Найдите гипотенузу

Когда решаю или слежу за ходом готового решения в голове исчезает старческий шум и становится ясно в глазах!

P.S. Заслушался, даже забыл лайк поставить. Пришлось возвращаться. Отличная драматургия ролика!

Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы, r = (a+b-c)/2. Площадь S = r*P/2. Отсюда r=2S/P=2. Значит, a+b-c = 4. В то же время a+b+c=P=30. Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы сократить a и b; получим 2c = 26 и c=13. Всё.

Чё-то сначала подумал про классические 3х4х5, но как же вовремя я вспомнил про не менее классический, но чаще забытый 13х12х5 ))))

30 - число целое, а значит, все длины сторон должны быть среди пифагоровых чисел. И можно перебором найти стороны 5, 12, 13.

Алгебраическое решение (система из 3-х уравнений) полностью повторяет вариант г-на Щетникова только без всякого чертежа. Ну, а метод через радиус вписанной окружности безусловно хорош!

Ай какая задача. Решил одним способом, а тут ещё как минимум 2

Отлично! Молодцы! Оба способа годны!

Both are elegant solutions. Very nice...thank you!

По теореме о том, что в прямоугольном тр-ке r=p-c (доказывается легко - там образуется квадрат), откуда площадь pr=p(p-c) → 15(15-c)=30 → 15-c=2 → c=13. r - радиус вписанной окружности p - полупериметр c - гипотенуза

Вообще решение простое из обычных знаний. S=xy/2 =30, xy=60, P=x+y+z=30, x+y = 30-z, x^2 + y^2 = c^2, x^2 + 2xy + y^2 - 2xy = (x+y)^2 - 2xy = z^2, (30-z)^2=z^2+2xy, 900-60z+z^2=z^2+120, -60z=-780, z=13.

Красота! Я решал алгебраически, находил сначала катеты. Выразил гипотенузу по Т. Пифагора приравнял периметр и площадь через неизвестные катеты, радикал влево, остальное враво, возвёл в квадрат, привёл подобные получилось xy( xy/4 - x - y + 2)=0 xy/4 - x - y + 2=0 xy/2 = 30 по условию 15-х-у+2=0 или у=17-х ху/2 = х(17-х)/2=30 х^2-17х+60=0 по Виета (х-5)(х-12)=0 Откуда очевидно катеты равны 5 и 12 соответственно. Гипотенуза = 13 по Пифагору или как египетский треугольник, что больше нравится 👍

ПРЕКРАСНЫЙ ФОРМАТ! СПАСИБО,удачи!

Какие Вы молодцы!

Оригинально, просто, красиво, наглядно! Даже дедушка Пифагор не пригодился!

Оба классные решения, браво!👏👏👏 Я решил еще проще. Так как и периметр и площадь целые числа, значит длина сторон треугольника с большой вероятностью тоже целые числа. Причем множество двух этих чисел равно 60. Берем пары чисел для этого равенства, например 12 и 5, 10 и 6, 20 и 3. Вычисляем через периметр гипотенузу и потом проверяем все стороны через теорему пифагора.

Спасибо большое за урок 💯👍

спасибо за труд.

просто прелесть!

Пожалуй, впервые решил легко и просто как г-н Щетников, нарисовав картинку из известного доказательства теоремы Пифагора. *Спасибо!*

Второе решение более изящное !

Ничего не скажешь, кроме того, что оба решения красивы! Как жаль, что эту красоту осознаёшь так поздно... А молодым- трава не расти- даже ни грамма заинтересованности, к сожалению, сколько ни стараешься им объяснить...

Алгебраическое решение: а, b- катеты; с - гипотенуза. (a+b+c)^2=a^2+b^2 +c^2+2ab+2c(a+b). Далее заметим, что a+b+c= P , a^2+b^2= c^2, ab= 2S, a+b = P-c. Перепишем начальное выражение P^2= 2c^2 + 4S +2c(P-c). Раскрыв скобки и сократив, получим уравнение: P^2= 4S+ 2cP. Решив уравнение относительно c, получим: c =(P^2-4S)/2P. Подставим численные значения: c= (900-120)/60= 13.

Лихой тандемчик. Восхищён!

Андрей, спасибо. Можно ещё алгебраическим способом.С помощью системы уравнений. Нужны детям умения по возведению трёхчлена в квадрат.

