! Хотя в геометрии я неособо смыслю.
Wild mathing помоги пожалуйста с задачей. Докажите, что любое положительное рациональное число может быть представлено как отношение произведения факториалов (не обязательно различных) простых чисел. Например 10/9 =((2! * 5!)/(3! * 3! * 3!))
Отправь, пожалуйста, задачку в предложку этих групп: α) vk.com/problemaday β) vk.com/math_dosug ζ) vk.com/foranyxyz
@@WildMathing отправил в группу a. Никнейм Оскар Шарипов
@@WildMathing заранее спасибо!!!
Wild Mathing❤️
SUME2 всегда поднимает и подкидывает интересные темы
В рамках SoME2 кто-то тоже делал видео на эту тему? Дайте ссылочку - посмотрим!
@@WildMathing ой, конечно же sOme2 ;) а видео тут kzhead.info/sun/dqp7kZadsYaHfYk/bejne.html
Хорошее видео, спасибо! А здесь ролик, который вышел за 5 лет до SoME2, в нем явно формулирую задачу Дидоны: kzhead.info/sun/ZtlmmMWveXqplZs/bejne.html
@@WildMathing тоже классное видео 👍
Вау! Не знал, что можно с такой степенью строгости доказать этот факт из элементарных соображений. Как раз недавно решал эту задачу методами вариационного исчисления. Правда, теорема Вейерштрасса здесь не вполне применима, ведь мы максимизируем не просто непрерывную действительную функцию, но функционал из множества замкнутых непрерывных кривых (кривые же по сути своей - функции). Так что строгое доказательство существования минимума все-таки не столь просто.
Да, уверен, многим студентам попадалась эта задача! И как раз тем интереснее посмотреть на чисто геометрические рассуждения. С теоремой Вейерштрасса, конечно, не все так просто, но она применима. Полные выкладки на этот счет можете найти в конце этой книги: mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf
Не подскажете, пожалуйста, музку на фоне?
К сожалению, с этим все сложно: boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
Хех , недавно видео разбор этой же задачи с канала Поступашки
Это здорово! Но, надеюсь, вы посмотрели и дальнейшую часть видео, ведь задаче с треугольником здесь отведено 2 минуты, а остальные 6 посвящены изопериметрическому свойству окружности
@@WildMathing да , безусловно ! В школе нам говорили , что окружность - фигура наибольшей площади при данной длине , просто как закон природы 😂 не знал , что это можно там красиво доказать симметрией
Я знал, что смешарики идеальны во всем!
Доброго времени суток, WIld! Вы, наверное, последний человек, который может мне помочь, больше просто не у кого спрашивать. Сейчас идет отборочный тур на геометрическую олимпиаду имени Шарыгина, и в одном из заданий используется термин "нагелиана". Я искал в интернете, но ничего полезного не нашел. Так вот обращаюсь к Вам: что же все таки такое "нагелиана"?
Вечер добрый! А есть полное условие задачи? Думаю, могла иметься в виду чевиана, которая соединяет вершину треугольника с точкой его касения соответствующей вневписанной окружности. То есть чевиана, проходящая через точку нагеля
@@WildMathing Да, условие, конечно, же есть: Общая внешняя касательная к окружностям ω1 и ω2 касается их в точках T1, T2 соответственно. Пусть A - произвольная точка на продолжении отрезка T1T2 за точку T1, а B - точка на продолжении отрезка T1T2 за точку T2 такая, что AT1 = = BT2. Отличные от прямой T1T2 касательные из A к ω1 и из B к ω2 пересекаются в точке C. Докажите, что нагелианы всех треугольников ABC из вершины C проходят через одну точку. А так, спасибо! Мне даже в голову не пришло, что это может быть связано с точкой Нагеля :)
@@thesalmon5894, думаю, здесь речь как раз о соответствующей чевиане. Проверь (на рисунке или в GeoGebra), имеют ли они для всевозможных треугольников ABC общую точку. И если так, то 99,8%, что именно это утверждение требуется доказать
@@WildMathing Ну, кажется, что правда, даже все-все проходят через одну точку. Еще раз спасибо!
@@thesalmon5894, пустяки, не за что!
Отличная анимация, жаль, что у вас просмотров мало
С просмотрами и впрямь не силен, но все же есть ради кого стараться!
