Eine schöne Gleichung - Kannst du sie lösen?
Exponentialgleichungen lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man eine Exponentialgleichung mit Substitution lösen kann. Wir nutzen das Potenzgesetz, um die Basen gleich zu machen und substituieren 2^x, um die Polynomgleichung mit Polynomdivision zu lösen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Exponentialgleichungen lösen
1:14 Basis anpassen
3:20 Substitution
5:37 Polynomdivision
11:07 Quadratische Gleichung lösen
12:44 Rücksubstitution
14:04 Bis zum nächsten Video :)
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Bist du Lehrer?
Lösungsregel dieser Potenzbeispiels: 3^3 + 3^3 + 3^3 1.Frage: Ist es: a) 3^9 oder b) 3^4 2.Frage: und warum ist es so…? Danke schön im Voraus und Bg.
was ist das Resultat?
@@dogandd5518 !!! Punktrechnung vor Strichrechnung !! Warum? Irgendein staatlicher Vorbeter / Römer oder Papst hat ma sog. Arabische Ziffern nach die damalige Europa eing'führt. Vermutlich auch die Zeichen für Formeln. Naja, was man einführen kann, kann man auch ausführen oder menstruieren, wie sieht Europa dann aus? Die Frage wäre mal interessant
@@gaswirt Es gibt mehrere Lösungen... wie so oft... z.B. 2^7+8^0,3333333_ = 130 ... nur als Beispiel.
Kleiner Trick: Wenn man f(z) = z^3 + z - 130 ableitet, erhält man f'(z) = 3z^2 + 1 > 0. Damit ist die Steigung immer positiv, die Funktion als streng monoton steigend. Ganzrationale Funktionen sind außerdem stetig. Also kann die Funktion die z-Achse nur einmal schneiden, so dass es gar keine weiteren Nullstellen geben kann. Damit kann man sich die Polynomdivision sparen.
Wie raffiniert! 😍
Stark!
Jede differenzierbare Funktion ist stetig. 😉 Aber der Trick ist echt gut! Und man kann die Aussage sogar verallgemeinern, denn das sollte ja für alle Polynome der Form ax³ + bx² + cx + d mit a > 0, b = 0 und c > 0 zutreffen. 🤔
@@teejay7578 Wie genau möchtest du das verallgemeinern? Es reicht jedenfalls nicht, wenn c größer als 0 ist.
@@felixstuber8046 Wo habe ich behauptet, dass das reichen würde? Ich habe Bedingungen für a, b und c genannt. Die erste Ableitung von dem allgemeinen Polynom ist 3ax² + 2bx + c. Mit a > 0, b = 0 und c > 0 ist das für jedes reelle x positiv, weil das 3ax² niemals negativ wird, das 2bx verschwindet und das c eben positiv ist. Desahalb gilt die o. gen. Argumentation für jedes Polynom 3. Grades ohne x²-Term und mit positiven Faktoren vor x³ und x.
Habe mir dieses Video mehrmals angesehen , verstehen kann ich kein Wort was die nette junge Dame hier erzählt , größten Respekt an alle die hier irgendwie etwas verstehen.
cringe
Excuse me, Sir. Vielleicht sind Sie gesünd in the Brain. Genau wegen deshalb. Ein gutes Leben wünsche ich Sie. Konrad de Francheville
Liebe Mathematrick, ich habe diese Woche Montag meine mündliche Prüfung in Mathe und dementsprechend mein Abitur bestanden🎉Deine Videos haben mir die letzten zwei Jahre sehr geholfen. Danke für alles💫
Gratuliere! 🎉
Großartig!Gratuliere 👍🏻!
👍🏻 🏆 👍🏻 Glückwunsch!🎉 🥳
Gratuliere! Aber:
Gratuliere! Aber: Wer braucht schon so was im realen Leben. Nimmt man den Mathematikern die “eins” weg, sind sie nackt. Bei der Autorin möchte ich mir das gar nicht erst vorstellen. Aber echt jetzt, die aller meisten Mathematiker brauchen doch Lebenshilfe, so link wie sie im echten Leben auftreten. Ich spreche aus Erfahrung (habe selbst mal ein Duzend Mathematiker geführt) Die sind so schräg, dass sie nicht mal einen Nagel in einen Schneeball einschlagen können. Das experimentelle Ich, geprägt von konzeptionellem, einfallsreichem, ganzheitlichem Denken geht ihnen total ab! Zurück bleiben eher Mimosen. Zudem beherrschen Viele von diesen Oberprimanern nicht mal den Dreisatz. Der wird ihnen in den Gymnasien nicht eingebleut, aber sonst viel Nutzloses, auf das man im Leben verzichten kann.
Ich könnte ihr geradezu dauerhaft zuhören und zusehen. Sie überspringt nichts, nichts ist trivial, und kommt doch ohne Umwege zur Sache. Wäre eine gute Lehrerin!
Du hast das so einleuchtend erklärt. Fröhlich, wie immer.❤ ich hätte es allein nicht geschafft.
