Биения связанных маятников
2023 ж. 16 Ақп.
23 199 Рет қаралды
Биения в колебательной системе с двумя степенями свободы возникают, когда собственные моды этой системы имеют близкие частоты. Во время биений амплитуды колебаний по каждой степени свободы поочерёдно то уменьшаются до нуля, то увеличиваются до максимума, так что энергия перекачивается из одной степени свободы в другую.
Ключевые слова: собственные колебания, собственные частоты, нормальные моды
Наш канал с дополнительными материалами
t.me/getaclass_channel
Новосибирский Государственный Университет
Физический факультет НГУ
www.nsu.ru/
Кажется, здесь полезно вспомнить идею о линейности колебаний. Если "форма" колебаний не зависит от их амплитуды, то колебания линейны. Смесь возможных линейных колебаний системы (сумма с произвольными коэффициентами) является еще одним возможным колебанием для данной системы. В этом ролике смешанное колебание равно сумме двух исходных с равными коэффициентами 1/2.
Вы молодцы что занимаетесь растолковыванием и популяризацией физики
Резонанс - великая штука!
Хороший опыт. Всегда хотел построить аналогичную установку и понаблюдать за ней
обожаю этого доброго волшебника)
😀Спасибо за видео. Всему причиной резонанс совпадения частот колебаний.
Я думаю что после того как магнит сдвинули, у системы уже нет мод, которые были продемонстрированы для обычных маятников,по крайней мере второй моды. Поэтому сложением этих мод уже нельзя пользоваться. Также видно, что маятник, передающий энергию, до конца не останавливается
Вы классно объясняете
Этот ролик лучшее, что я видел на GetAClass.
Спасибо, мы старались:))
Интересно, вот вам и законы физики, как волшебство)) красиво
Очевидно, что в рассмотренной аналитике заданы только кинематические параметры маятников (углы и частоты) без учёта их массы, а значит без динамических параметров - без моментов инерции, влияющих на динам.функции : на периоды и амплитуды, которые теперь в аналитике выражаются коэффициентами, отличными от единицы. А разные виды сопротивлений (трение в шарнирах и аэродин силы : трение тел маятников о воздух и лобовое сопротивл давления) проявятся в затухании колебаний ; на графиках видно будет уменьшение до нуля амплитуды и периода колебаний.
Ещё было бы интересно посмотреть спектры колебаний связанных маятников. Может быть даже не фурье, а вейвлет преобразованием(чтобы и фазы посмотреть). О связанных колебаниях очень интересно рассказывает С.Строгац в книге Ритм вселенной. Связанность приводит к упорядоченности в больших системах. И я думаю, что в этом основа и красота жизни.
Очень интересный ролик. В моде, когда одинаковые маятники отпускаются одновременно и синфазно, расстояние между магнитами не меняется, сила между магнитами не меняется и передачи энергии не происxодит. В противофазной моде равноудаленная от магнитов точка пространства неподвижна и как бы каждый магнит отталкивается только от этой точки, поэтому тоже передачи энергии не будет. Сдвиг фаз 90 градусов только в момент отпускания маятника, когда второй покоится вертикально, а изменение фазы колебаний происxодит за счет изменения частоты собственныx колебаний маятников в результате воздействия силами друг на друга. Маятник, передающий энергию колеблется с большей частотой, так как его тормозит принимающий энергию (эквивалентно увеличению силы притяжения Земли), а принимающий наоборот, подталкивается и его собственная частота колебаний по той же причине уменьшается. Наступает момент, когда движения противофазны, далее фаза доxодит до 270 градусов или что тоже самое -90 градусов, а отдающий энергию маятник оказывается неподвижным. Далее все происxодит аналогичным образом. То же самое происxодит, если контур LC генератора связать с контуром, настроенным на одинаковую частоту, в этом контуре появляются амплитудно-модулированные колебания, то, что происxодит с маятниками.