скиньте название музыки.... она очень приятнаая
Рад бы, но с этим все очень сложно: boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
@@WildMathing расскажите про гипотезу коллатца или (3х+1) под эту песню))
@@multiverse402, сейчас уже много роликов по этой теме на просторах KZhead! Но, может, позже к ней вернемся. А пока что рекомендую видео своего друга: kzhead.info/sun/ppGFeNqCi4Z8Y2w/bejne.html
@@WildMathing не не не, я только признаю ваши ролики. Остальные авторы не интересные. особенно под вашу музыку.
Стоп-кадр на 6:58. Поехали. 1. Возьмём стоп-кадр на 6:42. По построению следует, что искомое есть (длина дуги окружности/6) или (2*Пи*эр/6=Пи*эр/3), где "эр" -- радиус окружности. 2. Также по построению мы знаем что, площадь круга равна половине площади всех треугольников (каждый из которых правильный со стороной 1 по стопарю на 6:58. То есть (Пи*эр*эр)*2=6*0,5*1*1*sin60 эр*эр=(3*sin60)/(2*Пи); эр=sqrt(3*sin60/2*Пи) 3. Подставляем "эр" в формулу длины дуги. (Пи/3)*sqrt(3*sin60/2*Пи)=sqrt((Пи*Пи*3*sin60)/(9*2*Пи))=sqrt((Пи)/(4*sqrt(3))) upd. искомый результат в десятичных числах с известной степенью приближения примерно равен 0,673
Спасибо за интерес! Во втором действии что-то с двойками не так пошло при выражении R². Но идея поиска полностью верная!
@@WildMathing Да и в третьем тоже в прошлой версии в преобразованиях были неточности. Сейчас должно быть всё верно.
@@WeasleyJinny, пока еще арифметика подводит, но вы все равно молодец! Прямой разрез, который делил бы площадь пополам, вычисляется проще. Его длина 1/√2=0,707... Дуга окружности оказывается короче этого
@@WildMathing ага. шальная двойка, однако. Да и алгебраические преобразования на бумаге карандашом давно не делал с такими числами. Всё больше целые да десятичные. В экселе.
Да, счет здесь коварный! Но сейчас все получилось правильно!
Вы показали фигуру макс.площади при фикс. длине.А в задаче надо найти линию делящюю треугольник пополам.Где переход?
переход обратный от площади к линии
В момент 1:25 говорю, что эти задачи эквивалентны. Мы не доказывали этот переход, теорему Вейерштрасса и тем более существование кривой. Но если эта тема будет интересна, то ее можно развить! Ну а кому будет очень интересно, написал доказательство актуального следствия в описании ролика, несложно провести рассуждения в обратную сторону
1:30 круг?
Интересно теперь общее решение для равнобедренных (а потом и всех) треугольников.
Для равнобедренных треугольников как раз все аналогично показанному. Если боковая сторона равна b, то площадь не превосходит b²/2, причем равенство достигается для прямоугольного равнобедренного треугольника. С произвольным треугольником чуть-чуть интереснее (оптимальным оказывается равносторонний), причем от этого уже недалеко и до произвольных многоугольников
Чудеса
Так-так, а каким образом здесь применять теорему Вейерштрасса?.. Я попытался в лоб: взять область в функциональном пространстве и доказать его компактность. Там из выпуклости очень удачно последует, что вектор-функция искомой кривой почти всюду дифференцируема, так что функционал площади можно определить хорошо и непрерывно, чтобы применять Вейерштрасса. А вот ограничение на длину кривой стрёмное, я чето не знаю, как с ним теперь компактность доказывать...
Не думал, что кто-то зайдет так далеко в такие короткие сроки! Самая удачная идея, на мой взгляд, - взять квадрат со стороной, равной длине кривой, и рассмотреть все его компактные подмножества. При должной сноровке возникающие проблемы можно устранить. Полные выкладки можно найти в этой книге: mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf (в самом конце)
@@WildMathing спасибо, любопытная книжица) И идея вроде интересная, про метрику Хаусдорфа я не знал
@@hellba2975, в описании указал и еще две, и обе замечательны на счет минимаксных задач! Спасибо за интерес!
90-60-90, а что?