OMG! Du erklärst das soooo schön. Da macht Mathe richtig Spass. Solche Aufgaben sind bei mir ja schon 40 Jahre her. Aber ich hoffe, dass mein Sohn mit deiner Hilfe auch noch kapiert, dass die Zahlen nicht böse sondern richtig schön sind.
diese gleichung in dem video ist der größte dümmste stuss den ich in meinem gesamten leben gesehen habe. sorry aber wenn deinem sohn das spaß macht, dann hat er ganz andere probleme als mathe. ich erinnere mich auchnoch an gleichungen damals und winkelfunktionen ich habe sie damals schon gehasst, es ist einfach nur raten bis man richtig liegt. da es nur raten bis man richtig liegt ist war es nie schwer aber mir wird schlecht wenn ich daran denken muss wie dämlich diese vorgehensweiser ist und muss im nachhinein sagen wars die 1 nicht wert diese mathematik überhaupt als relevant anzuerkennen, bah!
Tipp: DIe Zahlen nicht, sondern nur die (ungedulgigen oder zu strengen oder zu schlaffen)Lehrer. Also richtigen Lehrer braucht's schon, oder ein lieber Vater ders fordernd aber geduldig erklärt. PS: Naja nicht zu vergessen, der Wille des Kindes ist natürlich am nützlichsten, aber man kann auch so fördern.
Das Suchen von Lösung... Die linke Seite ist total wichtig. Voll angenehm dargestellt und gesprochen.
ln(x)/ln(y) = log_y(x) Dementsprechend kann man das Ergebnis auch als log_2(5) schreiben. Der Logarithmus mit Basis 2 wäre ab dem Punkt 5 = 2^x auch direkt intuitiv anwendbar.
Vielen Dank für Ihre hilfreichen Erklärvideos, für mich waren sie eine 1A Ergänzung zum Mathe Unterricht in der Schule am Ende hats sogar für 15 Punkte greicht.
👍🏻 Wie immer: didaktisch wertvoll! „Mal völlig im Zusammenhang“ auch sehr interessant: dein techn. Equipment. Nehme ich als Anregung. Auch hierzu: merci. 😊
Du bist wirklich ein Genie.🥰Ich weiß noch wie stolz ich war als ich meine erste polinomdivision geschafft habe. Eine Funktion durch eine Andere geteilt das war schon schwer
Souverän und sicher, sehr freundlich und sympatisch. Da schaut man gerne zu. So eine Mathe-Lehrerin hätte meinen alten entenfahrenden lieben Herrn Rhieck glatt noch getoppt 🙂. Es kommen nostalische Gefühle auf, wenn man merkt, dass das für einen alles mal undramatischer, wenn auch nicht unbedingt immer geliebter 🙂 Schulalltag war, den man letztlich immer gemeistert hat, inzwischen leider weitestgehend vergessen, weil nie mehr abgerufen. Ganze neununddreißig Jahre ist mein Mathe-Leistungskurs jetzt her. Vielen lieben Dank! Ich schau gerne wieder vorbei - und lasse gerne ein Like und auch ein Abo da.
ich bin schon sehr lange aus der Schule draußen (in Pension), aber ich liebe Deine Art und Weise,wie Du den Schülern Mathematik erklärst und SCHMACKHAFT machst! Peter
Wie immer schön erklärt! Es war angenehm und hat Spaß gemacht zu folgen und es war eine schöne Auffrischung, speziell die Polynomdivision und das logarithmieren. Danke dafür.
Toll, danke! Nie hätte ich gedacht, dass Mathematik so fesselnd sein kann.
Hammer. Einfach beeindruckend, wie kompakt und anschaulich man so knifflige Aufgaben gut verständlich rüberbringen kann. Bin wieder mal beeindruckt. Wie die Sendung mit der Maus nur "auf Mathematik".
Bei Minute 8:00 liegt der Schmelzpunkt. Hier startete meine Unverständlichkeitsgrenze und ich war verloren. Ich erinnere mich, dass dies parallel zu meiner Schulzeit mit erschreckender Konsistenz ziemlich genau die selbe Grenze darstellt. Irgendwie schön, exakt den Punkt zu erfahren, wo einen das Fach Mathematik für immer verlassen hat, leider auch schmerzhaft, es ein weiteres Mal zu durchleiden. Dennoch danke für das Video!
Zum einen steckt drin, dass z^3 + z- 130 = (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) zerlegbar sein muss, wobei z_1, z_2, z_3 reelle Nullstellen oder auch Paare komplexer Zahlen sein können. Egal wie, wenn man das ausmultipliziert, dann ist z^3 + z- 130 = z^3 + .... + z_1z_2z_3 . Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, dann muss diese ganze Zahl Teiler des Absolutglieds = -130 = - 2*5*13 sein. Man müsste also -1, 1, -2, 2, -5, 5, -13, 13 durchprobieren. Ziemlich klar ist, dass negative Zahlen keine Lösungen sind und weder 1 noch 2, aber 5 die Gleichung erfüllt. Dann lässt sich z^3+z-130 = (z-5)(z^2 +az+b) zerlegen oder einfach (z-5) mal Polynom vom Grad 2. Dieses Polynom 2. Grades findet man durch Polynomdivision (geht wie schriftliches Dividieren).
Same here 😅
Satz von Vieta. Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung.
Wenn man es schon früher nicht verstanden hat, dann kann man nicht erwarten, dass es jetzt - nur aufgrund der ins Land gegangenen Zeit - verständlicher ist. Die gedanklichen Stolperstellen sind immer noch die gleichen, wenn man sie nie aus dem Weg geräumt hat. Sprich: wenn man sich nicht nochmal damit befasst hat. Hat man seit der Schulzeit falsche Konzepte in Synapsenverbindungen gespeichert, muss man die erst mal umbauen. Das ist bei jeglichem Lernstoff, bei dem man Konzepte verstehen muss, so. Mir ging/e es bei Mathe genauso. Mir war da in der Schule vieles zu abstrakt und zu trocken, der Sinnbezug hat gefehlt. Man schummelt sich dann so durch und korrigiert es doch nie.