как тут не поставить лайк в квадрате !

Во втором рещении можно подставить, что гипотенуза равна полупериметру минус радиусу вписанной окружности

Хорошие решения!

очень красивое решение! п.с. второе решение тоже класс!

Алгебраический метод: пусть а и б - катеты, с - гипотенуза. Запишем систему уравнений, где ab/2=30, a+b+c=30, по теореме Пифагора a^2+b^2=c^2. Первое уравнение домножим на 4 и получим 2ab=120, из второго уравнение выразим a+b=30-c, третье уравнение запишем в виде формулы сокращенного умножения квадрата суммы предварительно вычтем 2ab чтобы не менять структуры уравнения. Тогда получим (a+b)^2-2ab=c^2. Подставим первое и второе в третье уравнение: (30-с)^2-120=c^2. Раскроем скобки, приведем подобные откуда с=13. upd.: в принципе почти так и было в данном видео :)

Через формулу Герона можно решить. Там бывают страшные преобразования, но в целом можно спокойно решить)

Была равнодушна к геометрии, теперь хочется восполнить пробел, тем более, что внук скоро будет её изучать в школе.

Приятно смотреть

Периметр и площадь имеют разные единицы измерения, а именно метры и соответственно квадратные метры. Надо быть внимательным.

Катеты я сразу нашёл.... Почти Я пошёл иным путем Раз площадь равна 1/2 от произведения катетов то а* b=60 Тут появляются варианты со сторонами 5 12 и 13 чт в итоге и верно 10 6 и 14 ну и другие варианты есть тоже Найти верный ответ помогла теорема пифагора. 25+144=169

можно через систему уравнений, состоящую из формулы герона и формулы площади прямоугольного треугольника (половина произведения катетов).

Вам спасибо! Не знал такую формулу площади треугольника, видимо в школьной программе 80-ых не давали.

Решила напролом через систему трех уравнений с тремя неизвестными🤣

красивое решение, но до него тяжело додуматься! вот решение в лоб: 1/2 ab = 35, c2 = (a+b)2 - 2ab = (35-c)2 - 140 , все, решаем уравнение

Я сделал так. Вписал окружность в треугольник, и нашёл по формуле r=2. Также формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник это (a+b-c)/2. Отсюда a+b-c=4 Далее лично я подбирал такие числа, где a*b=60, потом находил по a и b по теореме Пифагора с и проверял формулу а+b-c=4. У меня сошлось довольно быстро, что a и b это 5 и 12, а с=13

Здравствуйте. Вспоминаю свой 4-й класс из молодости, снова за партой, снова разинув рот. Всегда людей привлекали геометрические задачки, особенно с треугольником, может мозг так "развлекается".? Каналу- лайк.

Класс!

S = 30, P = 30 имеем систему уравнений: a + b = 17 ½ a * b = 30 ⇒ a * b = 60 решаем дальше систему и получаем следующее: b = 17 − a a² − 17a + 60 = 0 корни второго уравнения: 5 и 12 - это и есть длины катетов треугольника..

Произведение катетов равно 60 , а далее применить теорему Пифагора. Ответ: 13

Как решают эту задачу Алексей и Андрей: строят квадраты, окружности и т.п. Как решаю я: О, у треугольника 5-12-13 такая же площадь! Надо проверить периметр. О, сошлось! Ответ: гипотенуза равна 13.

Я решил, 2 способом)

👍👍👏👏😊

Боже. Я пол тетрадки исписал перед правильным решением. И мой способ отличается. Я решал через систему. Первое уравнение вывел из теоремы Пифагора(x^2+(60/x)^2= y^2, где х - это катет, а y - гипотенуза), второе из периметра(30-x-(60/x) = y, где x - катет, а y - гипотенуза). Упростил, методом подстановки решил. Получил квадратное уравнение. Из него выяснил, что катет может быть как 5 так и 12. А гипотенуза везде равна 13)

В школе математику не любил,к геометрии был равнодушен.Видимо,препы были плохие.Нашел этот канал и с радостью смотрю.

Проще составить систему ab=60,a+b+c=30,a''+b''=c''последнее уравнение т.Пифагора.Решение очень простое.(30_с)"=(а+в)" далее900-60с=120 следовательно с=13.

