Найдите угол: задача по геометрии
2021 ж. 8 Жел.
102 797 Рет қаралды
Решаем задачу по геометрии тремя способами: алгебраически, через пропорции и через тригонометрию.
Решаем задачу по геометрии тремя способами: алгебраически, через пропорции и через тригонометрию.
Как вам мой способ: Отражаем треугольник относительно нижней стороны. У нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 4 и площадью 4 (угол между равными сторонами - 2альфа). Площадь треугольника можно найти по формуле 1/2*а*б*sin(угла между ними) подставляем данные и получаем уравнение: 4=0,5*4*4*sin(2a) Отсюда Sin(2a)=1/2 2а=30⁰ а=15⁰
Самое лаконичное
Лучшее
Прекрасная идея!
Ну, на видео же есть это решение.
По моему, проще: проводим высоту и медиану к данной гипотенузе. Высота 1 (следует из площади, как позазано в видео), медиана 2 (радиус описанной окружности), и они формируют треугольник с гипотенузой в двое длиннее катета, т.е 30-60-90. Угол против катета (т.е. высоты), размером 30° - это центральный угол окружности описанной вокруг изначальното треугольника, на хорде. Соответственно, угол альфа на той же хорде - половина, т.е. 15°. smgxx описал что-то подобное ниже...
Я тоже так решала
И я так решила)))
Это к третьему (тригонометрическому) способу, как вариант: Если с - гипотенуза, a и b катеты, то а = с*sin α, b = c*cos α согласно определению тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. S = (a*b)/2 = (c²*sinα*cosα)/2 = (c² * sin2α)/4. Подставляем S = 2 и с = 4. Получаем 2 = (16*sin2α)/4, то есть 8 = 16* sin2α или sin2α = 1/2, 2α = 30˚, α = 15˚. Либо 2α = 150˚, α = 75˚.
По моей формуле плошадь треугольника можно найти так: площадь прямоугольного треугольника равняется половине квадрату катета умноженном на тангенс прилежащего к нему угла: S=1/2*a^2*tg(a) Теперь найдем прилежащий к углу альфа катет a: a=4cosa; подставим теперь в формулу: 2=1/2*16*cos(a)^2*tg(a)=8cos(a)*sin(a)=4sin(2a) =>2a=arcsin(2/4)=> a=15 градусов
Собственно именно так я и решил. Непонятно, зачем в третьем примере нужно симметричное отражение?
Решал точно также. Это наиболее простой и понятный способ без использования сложных вычислений и дополнительных построений. Странно, что автор ролика не предложил именно этот способ.
@@v.volynskiy Да, это постороннее решение, не удовлетворяющее условию задачи.
@@alexanderchentsov8113 он дал нам в кои-то веки немного поторжествовать над собственными способностями!) а то вечное унижение какое-то: сидишь, пыхтишь, вот уже решение найдено, да и неплохое, заходишь - а там в ролике решение в два-три действия. И облом! (это шутка если что)
Я решил ещё одним способом (богатая задача!). ОТразил сначала через длинный катет, потом двойной треугольник -- через бывшую гипотенузу. Получился учетеверённый изначальный треугольник. затес провёл высоты в удвоенных треугольниках (они получились на одной прямой, соединяющей вершины). Сумма высот равна 4 -- получившийся треугольник -- равносторонний, тк гипотенузы -- другие две стороны также по 4. Значит 4ɑ = 60°. Ну а ɑ = 15°.
Ещё способ - достраиваем треугольник до прямоугольника. Запишем его площадь через диагонали - 1/2d^2sin(d^d)=1/2*4^2*sin (d^d)=4. Значит, sin(d^d)=1/2, а угол 150 (согласно чертежу). Из р/б треугольника получаем, что альфа равен 15 градусам
Красивое решение, пожалуй самое лучшее из всех! Браво!!!
И без заморочек!и поэтому дети и не понимают что он несет !
Блестяще👏👏👏
Если уж привлекаете тригонометрию, то можно проще: a=4cos(alpha); b=4sin(alpha): 16 sin(al) cos(al) =4; > sin2(al)=1/2> al=15*
Строим симметричный треугольник относительно длинного катета. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 4 и площадь 4. Опустим высоту на боковую сторону и выразим площадь как половина произведения этой высоты на боковую сторону , откуда получим что эта высота будет равна 2. И все.