Damals in Mathe war man dem Ganzen hilflos ausgeliefert, jetzt kann man wenigstens schön Kommentare lesen gehen. 😅 Irgendwie beruhigend!
Es ist 00:16 an einem Freitag morgen und ich guck dein Video zum einschlafen und lernen, ich danke dir, du bist toll ❤
Ich schaue es manchmal zum Aufwachen. 😂
Die Erinnerung mit Susanne an meine Schulzeit ist - wie immer - einfach Super. Danke für das kleine Nachmittagstutorial bei Kaffee und Eis.
Super nett und fantastisch erklärt. Zur Erklärung der Polynomdivision hätten vielleicht noch zwei Sätze gefehlt, aber wer sie mal kannte (so wie ich) wird wunderbar abgeholt. Für die anderen wäre ein Hinweis auf ein passendes Erklärvideo gut gewesen. Ich fand es toll, wow!
Ich hab vorher nicht gewusst, wie Polynomdivision ging, habs nie gelernt und durch das Video hab ichs trotzdem verstanden ^^ War in der Schule damals genau in der Woche krank wo's drankam und hatte das nie nachgeholt
Schon eine Weile her,aber es hat viel Freude gemacht, mal wieder davon zu hören. Hätte ich nicht mehr alleine hinbekommen, deswegen interessant, was man schon alles wusste vor dem Abi!😅
Und was man hinterher vergisst😂😂😂
Das stimmt. Ich habe seit dem Abi auch keine Diskussion mit einer Kurve mehr gehabt 😉
32 Jahre is et her... aber das hatten wir in der Mittelstufe...
Es ist immer ein Vergnügen, Probleme in Mathematik zu lösen und besonders, wenn ich Ihren Kanal sehe! Aus Bewunderung! Viel Erfolg weiterhin!😊
Sehr schöne Gleichung mit einer klasse Herleitung der Lösungen. Vielen Dank 👍💐
Großartig erklärt! Mega! 👍
Dankeschön Peter!
super, danke. dieses thema habe ich am gymnasium verpasst, weil ich rausgefallen bin. bringt mich im leben auch nicht weiter, da meine arbeit nur sehr ansatzmässig mit mathematik zu tun hat, aber wenigstens poliert es mein ego etwas auf, dass ich dies nun auch weiss...oder einfach weiss, wo meine wissenslücken liegen
Tolle Sache. Ich bin jetzt jenseits der Mitte 50😂. Habe einen qualifizierten Hauptschulabschluss und eine ungefähre😅fünf in Mathe. Vielleicht schlägt der Algorhytmus mir deshalb diesen Content vor? Doch ich bin ruhig und mein Herz ist voller Freude, dass tief in meinem innern eine Stimme sagt: "Ich habe dich getragen, dein ganzes Leben, ohne dich über den Dreisatz hinaus noch einmal mit Mathe zu belästigen." Und zurück bleibt dann meine Dankbarkeit.
Wofür braucht man Mathe, wenn man sich so schön ausdrücken kann wie Du? Sehr schöner Kommentar. Und das auch noch mit sauberer Rechtschreibung und Satzzeichen 😍 Die Jugend sollte sich ein Beispiel an unserer Generation nehmen 😉
Diese Aufgabe habe ich in 1970-er in Form X^X^3=3 kennengelernt! Eine tolle, kreative Lösung für eine einfach aussehende Aufgabe. Danke für die nette Erinnerung.
Ich finde das super interessant auch wenn ich bald 20 Jahre aus dem Abitur raus bin wie die Gehirnzellen reaktiviert werden, manches habe ich echt noch verstanden sogar die Lösung der PQ formel. Aber ohne Vorbereitung wäre ich alleine nicht mehr auf die Lösung gekommen.