Мне уже 60, и всё жду, жду, ну когда же наконец мне понадобятся все эти уравнения.

a*b=60, a+b+c=30 отсуда a+b=30-c. Обе стоаны к квадрату + Теорма Пифагора a^2+b^2 +2ab=900-60c+c^2, 120=900-60c, c=13 Кто в теме поймет

2ой мужик очень разумный.

Второй способ легко чем первый.

👍👍👍

решил я совершенно по другому,(очень просто) но ответ совпал :)

Очен спасиба!1 Я из Болгария , также извините за мой булгаро-рускии...А сеичас усльшате моя задача--Толька с три единакивае цифри и внсю математику ,включая и операция синус , получите равенства 24. Задача имеет несколка решения , ну найдите поне три... Спасиба!!!

Квадрат суммы катетов треугольника со сторонами a, b, c: (a+b)^2 = (P-c)^2 = a^2 + b^2 +2ab = c^2 + 4S. Итак (P-c)^2=c^2 + 4S [в числах -- (30-c)^2 = c^2+120], откуда с = 13, (a+b)^2 = 289, a+b = 17.

А+б=30-с (А+б)2=(30-с)2 А2+2аб+б2=900+с2-60с А2+б2=с2 С2+120=с2+900-60с С2-с2+60с=900-120 60с=780 С=13

Я сделал это методом подбора т. к у нас треугольник прямоугольнвй то его площадь равна половине произведения катетов а значит произведение катетов равно 60 , далее я выписал все делители числа 60 и оказалось что только 5 и 12 удовлетаоряют тому что произведение их это 60 а их сумма при вычитании из 30 даёт цифру которая болише каждого из катетов по отдельности

13

Задачу решил графически. Так как треугольник прямоугольный (х × у) ÷ 2 = 30; х = 60÷у; х + у + √(х²+ у²) = 30. Графики пересекаются в точках (5;12) и (12;5), Значит 12² + 5² = z²; z = ±13. Условию задачи удовлетворяет z = 13. Ответ: 13

А если число 60- на простие множители разложить? И получив несколько вариантов, учитивая что P=a+b+c=30 и теорему Пифагора можно получить решение... .

13. Катеты 5 и12. Можно просто в лоб. Площадь прямоугольника должна быть 60. Берём 4×15. Проверяем: 4×4+15×15=241 корень из 241 чуть больше 15-ти складываем 15+15 уже 30, а ещё 4. Не подходит берём вторую пару: 6 и 10 проверяем 6×6+10×10=136. 11

Увы, и это ещё не всё. А если бы площадь равна 40 при периметре 30, то решали бы так же красиво - вторым способом, например?

Нашла без особого труда, 13. Квадратное уравнение с с.

spaciba camarade......................kharachou...........................algiersky........................salut

А я, тупо, подобрал. Дорисовал треугольник до прямоугольника, площадь которого равна 60-и. А это либо 6×10, либо 5×12. 6×10 не подходит, а вот стороны 5 и 12 как раз в сумме квадратов дают 196, что является 13 в квадрате.

Пусть a, b - катеты, c - гипотенуза; тогда a^2+b^2=c^2 (1). {(1/2)ab=30; a+b+c=30}; {2ab=120; a+b=30-c}; Обе части второго уравнения возводим в квадрат: (a+b)^2=(30-с)^2; a^2+2ab+c^2=900-60с+с^2. Учитывая (1) и первое уравнение системы: c^2+120=c^2-60c+900; 60c=780; c=13.

Элементарно Ватсон Уравнение с двумя неизвестными для пятого класса

Поскольку числа целые, ищем подходящие Пифагоровы тройки по периметру и проверяем по площади. Быстро.😀 Но это решение для конкретных условий.🙁

долго разглядывал во втором способе про две гипотенузы вторую гипотенузу и что есть х и откуда он взялся, начал писать разгромный комент. Однако, я допер, что такое х в решении. х - отрезок, состоящий из отрезков с одним и двумя штрихами, что есть длина гипотенузы большого треугольника, и есть еще два отрезка с такой же длиной в его катетах, что в сумме даст такую же длину, что и гипотенуза. явно оратор слишком хорошего мнения о зрителях - на видео этот момент самый просматриваемый, видимо, это не для всех очевидно. было бы неплохо полет мысли излагать более подробно.