👍👍👍 Так на много проще. Не все. 2/4=Sin2Альфа, 2Альфа=30градусов. Альфа=15.
@@TomTom-gm2bc да , продолжение именно такое. Я просто подумал что дальше уже очевидно
Действительно классная задача. Первое решение - оно на виду, но совершенно не оптимальное.
спасибо за разбор интересной задачи
Здравстуйте ) а вот мой метод решения : S=1/2ab , ab=4 Sin@= a/4 cos @=b/4 , Sin2@= 2Sin@Cos@ , подставляем - Sin2@=2 * a/4 * b/4 , Sin2@=4/8=1/2 , 2@=30градусов и @=15 градусов ))))
Если вписать этот треугольник в окружность, то её радиус будет равен половине гипотенузы. А из S=(1/2)*a*h длина высоты из прямого угла на гипотенузу равна 1. Построив из центра описанной окружности второй радиус к прямому углу заметим что угол между ним и гипотенузой равен 30°, а искомый угол опирается на ту же дугу. А вписанный угол в два раза меньше центрального.😉
Как всегда -- восхищён!
Андрей, ваше решение может победить в конкурсе на самое сложное и запутанное. Через достроенный прямоугольник и формулу его площади как полупроизведение его диагоналей на синус угла между ними, находим угол -30 ° Ну а дальше сразу видно, что искомый угол 15°. Вы трчно не ищите легких путей.
Проводим высоту к гипотенузе, она равна 1. Проводим медиану к гипотенузе она равна 2, у нас образовался прямоугольный треугольник с катетом 1 и гипотенузой 2, значит угол в этом треугольнике напротив высоты равен 30градусов. и также у нас есть равнобедренный треугольник с углами при основании альфа, а 30 это 2 альфа, значит альфа равен 15 градусов
Красиво!
Для решения этой задачи есть множество правильных вариантов, я думаю, которые усложняются намеренно. Предложенный вариант, решения поставленной задачи, с использованием медианы, показывает, неоспоримую, элегантность решения подобных задач.
Это лучшее решение! (потому что я тоже так решил 😄)
Не понял откуда 1/a получил и основание 4a
@@misha-ed3dp3nb5x через площадь. Высота 1. Медиана - половина гипотенузы.😂
Нет, очень громоздкое решение. Решение Волкова больше нравится, но здесь в комментариях есть более красивое и простое решение у Марии. Но всё равно спасибо, что побудили порешать эту задачу ещё раз.
Если гипот. 4, а площадь 2, значит высота из пр.угла 1. Т.е. высота в 4 раза меньше гипотенузы. Это означает, что острые углы 15 и 75 (это работает в обе стороны: также верно, что если есть угол 15, то высота в 4 раза короче гипотенузы).
Мне больше понравился последний способ. Самый короткий.
Опустим высоту на гипотенузу. Из площади и гипотенузы получим что высота равна 1. Соединим прямой угол и середину гипотенузы - получим равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник с найденной высотой 1 и гипотенузой 2. Значит углы у него 30 и 60 градусов. А искомый угол равен половине 30, т.е. 15. Судя по комментариям это распространённое решение
Мой способ, провести медиану из прямого угла, а дальше площадь половины треугольника и сразу находим синус двойного угла
Спасибо !
Стыдно признать, но я уже многого не понимаю и не помню. Хотелось бы оказаться на уроке алгебры и геометрии. Очень любила эти уроки.
По моей формуле плошадь треугольника можно найти так: площадь прямоугольного треугольника равняется половине квадрату катета умноженном на тангенс прилежащего к нему угла: S=1/2*a^2*tg(a) Теперь найдем прилежащий к углу альфа катет a: a=4cosa; подставим теперь в формулу: 2=1/2*16*cos(a)^2*tg(a)=8cos(a)*sin(a)=4sin(2a) =>2a=arcsin(2/4)=> a=15 градусов
arcsin(2/4)=150° , откуда еще одно решение 75° вполне "укладывается" в прямоугольный треугольник.