Hallo Susanne, klasse wie du dir immer wieder Zeit nimmst, solche mathematischen Aufgaben locker und mit Spaß am Lösen zu knacken! Und schön, wie du dabei auch immer wieder einen Rundgang durch mathematische Lösungsmethoden aber gleichzeitig auch auf Fettnäpfchen auf aufmerksam machst mit einem guten Gespür für nicht zu viel und nicht zu wenig. Allerdings vermisse ich bei 6:00 schon die Begründung warum die Nullstelle ein (ganzzahliger??) Teiler von 130 sein muss? Natürlich beruht der Nullstellenansatz auf der Tatsache, dass man diese Gleichung auch als (z-a)*(z-b)*(z-c) schreiben kann (mit den Nullstellen a,b,c) und dann muss a*b*c = 130 sein. Aber wer sagt denn, dass sie ganzzahlig sein müssen? Z. B. wären Wurzel(20) * Wurzel(20) * 0,325 auch 3 mögliche Faktoren aber allesamt nicht ganzzahlig. Und so müsste man eigentlich im Universum der reellen Zahlen lange suchen, bis man eine erste Nullstelle findet. Daher finde ich es ein bisschen geschönt, wenn man in seinen Lösungsweg einfach künstlich Annahmen herbei zaubert nur weil man die Lösung bereits kennt. Ich hätte statt dessen lieber einen einfacheren Lösungsweg gewählt, bei dem man sich keinerlei Polynomdivision oder p-q Formal antun muss. Mit z=2^x folgt wie auch in deinem Video 2^x + 8^x = 130 => z+z^3 =130 Das lässt sich aber auch schreiben als z*(1+z^2) =130 Hier kommen negative Lösungen für z nicht in Frage, weil (1+z^2) immer positiv ist und daher z auch positiv sein muss damit das Produkt positiv wird (=130), aber grundsätzlich auch weil z per Definition (z=2^x) sowieso schon nicht negativ sein kann. Also z>0! Und weil im Bereich z>0 sowohl z also auch (1+z^2) streng monoton steigend sind, ist auch das Produkt aus beidem streng monoton steigend. Damit kann es nur eine einzige Lösung geben, bei der das Produkt den Wert 130 gibt. Also ist schon durch bloßes hinschauen klar, es gibt nur eine Lösung und sie muss positiv sein. Dann muss man allerdings - wie auch in deinem Video - durch Probieren suchen. Falls man bei ganzen Zahlen nicht so schnell fündig wird, kann man wegen der strengen Monotonie sogar sehr zielgerichtet mit Intervallhalbierung oder Newton Verfahren suchen und kommt schnell auf Z=5 als einzige Lösung.
Wer braucht schon so was im realen Leben. Nimmt man den Mathematikern die “eins” weg, sind sie nackt. Bei der Autorin möchte ich mir das gar nicht erst vorstellen. Aber echt jetzt, die aller meisten Mathematiker brauchen doch Lebenshilfe, so link wie sie im echten Leben auftreten. Ich spreche aus Erfahrung (habe selbst mal ein Duzend Mathematiker geführt) Die sind so schräg, dass sie nicht mal einen Nagel in einen Schneeball einschlagen können. Das experimentelle Ich, geprägt von konzeptionellem, einfallsreichem, ganzheitlichem Denken geht ihnen total ab! Zurück bleiben eher Mimosen. Zudem beherrschen Viele von diesen Oberprimanern nicht mal den Dreisatz. Der wird ihnen in den Gymnasien nicht eingebleut, aber sonst viel Nutzloses, auf das man im Leben verzichten kann.
@@gerdlelle8036Ich verstehe deine Antwort nicht? Hat das was mit der Lösung zu tun?
@@frankrichter6949 Ja. er versteht sie nicht, braucht aber erheblich viel mehr Worte um das auszudrücken. Psychologe oder Soziologe? Wer bietet mehr?
ich hätte im letzten schritt mit ld (logarithmus dualis) logarithmiert dann hast du am schluss x = ld(5) stehen das fände ich etwas schöner ☺️
Du bist wunderbar. Ich lerne jeden Tag etwas dazu und erhalte das alte Wissen. Danke dafür.
Schönes Problem und gutes Video. Dass es nur eine reelle Nullstelle gibt, ist eigentlich klar, da die Funktion z^3 + z streng monoton steigt.
Ich weiß zwar nicht wofür ich das brauchen könnte, aber es hat Spaß gemacht und war unterhaltsam.
Braucht kein Mensch... 😀
Zunächst können wir sagen, dass aufgrund der stetig steigenden Funktion 2ˣ + 8ˣ höchstens eine Lösung für 2ˣ + 8ˣ = 130 existiert. Wenn wir x = 1 setzen, erhalten wir 2ˣ + 8ˣ = 10 < 130. Daher können wir sagen, dass es genau eine reale Lösung gibt, für die 2ˣ + 8ˣ = 130 gilt. Wenn wir 2ˣ + 8ˣ als 2ˣ + (2ˣ)³ = 130 schreiben, können wir durch Beobachtung feststellen, dass 2ˣ = 5 eine Lösung ist und wie bereits erwähnt, die einzige Lösung. Daher ist x = log5/log2 die einzige reale Lösung für 2ˣ + 8ˣ = 130.
Aha, durch Beobachtung. Soso
Auf der Uni hat's dann geheißen: "Wie man durch scharfes Hinsehen leicht erkennen kann ..." 😁
@@QuetzalcoatlusNorthropi_ Ja, absolut!
Durch Beobachtung: Per eye scanning ... ;-)
Einfach köstlich fand ich es auch immer, wenn der Prof an der Tafel dann sagte: "Und man kann sofort hinschreiben ..." ;-) @@QuetzalcoatlusNorthropi_
Du bist echt die beste 😁 Ein absolutes Ausnahmetalent.
Ich habe mich nun schon 2 Tage mit der Lösung ohne Dein Video beschäftigt, jedoch gelang es mir nicht wirklich, das Ergebnis auf eine logische Weise zu finden. Ich kam durch Rumprobieren zwar auf das richtige Ergebnis x= 2,322. Nun habe ich Dank Deines Videos verstanden, wie man (sie) substituiert und resubstituiert. Vielen Dank, jetzt kann ich wieder ruhig schlafen!
Lösung: 2^x+8^x = 130 ⟹ 2^x+2^(3x) = 130 |mit u=2^x ⟹ u+u³ = 130 = 5+125 = 5+5³ | auf der linken Seite der Gleichung werden mit u die selben Rechenoperationen ausgeführt wie mit 5 auf der rechten Seite der Gleichung. Daraus folgt: u = 5 = 2^x |lb() ⟹ x = lb(5) ≈ 2,3219
Auf 4 Stellen genau, aber nicht vollständig ;)
@@alexanderholzschuster7622 Ich will das nicht abstreiten. Sag mir die anderen Lösungen!