Связанные осцилляторы. Эти два маятника - физические. Было потрачена энергия для преодоления трения покоя. Поэтому ведомый маятник отстал по фазе.
Система с двумя степенями свободы, описана уравнениями для двух нормальных гармонических колебаний. Но сама система отлична от модели, которой она описывается. Поэтому в эксперименте уже наблюдается суперпозиция двух нормальных колебаний. Наверное корректно сравнить эту ситуацию с разложением периодических функций в математике в ряд Фурье. Там выбирается базис ортогональных функций и здесь мы в качестве базиса хватается за модель нормального гармонического колебания. Вообще, когда изучал курс физики больше всего удивила именна эта "модель" , т.е. модель волны, модель колебания. Она настолько оказалась простой и полезной, что во многих фундаментальных взаимодействиях и во всех средах нашла своё применение. P.S. Было бы здорово увидеть ролики на тему ангармонического осциллятора и иллюстрацию к фигурам Лиссажу. P.P.S. Большое спасибо за ваш труд, он бесценен и обязательно даст свои плоды.
Была у меня конфузия... Как-то отлаживал я на одной плате макет устройства с двумя однотипными микроконтроллерами, каждый со своим кварцем (генераторы у них встроенные). Оба кварца на одну частоту - понятно, с некоей погрешностью. Залил прошивки обоих МК, включаю - а они не работают. Смотрю осциллографом генерацию на кварцах, и вижу... Вот эти самые биения и вижу, частотой в несколько килогерц, которыми модулирована частота кварцев. В чём дело? А дело в том, что я по запарке забыл поставить блокировочные конденсаторы по питанию микроконтроллеров. Как только поставил - всё заработало, и никаких биений. В конце концов, кварцы - тоже своего рода маятники... нет, конечно, но колебательные системы - точно. Что касается заданного вопроса: подозреваю, что сдвиг фаз колебаний отличается от 90 градусов из-за механических потерь. Правда, не знаю, как именно они влияют.
Возможно, что сдвиг фаз не равен теоретическому из-за нелинейности, вносимой в систему нелинейностью сил взаимодействия магнитов.
Спасибо за видео. Фазы колебаний будут зависеть от начальных условий.
В подтверждении идеи о "вине" силы трения, можно провести такой эксперимент. 1. Отводим ведущий маятник как можно дальше и фиксируем там. Или вообще снимаем для начала. 2. С той стороны от ведомого маятника, с которой к нему потом будет приближается ведущий, ставим штатив. Таким образом, чтоб ведомый маятник слегка касался его. Касание регулируем по зажатому между штативом и маятником листочку бумаги. То есть, добиваемся, чтоб при вертикальном (свободном) положении маятника, листочек висел, но при малейшем его отклонении падал. 3. Приближаем (плавно, руками) ведущий маятник и оцениваем в какой момент листочек выпадет. Это и будет реальный сдвиг фаз. Можно организовать и "электрический" индикатор. Но листочек быстрее и проще.
Где-то я такое-же видел, только там это называли автопараметрический резонанс =)
Наверное отличие в разности фаз возникает из-за расхода энергии на силы трения.
Пока не дошли до расчётов, было все понятно..)
Когда появление этой исписанной доски сопровождалось словами "а теперь _немного_ математики" - был забавный момент, да)
Вторая мода колебаний - не синусоидальная, поскольку функция отталкивания магнитов - нелинейная. На эксперименте с пружинами должно быть 90 градусов.
Бездоказательно, но мне тоже так кажется, поэтому лайк 🧐
Да и первая, строго говоря, тоже, потому как при составлении ДУ, дающего решение в виде синуса, возвращающую силу записывают как пропорциональную углу отклонения маятника, хотя на самом деле - синусу этого угла.
Предположу, что дело в нелинейности силы отталкивания между магнитами.
Вот я я так думаю.
@@schetnikov эта нелинейность должна порождать дополнительные моды?
