Комплексные числа: коротко и понятно - Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить?
Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Канал Алексея Савватеева «Маткульт-привет!»:
/ Маткультпривет
Плейлист «Алексей Савватеев»:
• Алексей Савватеев (Лек...
Плейлист «Лекции по математике»:
• Лекции по математике
#НаукаPRO #Савватеев #АлексейСавватеев
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии #МЫВМЕСТЕ.
Плейлист «Алексей Савватеев»: kzhead.info/channel/PL_8xXS9VcXHzuiCXZLcAUiSmcsvm3FSgv.html Плейлист «Лекции по математике»: kzhead.info/channel/PL_8xXS9VcXHxyIF4hcIux1FS6FCihfbYg.html Подписывайтесь на наши страницы на других ресурсах! 🤘🏻 vk.com/nauka_pro_rnd dzen.ru/naukapro ok.ru/naukapro t.me/naukaproo
Всем, кто хочет узнать, что же на самом деле написано в Библии (ну, вдруг), нужно прочесть трилогию: - "Анализ молитвы "Отче наш", - "Доказательство мифологичности Иисуса Христа", - "Четвероевангелие атеиста" В. Пантелеева Общий объём 1.5 млн зсп.
Специалисты, разрешите наивный вопрос. В ролике понятно объясняется произведение дву комплексных чисел. По умолчанию это скалярное произведение. А возможно ли определить векторное произведение комплексных чисел?
@@user-ns1zi8hh6wя, конечно, не специалист совсем. Но вот что-то про векторам помню, что произведение векторов может быть числом, а вот произведение чисел, вектором никак.
@@user-ns1zi8hh6w В результате скалярного произведения векторов получается число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Произведение комплексных чисел - это снова комплексное число (вектор), у которого модуль (длина вектора) равен произведению модулей, а аргумент (угол) равен сумме аргументов перемножаемых комплексных чисел. А векторное произведение комплексных чисел - это векторное произведение векторов, которые эти комплексные числа представляют.
1.Я не люблю математику потому, что ее часто объясняют так, что кажется, что специально хотят, чтобы я ничего не понял. Было бы замечательно, если бы вы стали таким редким(а может быть и первым) математиком на ютюбе, который объясняет понятно. Понятно не для тех, кто это уже знает, а для тех кто не знает, для обычных людей. Я не говорю, что вы плохо объясняете, я еще не оценил, видел только ролик про деление на 0. 2.Этот ролик я не посмотрел, потому, что в комплексных числах нет ничего интересного для меня. 3.Я, бы вам рекомендовал сосредоточиться на самом интересном и самом востребованным в жизни обычного человека разделе математики на ютюбе, а именно: Теория вероятности и математическая статистика. Вот это было бы круто.
В институте был комплексный обед в столовке. Вещественная стоимость, мнимая польза
8))
А ещё комплексный обед включает в себя первое действительное и второе мнимое )
В каком смысле? Борщ- + Салат + второе с мясом + компот/морс клюквенный + булочка?
@@LEA_82 Борщ без мяса+второе из тухлой тушеной капусты, перловки и головой хека, плюс компот из одной дольки сухофрукта за 60 советских копеек. И после такого обеда контрольная по ТФКП. За это ненавижу математику.
@@barackobama2910 А зачем было это есть? Чай, желудок не казенный.
А ведь когда то я это щёлкал как орешки, а теперь понимаю, как деградировал за 20 лет))спасибо за напоминалочку, мне б в вузе такого позитивного препода, уважение Вам, господин гуру
Люблю слушать математиков, нихрена не понятно, но очень интересно 😅
О подвигах 300 спартанцев помните? Их предводитель цар Леонид, когда пришли послы в Спарте просить помощи против персов, и затянули витиеватую речь, ответил так: "Ваша речь была настолько продолжительной, что пока дошли до середине, я забыл начало, а когда закончили, я забыл и середину." Это по сути был отказ. Многие математики как этих послов и выражаются, а чтобы понять краткие записи с кванторов и др. нужно прочитать довольно много. Поэтому Вы их и не понимаете. Кстати, чтобы понять математику, лучше читать акад. Зельдович и Мышкис, Смирнов, Погорелов, Выгодский, Эйлер, Колмогоров, Краснов, Микусински и Сикорски и ... прошу прощения что не называю всех.
Ну рассмешили Вы меня,спасибо.
@@sasaal1459 не хочу читать. хочу, чтобы такой чувак мне так прикольно рассказывал
Очень позитивная и грамотная лекция, плюс бонус история математики! Ставлю комплексный лайк из 2х аккаунтов!
Это не комплексный, а лживый. Настолько заврались, что уже даже азов не понимают.
Всегда уважал людей, способных просто рассказать о сложном.
Скорее материально об абстрактном...., просто-сложно это тоже абстракции не материальные... (В звуке и графически на доске..) Ничего личного, просто люблю логику и философию.
Братик, я могу сложно о простом. Это как тебе такое?
@@user-qk6fw6bz4lэк тебя торкнуло... Можно почитать Теорию функций комплексного переменного, или для "отпускания" Т.Ф.Д.П. Там проще... Не так эффектно но проще, если в Анализ не заглядывать. Хотя там тоже КРАСИВО.
это значит, что человек очень хорошо понимает то, о чем рассказывает
Да без этих чисел я бы сейчас этот ролик не смотрел.
Тоже 1 курс?
@@rustam46297 нет. Просто кучу технологий не разработать без этих чисел.
Поинтересуйтесь, что такое множества Жюлиа и Мандельброта.
Учил комплексные числа много лет назад и профессора нас мотивировали только отметками. Решение кубических уравнений - классный пример приложения комплексных чисел. Но мне больше нравятся примеры из физики
А какие примеры из физики?
@@Andrei_S708 ну, гармонические колебания, теория дифракции света, квантовая физика, давно это было. Сейчас я - биологией занимаюсь. 😀
@@Andrei_S708 Траектории движения тел вокруг массивного гравитационного центра - эллипс, парабола, гипербола. В идеале.
@Andrei_S708 электротехника. трёхфазные напряжения и токи через них описываются.
Спасибо за ответы! Даже не знал что комплексные числа настолько полезны
Какой замечательный пример жизненной позиции в математике! Лайк вещественно, без всяких мнимостей!