@@user-sn1bj1li2g В начале же решили, что надо найти только угол меньше 45 градусов
у меня завтра будут вступительные, спасибо за такой чудесный ролик, я очень рада!!
Высота h=1 Из среднего геометрического имеем: X^2 - 4X + 1 = 0 Меньшее значение Х и есть Тангенс искомого угла A :
Решил первым способом.10-й класс окончил в 1958 году. И зачем теперь оно мне нужно?
я решаю эту задачу намного проще - только циркулем и линейкой - описываю вокруг треугольника окружность на гипотенузе, провожу паралельную линию к гипотенузе на вершине - получаю хорду, и далее достраиваю треугольник на хорде сверху и через отрезки и углы нахожу что это хорда 120 градусов, прилежащий к ней угол хорды меньшей стороны треугольника 180-120=60/2=30, а значит угол треугольника лежащий на хорде половина - то есть 15. Я считаю что это один их способов каким образом греки нашли этот угол (по сути биссектрису угла 30). ВТорой способ - через сочетание квадрата и равностороннего треугольника.
Дорисовать до ромба со стороной 4, так что исходный треугольник будет четвертинкой. А2*sina=8,. sina=1/2
Отличное решение!
В третье способе кувыркните ещё раз через гипотенузу. Всего получится 4 треуголника общей площади 8, т.е. высота 4, т.е. правильный треугольник, ответ 60/4 градусов.
Последний способ люкс. Лайк
Ну, второй способ - это, как ехать из Берлина в Мюнхен через Москву.
Так есть же правило, что сторона, лежащая против угла 30 градусов, равна половине гипотенузы.
Решил тригонометрически. Примерно как в третьем варианте у автора. Только дорисовал до прямоугольника. И через формулу площади через диагонали и угол между ними, нашёл сам угол, который является двойным углом искомого. S=0,5d^2 *sinX, где Х=2а 4=0,5*16*sinX sinX=0,5 - двойной угол Х=п/6 =30° Откуда a=15° b=75°
Позавчера решал такое. ValeryVolkov на канале выкладывал. ЕМНИП 15°
В начале видео об этом сказано
@@alexvleyko да, но я отписал еще до просмотра. На превьюшке узнал.
Может вторая высота равна 2а не по теореме Фалеса, а из подобия треугольников?
7:24 так площадь дельтоида: 1/2*(4а)^2*sin(2α)+1/2*(1/а)^2*sin(180°-2α)=4
не долго думая площадь через произведение сторон 4sinα*4cosα/2=2 и дальше через синус двойного угла
sin 15 градусов равен ((sqrt(6) - sqrt (2))/4) - я с учениками получаю такое выражение,когда разбираю разность аргументов для синусов на уроке тригонометрии. sin(45-30) :)
? = 15° Усно, приблизно за хвилину )
Истина не зависит от точек зрения. Как и ответ этой задачи от способа решения.
а нельзя найти катеты таким образом: 1). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a^2+b^=16 2) Площадь равна полупоизведению катетов. 0.5ab=2, т.е. ab=4 Ну, вот, два уравнения с двумя неизвестными.
Ваш способ достаточно легкий и требует минимальных познаний. вопрос вот в чём- как мы найдём какой из катетов есть кто. В целом, он примерно помогает определить угол- либо 15• либо 75.
а как насчет достроить до прямоугольника и записать его площадь через диагональ и угол между диагоналями? 4 = 0,5 * 4 * 4 * sin2α ПС. кстати, полезная информация, которую можно и запомнить - синус и косинус угла 15 градусов
Достроим до прямоугольника. Тогда: 1) площадь прямоугольника S=4; 2) d=4 - одна из диагоналей прямоугольника; 3) D=4 - вторая диагональ этого прямоугольника; 4) один из уголов между диагоналями β = 2α. Воспользовавшись связью между длинами диагоналей, площадью и углом между диагоналями в параллелограмме d = (2*S) / (D*sinβ), получим: 4 = (2*4) / (4*sin2α); разделив левую и правую часть на 4, получим 1 = 1 / (2 * sin2α); т.е. sin2α = 1 / 2; откуда α = 15˚
А ничего, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Это я в школе лет 30 назад проходил - как щас помню...