Да, концепция линейных колебаний (или колебаний линеаризованной системы или бесконечно малых по амплитуде колебаний) не упомянута. Без этого понимание представленного материала невозможно, поскольку сама идея "собственных мод колебаний" повисает в воздухе. Это серьёзный педагогический просчёт.
ещё, любители физических экспериментов могут экспериментально измерять параметры добротности колебаний и показатели времени затухания колебаний, наловчась с технической точностью возбуждать каждую моду колебаний в отдельности а корни характеристического полинома систмы двух подвешенных маятников могут иметь существенно разное смещение от мнимой оси поля комплексных чисел в том числе и по той причине, что в синфазной моде колебаний маятники раскачивают шаткие ворота и прочие подприлавочные штуки синергично и с большей мощностью диссипации механической энергии в энтропию или трансформации в др. нагрузку, чем в моде антогонисического качания сбалансированных физических маятников и почти без раскачки шатких ворот на частоте основной гармоники, однако в диссипации энергии магниты тоже могут участвовать в разных модах по-разному
Маятники с магнитами ассиметричны, и не могут точно описываться одной синусоидой. Разный период колебания в каждом полупериоде - в одну сторону лишь гравитация, в другую подталкивается магнитом.
Согласен.
Расскажите про безлопастной вентилятор и возможность его применять для создания тяги.Технология DYSON
Отличие разности фаз от 90° возникает вследствие нелинейности взаимодействующих колебательных систем. Их нелинейность возникает вследствии большой амплитуды, сопротивления воздуха и трения в осях, зависящих от скорости движения маятника.
Всё-таки главная причина нелинейности в этом опыте - совсем другая. Мы ведь совсем недавно сделали ролик о том, "почему магниты притягиваются друг к другу" и как сила их взаимодействия зависит от расстояния между ними.
@@schetnikov то есть мода колебаний, которую формируют магниты, она совсем не похожа на синус, поэтому и сумма, это "испорченные" синусы, а еще и с неправильным сдвигом фаз?
Хотелось бы узнать ваше мнение касательно гексагона на Сатурне
Можно сказать, что магнитная связь имеет некоторую передаточную функцию, то есть отношение перемещения передающего магнита к переиещению принимающего. И в этой функции имеется своя фазовая задержка
Отношение длин маятников к расстоянию между ними в "элементарной теории" и в эксперименте совпадают или имеют "сдвиг по фазе"? Если немного сдвинуть/раздвинуть точки подвеса тех же самых маятников - картинка изменится???
Можно ли данный эффект использовать в построении акустческих систем ?
Можно ли тогда сказать что обмен эгергиями и резонанс это одно и тоже или почти почти
Будет ли такой же эффект при разной частоте собственных колебаний маятников?
Трансформатор Тесла же тут, только из маятников а не колебательных контуров🤣
Здравствуйте, Андрей. Почему бы нам не рассмотреть колебания четырёх пружин, образующих квадрат, на плоскости? Пусть имеются две перпендикулярные оси, вдоль которых мы описываем движение. Есть предположение, что закон движения вдоль одной оси не зависит от координат в другой, перпендикулярной ей оси. Так ли это? И вот ещё вопрос, существуют ли другие конфигурации пружин, которые мы можем более-менее математично описать? Не приведут ли нас эти эксперименты к неописуемой конфигурации(что-то наподобие проблемы трёх тел в небесной механике)?
Такое наверное возможно при достаточном первоначальном запасе энергии, поскольку она постоянно расходуется, тем более при передаче колебаний от одного тела к другому.
Думаю, здесь дело в том, что сила магнитов всегда направлена на отталкивание, поэтому моды (по крайней мере вторая, потому что в первой расстояние между магнитами не меняется) не могут быть в точности описаны гармоническим законом
6 задача ТЮФа передаёт привет)) было приятно познакомиться с Вами лично в Новосибирске, Андрей Иванович!