Где-то на 4й минуте начинаю выпадать и моей гуманитарной башке не хватает абстракции следить за его харизматичным рассказом! 😢 Как счастливы должны быть математики, имея лишнюю вселенную, куда в любой момент могут удрать из нашей депрессухи!
Как счастливы гуманитарии, у них на любую математическую вселенную найдётся вселенная вселенных, то есть они всегда мощнее. ;-)
Математика, это наркотик, доступный только избранным. Как же на него ,,подсесть,,?
По одному из определений комплексные числа это такие, что любой многочлен с комплексными коэфициентами представляется в виде (x-a0)(x-a1)..., где a0, a1... это все нули многочлена. Это самое полезное определение и по сути ровно то что сделали итальянцы в 16 веке. А если взять немного шире, тоже свойство распространяется не только на многочлены, но и на некоторый класс функций - тн произведение Адамара, откуда например вытекает важность нулей зета-функции. Да, математика требует много усилий на освоение, но это лучший антидепресант! Если хотите изучать математику - начинайте с Евгения Дашкова и будет вам счастье!
@@LWWWP Не хотелось бы меряться пиписьками, но теорема Гёделя о неполноте формальных систем любую вашу "мощность" перебьёт.
@@alexlinde6695 Ой, а я разве? Я как раз наоборот, полностью за. Судиться можно либо бесконечно, либо "по понятиям", то есть искать значение в цепи определений, либо принять значение приданное извне. Это вот, кстати, нужно законодателям рассказать, но, боюсь, это займёт бесконечное время.
Респект вам, очень интересно
Математик-красавец! Всегда ненавидел математику, но это потому, что мне не встретился учитель как Савватеев! Сейчас я наслаждаюсь математикой в его преподавании. Спасибо за видео!
Прошло уже 10 минут лекции, а комплексных чисел всё ещё нет, волнуюсь 😢
Я тоже жду, особенно хочу узнать, где ударение будет😅
@@user-cs1wt9wf4u Ударение будет по башке.🤣
@@user-cs1wt9wf4u Ударение правильное на первый слог. Но есть много людей сознательно коверкающие произношение слов чтобы казаться якобы умнее (компле'ксный, ато'мный, рапо'рт)
Лучшее, что я видел в математике. Это очень красиво 🤩
9 класс, работаем💪 В школе нам пудрят мозги этим ОДЗ, мол корня чётной степени из отрицательного числа не бывает, причём даже не уточняя, что подобных выражений не существует в области действительных чисел.Я считаю, что школьников нужно знакомить с этим,хотя бы с основами комплексных чисел, что оно вообще из себя представляет, чтобы не формировать у них ложные убеждения. Нужно знать правду. Решил на этом видео закрепить мои знания о комплексных числах, на них не останавливаюсь, моя следующая цель - кватернионы. Вам спасибо огромное за видео
Тут дело не в правде и убеждениях, а в принятых правилах и соглашений. Если оставаться в рамках вещественных чисел, то корней чётной степени из отрицательных чисел и не будет. Если принять за правило, что i равно корню из -1, то это корни из отрицательных чисел появляются, но это уже в рамках других соглашений.
@@Dronzord так суть тут в другом. Он говорит, что тебя вгоняют в одни рамки, но при этом тебе ни слова не говорят, что есть другие. И вместо того, чтобы понимать ограниченность системы на данный момент, ты думаешь что вцелом система ограничена, надсистемы никакой нет. Другими словами, формируют искажения. А потом приходят студенты на пары, и у них мозги плывут от того, что: "оказывается можно взять корень из -1????!!! И на ноль делить, если постараться????!!". Учить они эти темы не готовы, они первые пары избавлятся от старой парадигмы, и уже потом готовы к получению новой.
Чтобы нормально ввести комплексные числа нужны некоторые усилия, так легко, как с действительными(в рамках школы), не получится. А так, в принципе, в конце 11 класса обычно дают какие-то поверхностные знания про комплексные числа, по крайней мере почти в каждом учебнике за 11 класс они есть. Проблема в том, что многие учителя не знают комплексные числа достаточно хорошо(а некоторые и просто не знают), чтобы их преподавать, да и особо смысла время на них тратить нет - кто не пойдет на технические специальности, тем они не понадобятся, им бы ЕГЭ на проходной сдать, а тем, кто пойдет, все равно все заново будут объяснять в ВУЗе.
@@randomcraft2345 мы в школе проходили комплексные числа в старших классах. В итоге лично у меня это в итоге вызывало дополнительные вопросы, когда был тот же ЕГЭ или другие экзамены, где спрашивалось: а сколько корней имеет уравнение? Так как я знал про комплексные числа, а в условии не говорилось, что речь о строго действительных корнях, то иногда в ступор вводило. Есть и другие темы за рамками школы. Типа неевклидовой геометрии, где параллельных прямых может не быть. Есть вообще куча отдельных математических дисциплин. И всё это в идеале неплохо бы хоть как-то понимать, но в реальности это только запутает большинство учеников, да и студентов.
@@Dronzord не запутает, если систему реформировать. Наше образование не менялось с тех пор, когда большинство дисципилн только зарождались. Есть сделать реформы, организовать цельную систему, а не просто в старьё пихать новое, то и работать это будет лучше. Сразу возникает вопрос, а как делать реформы, если это сложно? Требует много средств. Ответ простой: чем раньше начать делать, тем меньше объем реформы потребуется в краткосрочной и с реднесрочной перспективе; реформы, так и или иначе, всё равно нужны, математический аппарат далеко вперёд шагнул, а обучают ещё старому, фактически в школах нет смысла (кроме социального), т.к. все знания там поверхностные и задрачиваемые. Ну и самое главное, у нас в стране на систему образования приходится больше 4 многоэтажных зданий, где люди фактически ничем не занимаются, поувольнять и освободившийся бюджет направить на найм высококвалифиуированных специалистов и на реформу. Сейчас, единственные действия системы образование - попытки впихнуть новые наративно подходящие под политику государства предметы - всё, предметы даже не проробатываются (тоесть просто имитируют бурную деятельность).
Низкий поклон человеку, который несёт людям знания. Беда в том, что надо смотреть и писать, так что придется посмотреть ещё раз 😊
С наскока только шишки на лбу растут
Это улыбка чего только стоит 😊
Алексей, ты красавчик!