@@gelbkehlchen Schau mal weiter oben. Habe die vollständige Zahl bereits geschrieben, vor ca. 2 Monaten. LG
@@alexanderholzschuster7622 Ich dachte weniger an die vollständige Zahl, ich dachte an mögliche andere Lösungen, die es vielleicht noch gibt. Die vollständige Zahl? Da muss man ja nur einfach mehr Stellen aus dem Taschenrechner übertragen.
Bei dieser Gleichung würde ich beim Raten der Nullstelle zur Ursprungsform, also "z³ + z = 130" zurückkehren. Wegen z³ + z < 0 für alle z < 0 kann es keine negative Lösung geben. Und bei den natürlichen Zahlen genügt es, sich das Kubik anzuschauen: Wenn man diese Reihe (1, 8, 27, 64, 125, 216, ...) ein bisschen im Kopf hat, ist schnell klar, dass als ganzzahlige Lösung nur die 5 in Frage kommt.
Es gibt aber auch eine fertige Formel solche Gleichungen Y³ + Y -130 = 0 zu lösen und du musst nicht mehr raten: Q=(p/3)³+(q/2)² A=[-p/2+sqrt(Q)]^(1/3) B=[-p/2-sqrt(Q)]^(1/3) Y=A+B
@@maximilianmeyer4133 Würdest du uns bitte einmal vorrechnen, wie man mit dieser Formel auf die Lösung 5 kommt? Danke!
Nice, das hatte ich total vergessen, dabei macht das echt Spaß 😊
Schöne Anleitung. Als Informatiker war das aber schnell im Kopf machbar (2er-Potenzen sitzen :D)
Sorry. Bei Polynom-Division bin ich ausgestiegen. Mathe-Abi vor 40 Jahren hin oder her.... Höchste Anerkennung für dein Können!
Ebenfalls so um den Dreh rum. Ich könnt's wahrscheinlich wieder, dank Magda, aber mir fehlt die Geduld. Hat mich übrigens sehr erstaunt, wie schnell die Erinnerungen wiederkommen, dank so guter Erklärvideos.
Ich auch. Manchmal geht es mir hier auf dem Kanal zu langsam. Aber hier war ich vollkommen lost und hätte mehr Erläuterung/ Schritte benötigt 😊
Dann hab ich noch 9 Jahre Zeit. 31 Jahre nach Mathe-Abi hätt ich das noch hingekriegt. 😅
@@zaphodbeeblebrox6795Kind 😅
Geht mir auch so ... Dennoch : Sie erklärt um mehrere Zehnerpotenzen besser als jeder Lehrer in der Schule
kann man bei imaginären Lösungen für z wirklich schon aussteigen? z ist ja substituiert, und bei der Resubstitution könnte eine imaginäre Lösung prinzipiell wieder reell werden (z.B. wenn z=x^(1/2) substituiert wird und z=2i herauskommt wäre x=-2 ja eine Lösung) Oder man müsste zeigen, dass imaginäre Lösungen bei dieser Substitution *sicher* keine reellen Lösungen für x ergeben.
Ich finde es toll, dass mal eine junge Frau zeigt, wie interessant und spannend Mathe ist. Denn in der heutigen Zeit ist ja der Satz "In Mathe war ich immer schlecht" ja gang und gäbe.
Wie sehr Du das genießt ❤🥹 Toll
Ich habe mal eine ketzerisch anmutende Frage: In welchem für Menschen lebensnotwendigen Beruf werden Exponentialgleichungen gebraucht? Gehören die zur Allgemeinbildung oder eher zu fachspezifischem im universitären Bereich?
Exponentialfunktionen (und daher auch Gleichungen mit selbigen) kommen immer dann vor, wenn es um ungebremstes Wachstum bzw. sich selbst verstärkende Prozesse geht. Sei es nun das ungebremste Vermehren einer Kaninchen-Population (bis entweder die Nahrungsgrundlage aufgebraucht ist, oder ein natürlicher Feind (Fuchs) den Prozess ins Gleichgewicht bringt) oder die Kernspaltung, oder leider auch die Klima-Erwärmung, die inzwischen auch zu einem sich selbst verstärkenden Prozess geworden ist.
Einfacher ist es, log zur Basis 2 als ln zu nehmen
Das war einfach. In Frankreich rechnet man zuerst delta = b*b - 4a*c fur polynôme mit x^2. Falls delta
Ich wünschte wirklich, man hätte mir das in der Schule irgendwann einmal so schön erklärt. Bei unserem lahmen Lehrer bin ich entweder sofort eingeschlafen oder habe eigentlich gar nichts verstanden. Alle spannenden Sachen wie zB Logarithmen oder trigonometrische Aufgaben gingen mit gedrucktem Tafelwerk ... wo finde ich was.