Нет, нет, ты не правильно понял. Искомый угол равен 15 градусам, угол в 30 градусов - это двойной угол, формула тригонометрическая такая есть (. sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a). )
@@prestizhshop5348 надо заметить, что человек понял всё правильно. Т.е. обратное условие- напротив катета, равного половине гипотенузы, лежит угол в 30• здесь не работает . Это напоминает мне ломаные школьные задачки с нахождением сторон треугольника до изучения теоремы Пифагора, в которых сумма квадратов катетов была меньше квадрата гипотенузы . Т.е. данного треугольника вообще-то не должно существовать. Площадь в любом случае будет равна 2 на 2 и на половину. Т.к. есть как минимум один угол 30°(которых вообще должно быть два!!!!) . Я честно говоря не помню теорему о соотношении сторон треугольника, но что-то мне подсказывает, что она тут не работает. Чрезмерное усложнение задачи привело к её нереальности.
интересный факт, chat gpt 3.5 не может решить данную задачу, у него получается ответ 2 угла по 90 град и 1 14,48 град.
Очень хорошо, только площадь в единицах не меряется, вы пропустили слово в квадратных единицах.
Спасибо, решила третьем способом.
есть простая формула: S = 0,25 * c^2 * sin(2alfa)
Находим сторону, она будет равна 0.5 отсюда угол равен 15 градусов, если был бы 30 то сторона равна была бы 2
Я получил удовольствие от всех трёх решений ,
Я эту задачу решил через систему уравнений, который привел после к квадратному. Решение вышло не однозначным
👍
Речь идёт о втором способе решения задачи.
👍👍👍👍👍👍
очень сложные решения. очень просто решается просто уменьшите все в 4 раза, площадь в 16 раз. далее очевидно: 2 син кос = ,5 син = 0,5 это 2 альфа
Вы в шахматы играете? Попробуйте, пожалуйста, шахматы и попробуйте, пожалуйста, компьютерные шахматы.
Раз уж мы знаем тригонометрию, зачем лишние построения: Основание равно 4cosA. Высота равна 4sinA. Площадь 0,5x16sinAcosA=2 2sinAcosA=0,5 Sin2A=0,5 2A=30 градусов A=15 градусов
Спасибо за ваши уроки. Помогите, пожалуйста, решить задачу. Есть треугольник. Из одного угла проведена биссектриса, которая разбивает площадь заданного треугольника в отношении 1 к 2. Надо найти углы треугольника. Заранее благодарен. Спасибо.
Попробуйте использовать теорему о том, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (ну и площадь тоже). Если получите нечто странное, не удивляйтесь и проверьте своё решение ещё раз.
Если больше ничего не дано, то углы при основании должны удовлетворять соотношению sinA =2sin B (из площадей через синус) и при этом дополнять верхний до 180. Например, 90 и 30 при основании, если верхний 60 градусов.
@@karojanna да, это похоже и есть решение. Спасибо вам за помощь.
Вы, супер преподаватель я в Геометрии начинающий но даже мне что то понятно здесь)
Якщо би він був супер викладачем, то розв'язав би цю задачу оптимальним способом, доступним навіть для учнів 7 класу, чого і очікував автор задачі. Див., наприклад, коментар smgxxx.
Алгебра это святое
Genial
Ответа на самом деле 2. Мне понравилось решение номер 1, так как оно похоже на моё: S=0.5*a*ha a= 4cos(x) ha= 4sin(x) 0.5*4sin(x)*4cos(x)=2 Ответы в итоге такие: x= 15° и x= 75°
Это 1 ответ, просто повернули треугольник по-разому: 15+75+90=180
Я там же нашёл
2 способ красивее)
Мне не по себе от его голоса.
достаточно одной формулы: S=½c²sinAsinB/sinC, 2=½4²sinAsin(90°-A)/sin90°,...