Большое спасибо!
Очень интересная и занимательная лекция, спасибо! Пример про джигита супер!
Я аж захотел вспомнить что там было с комплексными числами из универа. Браво🎉 очень захватывающиая история
Савватеев лучший!
Спасибо!
Самое понятное объяснение для нематематика.
Очень понятно… Спасибо
А можно теперь такой же ролик с короткими и понятными пояснениями на ролик с короткими и понятными объяснениями комплексных чисел?
Двадцать пять лет назад я помню это понял, потом напрочь забыл, теперь понял снова и ... Кайф
Благодарю за интересную тему.
Super! Very interesting! Thank you very much!
Я видел, как их мотивируют из предположения, что показательные функции и тригонометрические - похожи, ибо их формулы для сумм аргументов выглядят так: *sin(α+β) = sin(α) × cos(β) + sin(β) × cos(α)* , и *b^(α+β) = (b^α)×(b^β)* . Автор говорил, что такая идея вполне может привести к поиску такого ε, что *ε^x = Asin(x) + Bcos(x)* . Дальше подставить сумму аргументов и можно получить требование к существованию A, что *А² = -B, B=1.* Я думаю, что тут даже не нужно знать, что *ε=exp( i )* , можно просто подставить x=1 и получить *ε = i sin(1) + cos(1)* . Формула уже фактически позволяет получить кучу всего. И решения уравнений отчасти тоже)
Как Вы вставили формулы в коммент?!
@@Rexsinger греческая раскладка + доступ к символам юникода в браузере Хром.(правый клик > смайлы и потыкайте кнопки). Ещё если в ютубе окружить текст звёздочками, то он станет жирным, а если минусами, то зачёркнутым: *АМОГУС* , -АМОГУС-
@@nartoomeon9378 Строго говоря, браузер здесь ни при чём, хотя если доступ есть, можно и так. Греческие буквы и символы математических операций берутся из любого справочника Unicode, включая оригинальные таблицы стандарта. И для Windows и для Linux имеются приложения типа Character Map.
@@Micro-Moo Edge имеет функцию ввода символов юникода через меню по правому клику. Эта функция теперь уже давно есть в хромика. С него печатал. Ещё есть клавиатура StylishText такое зелёное - даёт возможность на андроиде создавать свои раскладки клавы с символами юникода. Суперполезное, но просит рекламу смотреть за это.
Видео смотрю , потому что я сейчас в колледже ЕПК, Елабуга. У нас в первые дни сразу же начали обучать теме Комплексные числа, с чей причиной я и смотрю это видео , потому что я не допонимаю слегка тему. Но за видео спасибо.
Чё там понимать? Комплексное число это двумерный вектор, вот и всё. А дальше работа с векторами по теореме Пифагора. Всё.
@@KpeBegko Семён Семёнович абсолютно прав. Это обычные векторы, для которых ввели одну дополнительную операцию интересным способом: умножение. Действительное число можно легко представить как вектор на прямой с началом в точке 0. Умножение действительных чисел - это растяжение длины одного числа кратно длине второго числа: 2*3 = 2+2+2. А умножение комплексных векторов - это 1. растяжение длины одного вектора на длину другого вектора и после этого дополнительный 2. поворот угла первого вектора на угол второго вектора. Почему и как так случилось, что алгебраическое умножение чисел вида (a+bi) и (с+di), с принятием i*i = -1 с одной стороны и умножение комплексных векторов через операцию "кручу-верчу" с другой стороны - дают один и тот же результат? И при этом без исключений - это происходит всегда, т.е. они абсолютно идентичны. Как такое возможно: эти 2 операции - алгебраическая и геометрическая, как представляются на первый взгляд абсолютно из разных опер, а возможно даже из оперы и балета?! Ответ простой: повезло. Повезло, что в этот день на сцене были и танцоры балнта и оперные певцы - вместе они поставили спектакль нового формата - так появился мюзикл. Повезло, что синусы и косинусы углов суммируются определённым способом - причина того, что сложная гемотрия так легко поддалась простой алгебре кроется: 1. в формулах cos(a+b) и sin(a+b) 2. не важно какой из векторов повернуть (можно повернуть первый вектор на угол второго или второй на угол первого): а+b = b+a, здесь a и b - углы векторов. 3. если есть три вектора, то не важно с какого вектора начнём операцию умножения, т.е.: (a*b)*c = a*(b*c), здесь a, b, c - комплексные вектора, а * - операция растяжения вектора с последующим поворотом. А могло бы не повезти и не получилось бы комплексных векторов. Например, комплексные вектора в трехмерном пространстве не существуют именно по причине номер 3. Там нет полной ассоциативности. А вот в 4-мерном ассоциативность опять появляется. Для того, чтобы комплексные вектора стали для Вас абсолютно "своими в доску" на доске проделайте следующую операцию: 1. возьмите два вектора, 2. умножьте их между собой по правилу "кручу-верчу" 3. по правилам суммы углов через синусы и косинусы найдите координаты получившегося вектора; 4. сгруппируйте получившиеся выражения (они очень длинные) по координатам 5. сравните с получившейся алгебраической формулой и вуаля - они совпадут! Проделайте это с векторами длины единица (и тогда Вы не покинете окружность радиуса единица - вычисления станут проще; а получить любой вектор из координат единичного - тееорема Пифагора). По этой формуле можно также идти и справа налево: т.е. простое алгебраическое умножение, переходя через формулы суммы углов, и есть поворот одного вектора на угол второго вектора. В математике, как в достаточно сложном языке, много совпадений и ещё больше несовпадений (вторых должно быть больше - из следствия теоремы Гёделя). Например, ab - двузначное число, к примеру 23, если вычесть из ab его составляющие a и b, то обязательно получится число делящееся на 9. Совпадение? И да, и нет: ab = a*10 + b ab - a - b = a*10 + b - a - b = a*9 В этом и заключается работа математика: неявное сделать явным. Это позволяет разрешить парадоксы, например, один из простых - "ошибка выжившего". К комплексным векторам это искажение восприятия вполне применима.
@@vitalysarmaev Мощный коммент!