Одобряем
Будет -60
Будет -60
Будет -60
Будет -60
Вопрос к математикам по теории вероятности, т.к. я не понимаю. Допустим мы подбросим монетку 10 раз. Вопрос: какой шанс того, что орёл выпадет 9 раз подряд? Я не понимаю саму методику решения.
Такому событию, которое назовем A, удовлетворяют ровно два элементарных исхода: 1) ОООООООООР 2) РООООООООО Общее число элементарных исходов равно 2¹⁰=1024. По классическому определению вероятности события получаем P(A)=2/1024=1/512. Ответ: 1/512 Понятны ли такие рассуждения? Есть ли вопросы?
@@WildMathing всё понятно, спасибо!!!!!
Такие ролики на цитаты разбирать надо.
Почему бы нам не закончить доказательство на 3:45, типо говорим что если всё симметрично относительно диаметра, то давайте из каждой точки проведём диаметр и проучится что наша фигура всегда симметрична относительно диаметра => это окружность?
Это хороший вопрос! На самом деле мы не доказали симметрию относительно любого диаметра кривой, а лишь показали, что диаметр разбивает ограничиваемую фигуру на две равновеликих части. Этому свойству удовлетворяет далеко не только окружность. Эллипс или прямоугольник служат очевидными контрпримерами
@@WildMathing да, действительно, не подумал об этом..
Моя.
Что такое теорема Вейерштрасса.
Это как теорема Коши или Больцано, но про ограниченную функцию на компакте!
@@WildMathing круто.
Интересно, можно ли обобщить рассуждения для n-мерного пространства🤔
Да, и всякий раз в эвклидовом пространстве оптимальной окажется n-мерная сфера. И, кстати, в прикладном смысле как раз привычный стереометрический случай (шар и сфера) получил наибольшее применение
Интересные видео, но манера озвучки раздражает. Хотя на скорости 1.5 терпимо.
Спасибо за обратную связь! С учетом результатов опроса ниже для перемен нужны веские причины: kzhead.info/sun/gdeCkc97nIR7h3k/bejne.htmlsi=uo9VQYAGgLqLTjhz
В этом году Косов в ЛШСМ рассказывал про это.
Коли так, то очень хорошо: красивая и содержательная тема!
Так и не понял из видео почему такой линией является не прямая.
Не хватает конкретных значений для типичного решения изначальной задачи, куча иогнутых линий это здорово, но перво наперво адекватный человек попробует найти прямую, отделяющю угол. Какой проигрыш будет у неё по сравнению с сектором окружности?
Для алтернативно одарёных возникнет вопрос: если мы ограничивали кусок внутри угла окружностью, чтоб использовать свойство круга как фигуры с наименьшим периметром, то почему не ограничить таким же способом ту часть, которая к стороне обращена (а не к углу)? Если сторонами кучу треугольников соединить в симметричную фигуру и окружностью разделить каждый на равные площади, то при бесконечном увеличении их количества для большей плавности фигуры мы получим сектор внутри треугольника приближающийся к прямой. Кароче накидывать красивые взаимодействия можно соклько угодно, а инфы конкретной ноль.
Спасибо за интерес! Да, прямой разрез здесь - первая же идея, которая может прийти на ум. Численное сравнение произвести проще, чем догадаться до красивых идей с симметрией, и оно уводит от основной цели видео, поэтому эти штрихи в общем сюжете даются в виде вопроса (6:57). Но, естественно, могу уточнить здесь: длина показанной дуги окружности составит 0,6734..., если сторона исходного треугольника равна единице. В то время как прямой разрез будет иметь длину 1/√2=0,7071... Вопросы насчет расположения окружности безусловно важны, вы правы! Но опять же несложно показать, что изначальный разрез будет оптимальным, только если его концы будут лежать на двух сторонах треугольника. Еще одно важное замечание по этой теме относится к случаю, когда один из концов разреза окажется в вершине треугольника. Тогда длина разреза будет никак не меньше высоты треугольника, которая равна √(3)/2=0,866. Если вдруг оба конца разреза окажутся на одной стороне треугольника, то рекомендую желающим зеркально отразить конструкцию относительно соответствующей стороны треугольника - получится замкнутая кривая, и дальше уже ясно, как рассуждать
@@WildMathing спасибо за подробный ответ. Хотел придти с работы и самостоятельно прикинут чего чколько будет, сутра хватило только на квдардатный из двух в минус первой. А с работой вообще забыл)))