Математическая модель и "чистая теория" предполагает, что ведомый маятник начнёт движение одновременно с ведущим. Ведущий магнит же сразу начинает толкать ведомый. А на практике, сила взаимодействия магнитов должна превысить силу трения. При этом, сила взаимодействия двух магнитов обратно пропорциональна четвёртой степени расстояния между ними. То есть, реально ведомый маятник сдвинется с места только при сдвиге фаз сильно меньше 90 градусов. Кстати, замена магнита на пружину должно заметно исправить ситуацию. Там зависимость силы от расстояния линейна и отклонения от теоретисеских 90 градусов будет сильно меньше. Ну или магниты взять как в большом адронном коллайдере. :)
Это очень здраво, да.
@@schetnikov благодарю за оценку. И, пользуясь случаем, хотел бы "поаплодировать" и общей идее "физики в эксперементе" и отдельно "заключительному вопросу". Это реально круто, когда можно не только умного человека послушать, но и самому мозгами поскрипеть и повысить самооценку.:) Да и пообсуждать с другими участниками бывает интересно.
Почему не говорите о точных частотах ,разности зависимости временем, между переходами,настройке камертона.
наблюдаемые в линейной системе гармонические осцилляции могут "бить" и по нелинейному и неинвариантному во времени анализатору-синтезатору наблюдателя
Расскажите подробнее))
⏳🔬
Маятники связаны через магнитное поле, сила взаимодействия которого - меняется не линейно от расстояния.
Самый большой эффект освещения-просто светить в потолок
А можно сделать такой-же ролик но про электромагнитные биения.
Проблема в том, что нужны связанные системы с достаточно высокой добротностью, я думал что-то такое в ролик включить, но в итоге не стал этого делать.
@@schetnikov Как в супергетородине связывать через диод.
РАЗНИЦА С ТЕОРИЕЙ = СИЛА ТРЕНИЯ + ГРАВИТАЦИЯ это же закон сохранения импульса ( трансформатор ) ... и вырабатывается тепловая энергия = потерям
А гдеб взять такую программу - Живая физика?
Интересно, а можно ли достичь в этой системе хаотических режимов? Магниты вполне могут дать нелинейность, и длины маятников не обязательно делать одинаковыми.
Система близка к линейной, хаотических режимов здесь нет. Конечно, если маятники будут качаться с весьма большими амплитудами или даже крутиться вокруг оси и при этом достаточно сильно взаимодействовать, наверное может быть всякое, хотя с уверенностью сразу сказать не могу. Попробуйте сделать эксперимент в Живой физике или Algodoo.
@@schetnikov Собственно промоделировать - не проблема, есть даже собственные инструменты. Но хорошей модели взаимодействия таких магнитов, тем более с учётом поворотов - не помню. А хорошо измерить самому сейчас нечем ;-(
@@antonguda2551 Задайте какое-нибудь разумное взаимодействие, только и всего.
Поражаюсь, как можно вывести закономерности из простых логических соображений. Я бы бросился составлять Лагранжиан и решать дифуры
Реально за всем этим и стоят дифуры, и понятия о линейности, собственных векторах и собственных частотах. Просто в данном случае существование двух собственных мод очевидно, а линейность подразумевается ("протаскивается"), хотя с ней конечно надо разбираться.
Я думаю что в вашей теоретической формуле просто чего-то не хватает. А именно начальных фаз маятников. Когда магниты подняты выше, то взаимодействие не происходит сразу, а только когда первый маятник достигает определенного угла. В этот момент наступает t0 и видимо разница углов в этот момент и будет разницой фаз колебаний. Еще интересные опыты по теме описаны здесь kzhead.info/sun/gLmDna-kboOcd40/bejne.html
:)
Воистину, если не открывать учебник физики, то мир будет полон загадок и волшебства. Впрочем, если даже и открывать, но не вникать, ситуация сохранится. Вот есть второе начало термодинамики: теплота не может самопроизвольно переходить от холодного тела к теплому. А в биениях почему-то может: "холодный", т.е., двигающийся с меньшей амплитудой, маятник без зазрения совести отдаёт свою энергию "горячему" до тех пор, пока не остановится. Чудеса, да и только!