Комплексные числа связаны с энергией и временем. Теория электрических цепей переменного тока. Как линейные так и нелинейные. i - крутая штука
Комплексные числа удобны тем что позволяют корректно представлять физические процессы. Переменные токи, напряжения, электромагнитные волны, все легко можно представить в виде вращающихся векторов (роторов) и лучше здесь подходит показательная форма A*exp(jx), про которую в ролике не было рассказано. При перемножении вращающихся векторов частота их вращений складывается, и показательная форма как раз удобна этим, что можно умножать вектора путем сложения аргументов комплексной экспоненты. В комплексной форме частота вращения вектора (скорость изменения фазы) может быть как положительной (против часовой стрелки), так и отрицательной (по часовой стрелке), поэтому если при перемножении сигналов ожидается, что частота может уйти в минус и важно учитывать этот знак, то нужно использовать квадратурное представление сигнала - алгебраическая форма в виде двух компонент - реальной и мнимой. А зачем вообще это нужно? Перемножать вращающиеся вектора? А как раз затем, чтобы делать перенос частот. Вся современная радиотехника использует этот подход и там сигналы состоят из двух компонент - действительной и мнимой (I, Q). Так переносят сигналы на несущую частоту (на которой ведется передача) и обратно (например, с несущей в область звуковых частот). Самое широко используемое преобразование - преобразование Фурье также использует комплексные числа для переноса частот сигнала на нулевую частоту. Путем перемножения на опорные квадратуры делается перенос для каждой компоненты спектра, полученные при перемножении комплексные отсчеты складываются и делятся на количество отсчетов. В результате сложения получается опять комплексное число (для каждой компоненты спектра). Возведя в квадрат мнимую и действительную части этого числа, сложив эти квадраты и взяв корень находят амплитуду (для каждой компоненты спектра). Прямо сейчас ваш Wi-Fi модем перемножает и складывает тысячи комплексных чисел в секунду, чтобы вы смогли прочитать этот текст
Вы, сударь, гурман! Согласен полностью.
А уж сколько комплексных чисел перемалывается при распаковке видео и аудио и выводе данных изображения на экран и звуковую карту, когда вы смотрите это видео - вообще ни в сказке сказать, ни пером описать.
Интересное наблюдение. Каждый студент знаком с ситуацией, когда во время лекции в какой-то момент перестаёшь понимать. Типа, понятно-понятно-понятно, затем Щёлк! - и непонятно. Во время просмотра я тоже столкнулся с этим. Но это ж видео, можно отмотать! И выяснилось, что перематываю я на самый перематываемый момент. То есть я не один такой!
Кайфанул👍
Все намного проще. Математику всегда использовали в практических приложениях, например, в механике. И одной из задач в механике была задача описания вращательного движения точки в плоскости. И комплексная i очень легко и просто это делает: вектор (1,0) при умножении на i поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки, что делает его вектором (0,1), ещё умножить на i и получим (-1,0). Вот и ответ, почему i^2 =-1 - единица развернулась на 180 градусов и стала -1. Но история на этом не заканчивается. А как описывать вращение в трёхмерном пространстве? Гамильтон в середине 19века предложил использовать кватернионы. Практическое применение их было успешным, поэтому их преподавали в школах вплоть до 20х годов 20 века. Но история науки сложилась таким образом, что их исключили из преподавания, и многие задачи физики не получили своего точного решения.
Ещё комплексный ток и напряжение в электротехнике
Супер! Спасибо! Лет 15 наверное этого дела не касался и приятно было посмотреть и освежить :) Вот думаю 6-летке своему показать, интересно поймет ли и будет ли интересно, пока у него только сложение и вычитание, вроде умножение примерно понимает, но тут вроде всего пара шагов вперёд
Ну да, что там такого. Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных. Переходят сразу к множеству комплексных
@@romanh219 «Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных.» Не верю. Или это какой-то совсем ублюдочный университет. Или вы что-то пропустили?
Мне тоже так кажется, всего пара шагов. Вот попробуйте и напишите, что получилось, будет очень интересно узнать. К сожалению, у меня в данных момент никаких шестилетних граждан под рукой не имеется.
Предпоследний шаг это объяснить почему минус на минус дает плюс. Не помню где вычитал, но вот хорошая аналогия: В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась. Входит злой человек, доброта уменьшалась. Добрый человек выходит, доброта уменьшилась. Злой человек выходит, доброта увеличилась.
@@Darkness_7193 «В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась.» Какие же благоглупости! Вспомнил, как-то встретил школьника, который рассказал, что его учительница, очевидно полная дура, «объясняла» это так: «друг моего друга мой друг, враг моего врага мой друг...», ну, все сочетания. Наверное, если перебить всех педагогов и оставить одних учителей, математика расцветёт. 🙂
Ни черта в конце не понял, но очень интересно. Работаем над этим.
Красавчег!
Определять i как корень из (-1) - плохая идея. Правельнее определять ее так: "i - это такое число, квадрат которого равен -1".
Трушин труу 🤘
А как тогда быть с числом -j? Его квадрат тоже равен -1
@@user-qr9is8xw9s, а что с ним не так? Если за j взять -j, то ничего не поменяется, просто все отразится относительно оси реальных чисел. Математика от этого не поменяется.
@@aranarus не так то, что вашему определению соответствуют два числа, а не одно
@@user-qr9is8xw9s, у вас нарушена логическая цепочка. Чтобы понять что такое -j нужно сначала определить что это такое j. И в этот момент вы путаете причину и следствие. Вы пытаетесь воткнуть в определение j агрегат, вытекающий из j.
Комплексные числа нужны в дискретном преобразовании Фулье чтобы радиоприемники могли прочитать частоту и фазу синус сигнала и преобразовать это в биты байты и текст. Ваш смартфон это делает пока вы в интернете капаетесь по WiFi. Комплексные числа умножаются и складываются чтобы ты мог котов на ютубе смотреть.
29:42 а вот это гениально и красиво 😍
8:06 - скажите пожалуйста как мы перешли от верхней строки к этому... и куда делся коэфицент 'с'. не могу понять
Спасибо, всё очень интересно, а можно ли всё это на примере рубля.
Вау! Как все оказывается просто и естественно... Почему же в школе от меня это скрывали.
Коротко и понятно..... Об этом я говорить не смогу!