Mein Mathe-Abi stammt schon aus dem letzten Jahrtausend. Duese Aufgabe hätte mir gefallen, da hier ein großes Verständnis abgefagt wird und sich ggf. auch der Kreis der Erkenntnis schließt, wenn man die Lösung verstanden hat. ❤
Hallo Susanne, ich hoffe, Dir und Thomas geht es gut. (und natürlich hoffentlich auch allen anderen) Ich selbst bin zufrieden. jetzt zur Aufgabe 2^x + 8^x =130 Zunächst steckt in 8 Gott sei dank einer 2er-Potenz (2^3). Man kann deshalb auch schreiben 2^x + (2^3)^x =130 Nach den Potenzgesetzen darf man die Exponenten auch tauschen 2^x + (2^x)^3 =130 Jetzt 2^x ersetzen durch u u+ u^3 =130 Jetzt ein bisschen probieren... u=4: 4^3 + 4 = 64+6 = 68 ... zu wenig u=6: 6^3 + 6 = 216+ .. zu viel u=5: 5^3 + 5 = 125 +5 = 30 ... jippie Lösung für u gefunden.. u=5 jetzt Ersetzung (u=2^x) wieder Rückgängig machen 2^x = 5 | Log Log(2^x) = Log(5) | Exponent aus dem Log vor den Log ziehen x * Log(2) = Log (5) | :Log(2) x= Log(5)/Log(2) x= rund 2,322 LG auch an Thomas, Sabine und Roger aus dem Schwabenland und allen eine schöne Restwoche
Sehr gut! Vielen Dank.
Ganz ehrlich, als Nachhilfelehrer feier ich das hart. Schön erklärt und auch nochmal für mich en super Reminder, dass Substitution en vollkommen valides Mittel is, danke dafür.👍
Das ist ein sehr schönes Video mit einer interessanten Gleichung. Zwei Bemerkungen möchte ich nur dazu machen: 1) Die Polynomdivision und die Lösung der quadratischen Gleichung waren gar nicht nötig. Bei der kubischen Gleichung erkennt man anhand der strengen Monotonie der linken Seite sofort, dass es nicht mehr als eine Lösung geben kann. 2) Es ist bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten keineswegs klar, dass die Nullstellen Teiler des konstanten Gliedes sein müssen. Das gilt nur, wenn die Nullstellen ganzzahlig sind. Bevor man hier die Lösung 5 gefunden hat, weiß man daher noch nicht, ob es Lösungen unter den Teilern von 130 gibt.
Zu 2: dann hätte man der Vollständigkeit halber noch kommazahlen raten müssen 😅 ein Glück dass es eine ganze Zahl als Lösung gab 😂 Aber jz wo ich drüber nachdenke muss ihre Aussage ja dennoch stimmen dass die Nullstelle ein teiler sein muss, da man das z in diesem Fall ja auch ausklammern kann zu z*(z^2+1)=130 von daher versteh ich den Einwand nicht so wirklich.
@@Bangilnel Der wesentliche Punkt ist, dass man nicht von vornherein sicher sein kann, dass es auch wirklich _ganzzahlige_ Nullstellen gibt. Nur wenn man _voraussetzt_, dass eine Nullstelle ganzzahlig ist, kann man sicher sein, dass sie ein Teiler von 130 ist. (Für Zahlen, die nicht ganz sind, ergibt es eigentlich sogar keinen Sinn, zu sagen, dass sie Teiler von irgendwas sind.)
@Thomas: (1) genau mein Gedanke. :) Zusätzlich würde ich noch anmerken: Da z³ + z offensichtlich immer etwas negatives ergibt, wenn man negative z einsetzt, kann man es sich sparen, die Möglichkeiten z = -1 und z = -2 überhaupt auszuprobieren.
@@Bangilnel Betrachten Sie die Gleichung x^2+x=1. Durch Ausklammern erhalten Sie x*(x+1)=1. Trotzdem folgt daraus nicht, dass Lösungen Teiler von 1 sein müssen, denn weder 1 noch -1 sind Lösungen.
@@bjornfeuerbacher5514 aber bei 4,8 ist 1,2 ja auch ein teiler. Das ist in dem Fall ja vollkommen egal ob die Zahlen jz ganz sind oder nicht. Hauptsache es ist restlos teilbar.
Solche Gleichungen mag ich einfach...Danke
Ups. Lange her !! Konnte aber folgen und ein Stück weit kam die Erinnerung zurück. Prima erklärt, wie immer !!
Ich finde deine Videos unglaublich hilfreich, aber ich möchte trotzdem eine hoffentlich konstruktive Kritik abgeben. Es kann gut sein, das ich der Einzige mit dieser Meinung bin aber vielleicht auch nicht und mich stört es schon sehr... Ich bin sehr Nacht-Aktiv und Photosensitiv. Wenn ich mir abends/nachts deine videos anschaue bekomme ich immer sehr schnell augenschmerzen wegen deinem grell weißen Hintergrund. Ich weiß nicht ob es möglich währe den schwarz oder wie auf einer Schultafel dunkelgrün zu machen, wenn es möglich sein sollte würde meine Lebensqualität damit einen spitzenwert erreichen. Wie auch immer, danke für das tolle video❤
Mein Kopf tut weh
Hi Susanne, Habe bei der Polynomdivision einen Vorzeichenfehler begangen, da ging es nicht auf. Hatte aber Glück, weil es sowieso keine reellen Lösungen mehr gab. Mit der einen gefundenen Lösung habe ich dann auch noch die Probe gemacht: hat wunderbar funktioniert! Schöne Aufgabe! ❤liche Grüße
Mega, liebe solche Videos, macht einfach Spaß zuzuschauen
Das Ergebnis ist Rindenmulch
Ja sehr schöne Gleichung aber hässliches Ergebnis
Hässliches Ergebnis: Das ist aber die rauhe Praxis! Man hat in der Realität es nicht immer mit glatten Ergebnissen zu tun. Wer in der Technik tätig ist, weiß das.