1/2SinA×4×CosA×4=2 SinA×cosA=¼ А тут можем решить через основное тригонометрическое тождество: 4SinA=CosA Sin²A+16Sin²a=1 17Sin²a=1 SinA=\/1/17
Я пошёл решать в лоб: Составил систему уравнений через площадь и теорему пифагора: 4=ав 16=a^2+b^2 Путём преобразований (не оптимальных) пришёл к уравнению b^4-16b^2+16=0 x=b^2 x^2-16x+16=0 D=192 x1=14,93 x2=2,14 Получились ДВА треугольника: Треугольник 1 b=3,86; a=1,04; alfa=15 градусов; S=2 Треугольник 2 b= 1,46; a=2,74; alfa=43 градуса; S=2 НО! У второго треугольника не получается гипотенуза равная 4-м! Она получается 3,1 Вопрос: почему так вышло? Как мог получится второй неправильный треугольник из системы уравнений, завязанной на гипотенузу?! На каком этапе и почему я должен был его отбросить? Буду благодарен за ответы.
Второй способ.
Не понял только, ПОЧЕМУ высота, опущенная из вершины ПРЯМОГО угла в исходном треугольнике равна ЕДИНИЦЕ???!!!
Потому что площадь равна 2, а площадь треугольника = 1/2 основание * высоту.
Там у вас площадь четырехугольника равно 2+2=4 а не 8!
Я чего-то не понимаю, по моему сторона не может быть больше, чем площадь
Ещё как может можно сделать треугольник с основанием 1000 чтобы у него площадь была меньше 1/1000, надо только чтобы высота была очень маленькой
@@schetnikov можно сколько угодно приближаться к нулю, всё равно сторона будет меньше*
@@justpotato8794 А если подумать? Чего уж проще: сторона 10, высота 0.1, какая будет площадь?
Объясните пожалуйста малограмотному, откуда нашли величину высоты к гипотенузе?
Величиньі бьівают либо абсолютньіе, или относительньіе . Вьі спрашиваете что - то среднее; одно по отношению к другому, - такого не бьівает. Как говорят в.Одеессе -єто две большие разницьі. По мне, так лучше даньій прямоугольньій треугольник поместить в окружность, где гипотенуза будет ее диаметром. Если посмотреть чему равна вьісота через синус угла на самой окружности и двойного угла из центра, то приравняв и сократив на 2 получим простое решение. Поскольку с уравнениями Вам трудно, то достаточно, отьіскав из площади вьісоту, которая здесь равна 1, радиус 2, (поделив одно на другое получим 1/2) и рассмотрим только центральній треугольник , легко определив что центральньій угол у него равен 30 градусов ( табличньіе значения синуса). а искомьій - его половине, по свойству дуги.
Из стандартной формулы площади треугольника. S = (ah)/2, а подставив значения, получаем 2=(4*h)/2
@@prestizhshop5348 спасибо большое. Стыдно забыть такие элементарные моменты.
S = (ch)/2. отсюда h = (2S)/c = (2*2)/4 = 1 (S = площадь треугольника, c - гипотенуза, h = высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе).
@@user-jh8hh1iy6x батько, а з ким це Ви, тiльки що балакали? 🤔🤔
А я второй способ не понял. Позор. ☹️
Прям мой учитель по математике. Вообще непонятно откуда берутся утверждения.... А это значит 1/а. Это ничего не значит, пока не доказано. Видео не подходит для Ютуба.
Ну он же сказал, что треугольники подобны. Значит соотношения сторон в них должны быть равны. Если в одном отношение катета при остром угле к гипотенузе равно a, то и в другом длина соответствующего катета делить на длину гипотенузы должна быть равна a. Что тут доказывать? Ну может не подчеркнул человек логическую цепочку.
Гораздо труднее понять полную логику решений и построений. В арифметическим наверно сначала калькулятором высчитали угол, а потом уж решили высчитать синус удвоенного угла.
Геометрическое решение в общем интересно. В исходном треугольнике соотношение сторон неизвестно. В финальном высота всегда 2а, а вот гипотенуза пропорциональна площади и синусу двойного угла.
Ничего не понятно...
накуя так запутывать, решение 30 сек, диз
Да, 2 ур-я
9:20 почему стало быть 2 альфа 30 градусов ? Вот этого не понял
Объяснения нету либо я тупой
А может и то и то