Интересны результаты поиска «практическое применение кубического уравнения»😮
Интересно как чат GPT отреагирует на зарос "абсолютно бесполезные математические фокусы"
Очень живое, интересное изложение )) Спасибо! Да, когда-то меня комплексные числа приводили в ступор, - "это шо еще?!" Но, кстати, именно на исторических примерах быстро дошло, что вещественные числа, это просто не все существующие числа. И тот, кто этого не понимает, много чего просто не будет уметь считать. Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.
«Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.» Вот только не всегда это так. В традиционном школьном преподавании химии исторический подход только запутывает.
Это смотря как видеть историю проблемы. Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы. Надо было только ее увидеть.@@Micro-Moo
@@andreyshnt3637 «Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы.» Я не об этом. Пример неудачный. Вот, например, в школе преподаётся понятие валентности таким образом, как будто атомистики и теории связи ещё не существует. Химиков это такой валентности аж корёжит. Это примерно как изложить почти всю астрономию на основе геоцентрической модели, а потом сказать, ну вот, а вообще есть ещё геоцентрическая модель, более продвинутая и современная, поэтому излагаем её после. В то время как излагать понятие о химической связи с современных позиций, со всякими электронными облаками и логичнее и проще. В своё время да, валентность была великим изобретением, хитрой абстракцией, позволяющей более или менее предсказывать поведение элементов в реакциях без знания о свойствах атомов, такой инвариант. И при этом нужна куча оговорок, мол, валентность это константа, но вот такие-то элементы обладают и такой и такой валентностью, это их хитрая особенность. Но зачем сейчас-то проходить такие зады? Им место на кружке по истории химии. Просто традиция такая сложилась.
К примеру, атом водорода. Электронное облако находится в "энергетической яме" за пределами которой вероятность нахождения электрона равна нулю. Так как энергия является штучной вещью, электрон не может терять ее постепенно и по этой причине не способен упасть на ядро. Схабав же конкретную штуку энергии, просто улетает куда-то вдаль. Получаем ион водорода. Вас не интересует, как в голову могла вдруг прийти мысль, что энергию правильнее всего измерять в штуках?@@Micro-Moo
Великолепно! Снимаю шляпу! Когда-то давно в школе у нас был чем-то похожий преподаватель, который так же блестяще объяснял. А вот в вузе, увы. желание заниматься математикой было отбито напрочь совершенно бездарным преподаванием...
"что тебе надо ,собака.." на 2 минуте оценил. Объяснять компл. числа с юмором это искусство. Лайк однозначно. Спсб.
22:22 чтото очень красивое и не очевидное, а по факту база)
27:46 Представление числа преналежащего пространству, плоскости, полю - суть "профанация". Любое число из N, R, Q, либо Z можно представить в форме проекции на всё той же прямой, но направленной не поперёк, тогда мы распологаем проекцией "задуманного" числа отмеченного на мнимой прямой из пересечения перпендикуляра к таковой проходящего через наблюдателя, нас. Отсюда прочие числа пренадлежат, либо треугольнику, если число чёткое, либо "градиенту, если "комплексное". Если прямая состоит из равноценых точек с равноценным диапазоном равноценных "не мнимых" отрезков между числами, то либо мы, как наблюдатель находимся единовременно в каждой точке по отношению ко множеству каждого из чисел и "наблюдатель" является абсоллютно параллельной прямой, что есть "бесконечность", либо множество "чисел" пренадлежит к "окружности" с бесконечным радиусом по отношению к наблюдателю, что есть противоречие определения "прямая" и определения "множество чисел" и "бесконечность" в частности. Комплексные числа возможно определить, как инверсию по отношению к "определяемому" числу. Так, как корень из минус единицы не извлекаем, тогда его можно представить, как несуществующий корень всех чисел, кроме корня из единицы, которая явно противоречит инверсии самой себя и пренадлежит диапазону содержащему в том числе и "ноль".
Очень круто по мнимые числа объяснили на канале vert dider
Есть ещё трюк для решения всяко более чем квадратных уравнений когда изменением масштаба собирают все корни ближе к нулю, хвосты всё равно улетают в бесконечность и не интересны, и заменяют потом икс на синус, и потом решают полученную тригонометрию. А тригонометрия всё равно комплексная по формулам Эйлера. Замечательно, спасибо за лекцию.
вы про какие-то численные методы
@@nartoomeon9378 Да, это всё в большинстве случаев сводится к вычислению какой-нибудь иррациональности. Дело не в этом, дело в красоте. Я пока не знал суть метода, не понимал откуда из многочлена появляются арксинусы, а они могут. Если Алексей Владимирович расскажет нам лекцию как это бывает, то это тоже будет замечательная лекция.
@@LWWWP я видел формулу корней для уравнения 5й степени через специальный тэта-функции от коэффициентов. А уже они наверное могут быть получены тригонометрическими рядами.
Неплохо, неплохо, но с применением мне кажется будет понятней. Мне кажется необходимо начинать с применения!
Так с него и начали - решение кубических уравнений.
Спасибо огромное вам за видео, очень помогли, я какраз не понел тему на уроке. Всё очень хорошо объяснили, очень подробно, спасибо, храни вас Бог!
русский еще учить надо
Судя по построению фразы этот ученик ещё в прошлом тысячелетии школу закончил. В советском союзе
Если коротко, то комплексные числа нужны, чтобы решать кубические уравнения с тремя вещественными корнями, в процессе решения придется зайти в область комплексных чисел, чтобы вычислить корень из отрицательных чисел. вся гидродинамика стоит на комплексных числах))
И теория колебаний
Электротехника, сплошные комплексные числа
Алексей просто КРАСССССССССССССАВЧИК!!!
Включила, на 15й минуте уснула ❤ спасибо
Вопрос😮 А поделитесь, пожалуйста, ссылкой на те видеролики, о которых Савватеев говорит? Я их уже полтора часа ищу на его бездонном канале и всевозможных веток-производных от него
Да, мне тоже интересно послушать более подробно про комплексные части корня кубического уравнения, почему они должны взаимоуничтожаться, давая только чисто вещественную часть.
@@FastStyx там оказывается от корней к углам переходят
@@FastStyx то есть танг угла фи равен мнимая часть поделить на действительную.