Das ist richtig diskriminierend der Lösung gegenüber. ALL NUMBERS ARE BEAUTIFUL!! Sie können sich ihre unrealistischen Schönheitsstandards für Zahlen sparen.
Fantastisch !
danke, susanne, wieder mal gut erklärt
ganz schön kompliziert. Hab so viel vergessen ...Aber sehr gut erklärt!! 👍
Dieses Video ist richtig gut. Vielen Dank!
Dankeschön! 🥰
For your ALGO: Wunderbar obwohl real braucht man diese Zeiträuberei weder im Leben noch in der Job nahen Praxis niemals.
Ich finde diese Frau genial ❤🎉😊. Tolle Stimme, super Aussehen und eine tolle Ausstrahlung ❤🎉🎉😊! Ich kann alles verstehen und nachvollziehen. Diese Frau hätte ich sehr gerne als Lehrerin in Mathematik und als Freundin ❤🎉😊! Ich bin der Meinung: Sue sind Spitze ❤❤❤🎉🎉🎉😊😊😊!!!
Dankeschön. Für welche Art der Mathe gilt diese Gleichung? Und für welche Klasse?
Ein schönes, gut gemachtes Video! Vielleicht könnte man beim Durchprobieren der möglichen Lösungen der kubischen Gleichungen noch ... - ... das Horner-Schema ins Spiel bringen (mit dem man ja etwas schneller die Werte von Polynomen berechnen kann) - ... darauf hinweisen, dass es eine Lösung geben MUSS, aber dass man natürlich nicht davon ausgehen kann, dass diese so schön natürlich ist (so gesehen ist die Bemerkung, dass es ein Teiler von 130 sein wird, ein wenig ungenau).
Bin 78 und habe mein Abi am 30.06.1963 gemacht. Habe den rein mathematischen Teil so gelöst, obwohl die Logik zur stetigen Funktion rein überlegungsmäßig bestechend ist; hätte aber viel Text dazu niedergeschrieben werden müssen; ob es der Korrektor anerkannt hätte???? Mein Enkel als Informatikstudent hatte mir im Mai seine Matheklausur vorgelegt. Auf Anhieb war es eine Note vier (ohne Vorbereitung) ........ Prüfung bestanden mit 18 Punkten von 32. Was wollte ich nich mehr. Mathematik macht eben immer noch Spaß.
Bei mir gehen die grauen Zellen aus Höma 1-4 wieder an. man ist das lange her. Hab die Ordner noch im Schrank. Schöne Erinnerungen. Sehr gut erklärt. Respekt dafür, dass du nicht in eine Sauklaue nach 5 Zeilen Gleichungen driftest. Der Asi damals in Höma hatte bereits in der 2. Zeile wieder eine Sauklaue.
Liebe Mathematrick, wie schön, dass hier jemand die Mathematik aus der allgemeinen Verachtung holt und populär macht. Weiter so! Leider habe ich auch eine kleine Verbesserungsanmerkung: Es ist methodisch misslich, die verkürzte Lösungsformel mit zwei Vorzeichen vor der Wurzel zu verwenden, auch wenn viele Formelsammlungen oder sogar Lehrbücher es tun. Denn "plusminus" gibt es in der Mathematik nicht, und wer es trotzdem verwendet, vermittelt einen Fehler. Und überhaupt ist es viel sinnvoller, bei quadratischen Gleichungen zunächst den Ausdruck unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, zu berechnen. Ergibt sich D
Plusminus ist eine gängige Abkürzung. Sieht man in etlichen Artikeln. Nicht umsonst auch in Latex.
War verblüfft. Respekt!
Mega!!
Vielen Dank, gefällt mir
Meisterin-haft erklärt. Bravo !🏆🪷
Gendergaga
Tolle Sache. Mal eine Frage: ln() ist doch der natürliche Logarithmus zur Basis e. Müsste man nicht eigentlich log_2(2^x)=log_2(5) verwenden? Also log zur Basis 2?
kann man machen, aber Taschenrechner haben idR nur den Log zur Basis 10 und zur Basis e. Da der LN der schönste und natürlichste Log ist, sollte man immer diesen verwenden.
Ja, es hat mir wirklich Spass gemacht, dir beim Lesen zuzuschauen, und mich wieder zu erinnern an ln und Polynomdivision und so Zeugs 🤣
Ist zwar schon Äonen her als ich es im Studium hörte - aber es machte Spaß die Lösung hier zu sehen
Wow. Wäre ich niemals drauf gekommen, obwohl ich Mathe Abitur hab. Ich bewundere dich 😎
schön, dass du die p-q Formel2 verwendest, und noch besser, dass du die Brüche leben lässt ;)
Ich finde es sehr umständlich geht viel einfacher
Sehr spannend, und unterhaltsam. Ich frage mich nur wen das interessiert außer mich jetzt. Wichtig ist wo ich mein Geld investiere, um dann genug Prozente rauszuholen. Dafür nehme ich einen Steuerberater, der die Grundrechenarten kennt. Und Elster, das logischste Format welches an der eigenen Logik zerbricht. Bijektiv? Nö, Multiple Choice.