Здравствуйте! У меня такой вопрос, давно ищу на него ответ. Думаю вы мне сможете помочь. Я не физик и грамотно объяснить вряд-ли смогу, но постараюсь. В свободное от работы время изготавливаю ворота. У ворот верхняя часть дугой, я ее гну сам на станке. К примеру, беру я прямую профильную трубу длиной 4 метра, назовем концы трубы А и Б. Пропускаем через станок, гнем дугу. Высота дуги по центру возвышается на 20см по отношению к ровной плоскости. Вопрос, на сколько сокращается длина трубы от точки А до точки Б в прямой плоскости? Наверное теперь она будет называться ширина дуги..

5, 12, 13.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, необходимо составить систему уравнений: допустим катеты равны в и с, тогда в^2+с^2=169 в+с=30 Решая данную систему выражаем из 2-го уравнения в=17-с и подставляем в 1-ое уравнение, получаем 289-34с+2с^2=169. Приводим подобные с подобными, получаем квадратное уравнение: с^2-17с+60=0 По теореме Виетта получаем: х1+х2=17 х1*х2=60 Находим корни уравнения 12 и 5. Следовательно, катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5 единицам. Ответ: 12 и 5

Частнык случаи не интересны... Давайте уже обобщайте для всех типов треугольников... Или даже для всех многоугольников!)

Возвести в квадрат обе части заменить сумму квадратов катетов на квадрат гипотенузы а произведение катетов на удвоенную площадь треугольника и получим что гипотенуза 13

Pr/2 не помню. Помню формулу Геррона любимую извращенцами)

Гипотенуза равна 13

Вроде 6 способов, ну и подбором, если кто-то считает это способом, конечно

Ну есть долгий, но уверенный способ a2+b2=c2 a+b+c=30 ab=60 60/b+b+c-30=0 b2+(c-30)b+60=0 c2-60c+900-240=c2-60c+660 b=(30-c+√(c2-60c+660))/2 3600/b2+b2=c2 b4-c2b2+3600=0 c4-14400 b2=(c2+-√(c4-14400))/2 2(c2+-√(c4-14400))=(30-c+√(c2-60c+660))2 900+c2+c2-60c+660-60c+2(30-c)√(c2-60c+660)=2(c2+-√(c4-14400)) -60c+780=+-√(c4-14400)-(30-c)√(c2-60c+660) Ну а далее в калькуляторе получим 13

P=a+b+c= 30 S=a.b/2 = 30 a.b= 2.30=60 Теорема Пифагора: c^2=a^2+b^2 Но a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2.a.b = (a+b)^2 - 2.60 (a+b)= Р- с = 30 - c (a+b)^2= (30-c)^2 c^2= 900-2.30.c+ c^2 - 2.a.b 0=900- 60.c- 2.60 60c=900 - 120 c=78/6 =13

6 10 14 6 на 10 ,2 30

Простите, а чем Ваши способы ... неалгебраичны? Во всех случаях надо решать систему уравнений.

Гипотенуза 14

Площадь треугольника = произведение катетов/2. Произведение катетов = 60=2×2×3×5=12×5. Гипотенуза = 30-12-5=13. Проверка: 13^=12^+5^=169=144+25. Задача решена /устно/

В первом случае намного легче.Что то вы усложнили.

А там катеты случайно не 5 и 12 получились?)

Так вот же она, нарисована сверху под наклоном. И чё её искать???

У меня почему-то 14 получилось

Перемудрили, а на самом деле - проще пареной репы. 5, 12, 13.

а+в+с=30, а+в=30-с, а^2+2ав+в^2=900-60с+с^2, 2ав=900-60с, но 2ав=120, тогда 60с=900-120, с=13

Где-то около 11.

a и b - катеты; c - гипотенуза. a*b=60. a+b+c=30. c=30-(a+b). c=кв. корень(a^2+b^2). a^2+b^2=900-2*30(a+b)+(a+b)^2. a^2+b^2=900-60*a-60*b+ a^2+b^2+2*a*b. 900+2*a*b-60*a-60*b. 900+120-60(a+b). 900+120-60(30-c). 15+2-30+c. c=13.

Ответ 13

a+b=p-c

Посмотрев коммент Силва Адамяна согласилься с ними с=Р/2-2S/P,c=30/2-2×30/30=15-2=13

a1=5 ;b1=12 a2=12 ;b2=5

Не сокращаются, а уничтожаются х в квадрате