@@FastStyx m.kzhead.info/sun/Z9itft2dqH6ae5E/bejne.html&pp=ygU60YHQsNCy0LLQsNGC0LXQtdCyINC60YPQsdC40YfQtdGB0LrQvtC1INGD0YDQsNCy0L3QtdC90LjQtQ%3D%3D
@@RuslanKamchatka, да вот про это и хотелось поглядеть - о каком ролике речь?
29:55 напомнило скалярную математику/ геометрию, хотя учёбу закончил давно.
Очень понятно про комплексные числа (начиная с 22:00). МАСТВОТЧ ДЛЯ ПЕРВАКОВ! Узнал и понял больше чем за первый месяц уника!
А есть ли числа, заполняющие объем? Если они есть в принципе, то какое практическое применение они имеют?
Ему повезло. Природа дала ему возможность видеть мир в цифрах. Можно позавидовать и попробовать увидеть то, о чем он говорит.
Можно объяснить проще, без кубических уравнений. Комплексное число - вектор, т.е., используя понятие комплексного числа, мы можем работать с вектором как с числом. Поэтому любой двумерный процесс, он же вектор, он же функция, например, синусоидальная, можно представить виде комплексного числа. Объясняя это, можно нарисовать на плоскости отрезок (модуль вектора) опустить перпендикуляры на оси из конца отрезка, а начало отрезка в точке 0, а угол между отрезком и горизонтальной осью назвать аргументом комплексного числа. Попутно следует рассказать о формуле Эйлера, математической константе = основании натурального логарифма.
Была упомянута теорема о полноте для вещественных чисел. Есть аналогичная для комплексных?
Полнота множества комплексных чисел автоматически следует из полноты множества действительных.
Теперь все понятно
Про непрерывность и разрывы хотелось- бы послушать хорошую лекцию.( И роль комплексных чисел в данном вопросе)! Диофант первым додумал про х как сумму простых чисел.?
непрерывность и плотность числового ряда не зависит от от комплексных векторов никак. они могут применяться вместе, но друг на друга влияния не имеют - т.е. одно из другого никак не вытекает. как варежки и валенки. их можно носить вместе - будет теплее, но можно и по отдельности - смотря какая прогулка.
@@vitalysarmaev а аналитическое продолжение? Я в этом мало что понимаю , тем более, Римана.)))
@@user-ju9bv4sd2j поле комплексных чисел является плотной (в топологии задаваемой метрикой длины вектора). Т.е. плотность определяется топологией (метрикой) комплексных векторов, а не самими векторами как объектами, наделёнными свойствами манипуляции над ними "умножение через кручу-верчу". n.b. очень длинное nb. Правда при рассмотрении функций комплексных переменных и значений появляется как минимум одна особая точка - "бесконечность" - её можно представить как вершину шара, а саму поверхность шара как комплексную плоскость. Что это такое: положите голбус на стол северным полюсом строго вверх, соответственно, южный полюс касается стола - и это единственная точка соприкосновения со столом - эту точку примем за начало координат как на столе, так и на глобусе. И представьте что стол - это комплексная плоскость. Теперь в воображении протяните луч от северного полюса к любой точке стола (посветите лазером из северного полюса в сторону стола). Если вы нарисуете луч строго вниз, то Вы попадёте в начало координат, т.е. южный полюс, если же протянете под углом, то при прохождении от северного полюса до стола луч обязательно проткнёт глобус в какой то точке (луч начинается внутри глобуса а заканчивается снаружи - на столе). Таким (не-)хитрым способом можно плоскость полностью спроецировать на поверхность шара. При этом близкие-сосдение точки будут спроецированы на близкие- соседние точки, т.е. такая проекция будет непрерывной. А теперь возьмём любое направление на столе от начальной точки и проведём луч на столе в бесконечность от начальной точки. У нас получились 2 луча: один лежит на столе и уходит в бесконечность - он фиксирован, а другой луч проективный - он начинается на северном полюсе и заканчивается на столе. Если проводить проективный луч к любой точке фиксированного на столе луча, то получится картина как в шпионских фильмах: когда луч лазера проходит от начаьной точки и устремляется в бесконечность - лазер установленный на северном полюсе (это проективный луч) убегает по фиксированному лучу на столе от точки соприкосновения глобуса со столом в бесконечность. А точка, где лазер в любой момент времени протыкает глобус - это и есть проекция комплексного вектора на поверхность шара. Посмотрите что происходит тогда, когда мы всё дальше и дальше отдалились от центра - луч будет протыкать глобус все ближе ближе к северному полюсу, и когда уходит (стремится) в бесконечность на столе, то луч лазера становится строго горизонтальным, т.е. в этот момент луч протыкает глобус в самой точке проецирования - в северном полюсе. Это значает, что бесконечному удалению по следу конкретного луча на столе, соответствует сам северный полюс. Т.е. северный полюс и проецируется в бесконечность. Далее ещё интересней: на обычной числовой прямой только 2 бесконечности: налево и направо, т.е. минус и плюс бесконечности. А на комплексной плоскости бесконечностей бесконечно много - берём любой направление от центра и уходим вдаль - а там своя уникальная бесконечность. Проецирование на шар позволяет это бесконечное количество бесконечностей собрать в одну осязаемую точку на шаре - на северный полюс глобуса. Так как в каком бы направление мы не уходили в бесконечность, то все равно при проецировании лазерным лучом в итоге придём к северному полюсу. Это и есть особая точка комплексной плоскости - проецирование на глобус позволила весь бесконечно удалённый горизонт собрать о одну точку. С этой точкой, несмотря на то что она вся такая сборная и вся такая фельдипёрсово-бесконечная, можно работать как с обычной точкой (она ничем не отличается от других точек на глобусе). Эту штуку тоже ввёл Риман. nb окончено. А теперь перейдем к аналитическому продолжению: ... продолжение следует 😊