Alles OK nur 2 Vorschläge zur Vereinfachung bzw. Beschleunigung: 1) Polynomdivision durch (x-a) am besten mit der sog. Synthetischen Division 2) bei 2^x = 5 am besten gleich zu x=log[2](5), die meisten Taschenrechner schaffen dies direkt - ansonsten Basiswechsel anwenden: x=ln5/ln2 bzw. x=log5/log2 👍
Wenn meine Mathelehrer (ich hatte einige, weil jede Klasse ein anderer), SO erklärt hätten, dann hätte ich das in der Schule schon kapiert. Danke!
Sehr gut erklärt
Ich habe mir das mal aus Interesse angeschaut, ich bin Lehrerin für Deutsch/Englisch und war immer grottenschlecht in Mathe - und hatte Mathe das letzte Mal im Jahre 1998. Ich muss sagen, du hast Super erklärt! Und ich habe kein einziges Wort verstanden... 😅
Bravo, dass Du die höhere Mathematik beherrscht. Ich ziehe meinen Hut dafür. Ich habe zwar eine hohe Affinität zur Mathematik, aber kurz nach der Startlinie konnte ich schon nicht mehr folgen. Dafür habe ich andere Qualitäten.
Sehr schöne Aufgabe, und super gelöst. Vorgabe: reelle Zahlen → z^2 = 130/(z + 1) → damit kann es nur eine Lösung im 1. Quadranten geben mit z = 5. Das gilt natürlich auch für z^3 = 130 - z Der Lösungsansatz für z = -(1/2)(5 ± i√79) wäre spannend, aber in der Tat "komplex" 🙂
Mathe macht Spaß! Danke Dir!
Ein wirklich gut gemachtes Video mit einer für die Anschauung sehr hilfreichen Technik! Deine "Tafel" gefällt mir wirklich gut :) Und jetzt der Ketzer: wozu das Ganze? Wo ist es nützlich und wofür braucht man das? Mir fällt kein einziger Fall ein, wo ich das einsetzen könnte.
hätte es diese Videos vor 20 Jahren gegeben wär mein Mathe Abitur wohl um einige Punkte besser ausgefallen. Habe viel mehr verstanden als unsere Lehrer damals vermitteln konnten. Vielen Dank dafür.
Fast so schön wie Du!
Gut dass es Excel gibt. Damit kann ich lösen (Zielwertsuche) :)
Hi Susanne, Das war schon eine etwas härtere Nuss 🤯, habe es zwar geschafft, aber nicht ohne Hilfsmittel. In meinem alten Mathe Schüler Duden das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen nachgeschlagen nach G. Cardano. War froh, dabei die eine reelle Lösung gefunden zu haben, ohne dass zwischendurch komplexe Zahlen aufgetreten sind. Kam schließlich auf 2,3219... und habe dann damit die Probe gemacht: geht auf, Lösung stimmt! Wenn man das Lösungsverfahren von Cardano kennt und kann, braucht man halt die Nullstellen nicht zu raten. War schon etwas knifflig, aber manchmal will man ja auch eine gewisse Herausforderung, ein Erfolgserlebnis. Danke und ❤liche Grüße
Wird ja immer wirrer, Cardano kenne ich genausowenig wie Polynomdivision und ich hate Mathe LK und war gut. Was habt ihr in der Schule gelernt ?
@@Rorimac67 Abi 87, Polynom division hatten wir in der Schule, Cardano nicht, und komplexe Zahlen hatte ich später beim Studium FH Elektrotechnik. Wäre schön, wenn Susanne sich vielleicht in komplexe Zahlen reinschaffen könnte und darüber mal was macht Gruß
Mathe-LK und noch nie von Polynomdivision gehört?? Poldiv macht man normalerweise 9.te Klasse oder so und ist ein Standardverfhren um zB kubische Polynomgleichungen zu lösen.
@@achdetoni5008 Hab gegoogelt nennt man auch Partialdivision. DER Begriff sagt mir was, das Verfahren ist komplett aus meinem Hirn gelöscht, nach 40 Jahren Nichtnutzung.
Wow, ich bin 69 Jahre alt und deshalb schon sehr lange aus der Schule raus. Leider konnte ich das nicht mehr lösen, aber total faszinierend dir zuzusehen.
ich habe mein Mathe-Abi vor 29 Jahren gemacht - und ich hatte heute keine Chance mehr diese Gleichung zu lösen 😞 Interessant was man alles vergisst wenn man es einfach nie braucht bzw. anwendet
Ich weiss, das ist etwas pingelig, aber fehlt da nicht noch ein kurzes Argument, dass die Substition den Zahlenraum nicht aendert? Sonst ist man sich ja nicht sicher, ob aus der komplexen Lösung fuer z nach der Rücksubstitution nicht doch wieder eine reelle Lösung fuer x herauskommen könnte.
Super, so hätte mir das damals auch mehr Spass gemacht 😊
Das freut mich 😊
Sehr stark 💪🏽
Dankeschön 🥰
Ehrlich, ich versteh nur Bahnhof😂 da bin ich komplett raus. Hab aber auch nur Realschulabgang (vor 25 Jahren), mit 2. Aber jetzt mit 42 bekomm ich eine Blockade im Kopf Sicher gut erklärt, für Mathematiker👍