@@user-ju9bv4sd2j продолжение. аналитическое продолжение (в парк! в зоопарк!): в поле действительных чисел, если функция достаточно хорошая (а лучше даже, чтобы оооочень хорошая и возможно прихорошенькая - т.е. достаточно много, а лучше всего бесконечно дифференцируема), то её можно представить в виде ряда Тейлора: т.е. зная значение функции в конкретной точке и зная все производные в этой точке можно в пределе узнать точное значение функции в любой точке. Это кажется фантастикой на первый взгляд. У нас есть функция и есть значение этой функции и всех её производных в данной конкретной точке, предположим в начальной точке x=0. И теперь мы можем не двигаясь с места сказать какое точное значение функции будет при x=10⁹ или x=10⁵⁰⁰. Это как если бы Вы сидя дома удобно на диване считывали бы мысленно свойства объекта на Марсе или на Юпитере. Но ничего магического и/или парадоксального в этом естественно нет, даже ловкости рук не нужно. Будет время "на пальцах" объясню в чем там дело. Магии нет, но факт есть. Мы можем, зная значение "достаточно хорошей" функции и её производных в данной конкретной точке, расширить эту функцию на всю числовую прямую и быть уверенными что исходная функция и наша расширенная с конкретной точки на всю прямую функция совпадают один в один (совпадение даже больше чем Галкин в Жириновского). Это и есть прообраз аналитического расширения на комплексной плоскости (в данном случае слово прообраз - это форма речи, а не математический термин). Т.е. если комплексная функция достаточно хорошая, то можно, не покидая нашу любимую точку, сказать, что же там творится с функцией на дальних окраинах. Но есть засада ... И это засада называется особая точка функции. Особая точка - это точка в которой она не определена по какой-либо причине (например, принимает значение бесконечность или принимает любое значение - бесконечно много значений, такое тоже бывает). Функция 1/x в точке 0 имеет особенность - она там уходит в бесконечность. Так вот, для такой функции просто так аналитическое расширение не построить. "Достаточно хорошенькая" функция так себя не ведёт - не уходит в несознанку/в бесконечность ни в одной точке комплексной плоскости. А 1/x по субботам уходит в точку 0, и ей там крышу сносит: видели ночь, гуляли всю ночь до утра. n. b. есть сексисткий анекдот и он тут очень в тему: - чем отличается хорошая девочка от плохой девчонки? - хорошая девочка умеет то же самое, что и плохая девчонка, но очень хорошо. Так вот, тут все наоборот плохая функция умеет то же самое, что и хорошая, но очень своеобразно. Что же это такое, почему это произошло и как теперь с этим жить? продолжение следует...
Ох, просто в молодость окунулась. Когда - то с этими комплексными числами по небу летала. 😀🙋♀️
А есть какие то уравнения для решения которых требуется еще большее расширение множества чисел? Или комплексных напрочь хватает?
гиперкомплексные числа, такие как кватернионы, октонионы, седенионы, дуальные числа, дуальные кватернионы и прочее. А еще можно вспомнить про различные системы счисления - хоть там цифры в виде символов те же самые, но числа устроены по-другому.
Комплексных хватает для решения всевозможных уравнений вида f(x) = 0, где f(x) есть функция вещественнозначная, а x переменная, которая изначально выглядит как вещественная, но при решении уравнения ищется в комплексной плоскости. Например для решения уравнения sin х = 5.
зависит от уравнения. есть уравнения на функции, которые и в комплексных сложно решить. Фактически остаются только те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные. *Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.* То есть - нормальной системы сравнения "больше/меньше" -- не построить, никогда. Даже не пробуйте. Уверен, для части от всех может и получится, но не для всех.
Если занудно: комплексные вектора - это поле - там действуют правила раскрытия скобок как в обычных числах - это называется поле - т.е. куда не кинь - везде посевы. А все что выше размерности - это тела и ещё более слабые системы, там скобки просто так не раскроешь - в этом вся трабла.
@@nartoomeon9378 «Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.» Тоже мне изъян. Во-первых, в общем случае рассматриваются не упорядоченные множества, а частично упорядоченные. И тогда в комплексными числами всё в порядке (каламбур ненамеренный). 🙂Во-вторых, «те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные» - это не по теме. Вопрос был не о расширении основ математики, а более конкретно, о расширении множества чисел. И здесь даже всякие там кватернионы ни при чём. Комплексные числа можно рассматривать как обобщение действительных чисел для решения уравнений в вещественных чисел. Аналогия с обобщением положительных чисел путём введения отрицательных просматривается. А с кватернионами - нет. Или я её не вижу.
23:00 перейдя от вещественной числовой прямой (1D ) на плоскость, т.е на 2D мы получаем отображение комплексных чисел. А вот если добавить ещё одну ось, перпендикулярную доске, тем самым перейдя уже в 3D, можно ли будет отобразить ещё какие-нибудь числа? Если да, то какие? Кроме комплексных(2D) я больше ни о каких не слышал.((
Можно доказать, что каких-то интересных трёхмерных чисел определить не получится, у них будут не очень хорошие свойства (например, делить на ненулевое число не всегда будет можно). Вот четырёхмерные интересные числа есть, называются кватернионы a+bi+cj+dk (i, j и k дают в квадрате -1). Кватернионы некоммутативные, то есть в них ab не всегда равно ba. Для большего конечного числа измерений будут теряться и другие свойства. (А вот бесконечномерные расширения вещественных чисел могут тоже обладать хорошими свойствами).
@@clopendoor поражают люди, которые во всём этом могут разобраться.
Я знал, что этот видос есть в формате подкаста на Яндекс музыке!!!
В книге "Что такое число" прочитал, что "многие чисто вещественные факты невозможно понять без продолжения в комплексную область, например, почему ряды для sin(x) и cos(x) сходятся везде, а arctg(x) только для |х|
С комплексными числами теорема Пифагора расширяется и имеет тот же вид для всех (любых) треугольников, а не только прямоугольных.
Нет.
Вот это для меня уже дико)))
Спасибо, очень доступное и подробное объяснение, показал пацанам, им тоже понравилось. Блин, если бы у меня был такой учитель в школе или в университете, я бы не пошел в бандиты, а стал бы математиком.
Как известно, киллеру математика нужна, чтобы правильно подсчитать патроны. Рэкетиру - чтобы подсчитать оптимальную дань с коммерса. И по вашей части найдется, где талант применить. Например, оптимальную температуру и глубину погружения паяльника.
Или требуемую площадь подошвы утюга, для достижения точки екстремума, в функции слива информации.@@sobolzeev
Здравствуйте, оч интересно, посмотрел и возник вопрос, а есть числа где j^2=-i?
хороший вопрос в комплексной плоскости это уравнение имеет решение, т.е. новых чисел не требуется для его решения таким способом (т.е. требуя чтобы это уравнение имело решение) за пределы комплексных чисел не выйдешь
0,71-i0,71
Чёт я не совсем понял на 12:40 "покрайней мере", это получается не все решения... А если он равные по модулю и разные по знаку?
Математики как и историки заходят издалека)).. спасибо!
И вроде все понятно, и в тоже время не понятно. А так в принципе понятно.
06:52 вот мне тоже с моей памятью всегда было проще понимать и выводить формулы, нежели их учить 😅 пошел смотреть кватернионы 😏 спасибо за занимательную алгебру 💗
Ничего не понял, но почему-то очень интересно)
Не совсем понятно, но хорошо, что коротко.
Теорема о "возможной длине пути для хомяка в колесе".
Пиво в магазах надо продавать не по паспорту, а по решению кубических уравнений прямо на кассе. Вот это был бы мотиватор😂
Первые 2.5 минуты вроде всё понимал, но потом исчезли цифры и начались буквы, и на этом мои полномочия всё )).
Математика это разговор не о цифрах, буквах или других "мифических" символах, бывших, существующих и будущих, это разговор о взаимосвязях
@@user-wk3pr9dn3xПолагаю, вы правы: будучи гуманитарием, для меня различные языки человеческого общения как минимум структурно понятны, однако язык математики остаётся за пределами понимания. =} Из школьного набора приобретённых знаний в области математики пользуюсь только таблицей умножения и пропорциями в повседневной жизни, на этом всё )). Никаких формул или теорем ).
Больше всего меня радует, не поняв что есть -1 мы переходим к комплексным числам...Внимание вопрос!!!! "А был ли мальчик?"жизнь Клима....
Ну так поймите сначала, потом переходите. Вы куда-то спешите?:)
Почему две части комплексного числа суммируются, а не пишутся через запятую, как например координаты точки на плоскости?
Суммируются не части комплексного числа, а комплексные числа, у каждого из которых одна из компонент нулевая. Комплексное число можно запиcать через запятую, но можно и через сумму. Например, (5,7)=5+i*7, здесь записано, что число (5,7) это сумма двух чисел, (5,0) + (0,1)*(7,0). При записи через сумму используются обычные действительные числа вместе числом i=(0,1). Такой способ записи позволяет избежать использования запятых, потому что запятые могут смутить читателя - что же тут эти запятые означают ...?
Лекция классная. И профессор предельно оптимистичный. Но почему-то я никак не мог отделаться от клешовой мысли о фанатиках-ученый. А про комплексные числа еще сам Карл Маркс долго раздумывал, но пришел к простому выводу, что это затейлевая игра умов математиков и не более.
25:40 мысль: если в математике (в мат. логике) появилась альтернатива положительности и отрицательности числа (в форме комплексного числа), то почему не рассматривать альтернативу равенству и неравенству двух чисел? В этом направлении можно расширить базис и тоже что-то вывести.
Да сколько угодно... Стоит только немножко подумать.
Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм сколько угодно альтернатив создаётся.
@@rubcovovy «Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм, сколько угодно альтернатив создаётся.» Совершенно верно. В таких случаях я говорю: «дурное дело нехитрое». 🙂
Исторически автор прав. Комплексные числа получили первое широкое применение именно в формуле Тарталья (плагиатор и клятвопреступник Кардано только опубликовал эту формулу). Но вот неполное кубическое уравнение не есть всего лишь шаг в решении полного кубического уравнения. У него есть собственная мотивационная задача. Чтобы ее рассказать, вспомним, что ящик определяется длиной, шириной и высотой только с точки зрения геометра и плотника. С точки зрения торговца он определяется объемом (доход) и площадью поверхности (расход). Сечение ящика обычно фиксированное (например, квадрат), а вот длина может ме+няться. В случае квадратного сечения со стороной х, при заданном объеме V и площади поверхности S, x удовлетворяет уравнению 2x^2 + 4(V/x) = S или x^3 = (S/2)x - 2V, что есть неполное кубическое уравнение. Аналогично возникло и квадратное уравнение: прямоугольный участок земли с площадью A и периметром P имеет сторонами корни квадратного уравнения x^2 - (P/2)x + A = 0. Откуда и следует замечательное свойство, что (P/4)^2 >= A или что оптимальным таким прямоугольником будет квадрат.
Комплексные числа на курсе "вышки" и ТОЭ тоже одолевали этими числами, в части переменного тока. Помнится были курсовые задания по ТОЭ решение задач методом КЧ и другими методами, сравнение результатов.
Без истории про промежуточные мнимые числа при нахождении действительных корней кубического уравнения полноты нет.
Ан-нет, досмотрел. Всё на месте)
@@vp_arth Это вы классно выступили. Вот и я так же: начинаю писать комментарий, на фоне этого слышу аудио канал видео и вдруг понимаю, что пишу зря. 🙂(Но чаще получается, что не совсем зря.) Лучше не удаляйте ваш комментарий, он хорошо смотрится.
❤
Корень из минус единицы равен половине нуля. Ведь функция игрек равно i квадрат не имеет своим значением минус единицу. Однако при игрек, стремящемся к минус единице, i стремится к нулю. Возьмём производную левой и правой части. Получим два i равно нулю. Таким образом i равен ноль разделить на 2.
Благодаря комплексными числам можно с полпинка доказать или вывести любое тригонометрическое тождество.
Вот так преподают математику те, кто живут математикой!
Придумал (решил) все таки Тарталья, а Кардано просил рассказать приём решение у Тарталья, под честное слово, что никому не откроет этот секрет. Слово свое сдержал, никому не рассказал, а просто написал об этом в книге. Поэтому, и называется формула Кардано.
Ничего не понятно, но очень интересно.
Мы не проходили комплексных чисел и познакомились с ними в аэродинамике и теории автоматического управления, жесть. МАИ 1979-1984.
А если ввести ось z, получим множество всех чисел (точек) не плоскости, а объема. Как такие числа называются?
Можно не только одну новую ось ввести, можно ввести бесконечное множество числовых пространств 4, 5,... ,N
Посмотрите его (Савватеева) лекцию про кватернионы.
Мнимые
гиперкомплексные. и они плохие. Там не будет возможности деления. Алгебра будет, но хуже чем у комплексых.
@@nartoomeon9378 «Алгебра будет, но хуже, чем у комплексных.» Так-так... Значит, измеряем качество алгебр числом операций? 🙂