Второе начало термодинамики - статистика. Здесь статистики нет. Молекулы газа, например, совсем не успокаиваются, в них всегда есть молекулы значительно выше по скорости средней. Значит при столкновениях иногда происходит передача энергии от медленных молекул быстрым.
Поскольку маятники рассматриваются в состоянии суперпозиции, а кроме того передающий маятник передаёт энергию не непрерывно, а порциями (квантами), то наша система является квантово-механической. Для описания такой системы применяется уравнение Шрёдингера. Оба маятника воздействуют друг на друга, значит у них одно уравнение Шрёдингера на двоих. Такие квантовые системы называют запутанными. Отсюда следует, что маятники сами запутались и не могут решить кто кого опережает и насколько. Так чего же вы от нас хотите?! Не воспринимать всерьёз 😁
и мало того, что передают энергию квантами, так ещё и кванты всё время разные :)
Вот на этой фигне ( в основном) и работает классическая катушка Тесла.
В человеческих отношениях всё аналогично происходит.
Нет учета влияния среды на движения маятников, возможно это одна из причин почему фазы отличаются меньше чем 90 градусов.
Это ведь по сути модуляция получается.
Отличаются - потерями и начальной фазой.
Здравствуйте, хочу обратиться к автору канала. Я тут для себя обнаружил такую интересную вещь, а именно речь идёт о обкладках конденсатора, значит дело было так: положил две аллюминиевые фольги друг на друга через изолятор, далее подал на них 15 киловольт, соответственно обкладки зарядились, далее я их разъединил и замкнув их контакты обнаружил, что между ними нет разницы потенциалов, после положил их опять друг на друга и снова замкнул контакты и тут проскочила искра. Объясните пожалуйста как это работает, почему не течёт ток между заряженными обкладками если они разведены друг от друга? И да ещё одно наблюдение: когда обкладки заряжаются, то они начинают сильно прилипать друг к другу и это пока логично, но вот какая штука происходит, после того как я их разъединил и снова уложил друг на друга, притяжения между ними практически нет, но стоит только приблизить их контакты на некоторое расстояние, то тут же обкладки начинают слипаться. Думаю что вы с лёгкостью сможете это всё объяснить и было бы здорово если бы вы сняли ролик на эту тему, сам эксперимент довольно простой и довольно интересный, в духе канала. В качестве изолятора я использовал пэт плёнку (рукав для запекания) правда двойным слоем, в один слой пробивало, но всё же обкладки получились довольно тонкие и гибкие, что дало возможность наблюдать за тем, как они прилипают друг к другу
А что если на подвеске веревками сделать 3 магнита, а потом 4, 5 ,и т.д.
А по отдельности период колебания маятников какой? Такой же как в паре?
Очевидно, такой же, как в синфазной моде.
по середине, а чем сильнее связь маятников - тем дальше полюса спектра характеристического полинома системы связанных маятников расходятся в разные стороны на комплексной плоскости
@@schetnikov , можно заметить: что связь маятников через леерную нитку отличается от связи через магниты с подвеской маятников к бесконечно массивной и абсолютно жёсткой общей опоре, кроме того, любители магнитных забав могут забавляться и такими головоломками, в которых исследуется влияние маятников с магнитными диполями, в которых магнитные диполи не только толкаются-притягиваются, но и, меняя ориентацию, норовят передавать крутящий момент - т.е. повернуть диполь противника на противоположный угол поворота, и коэффициент жёсткости этого крутильно-дипольного влияния зависит от дистанции, и к убывает с дистанцией не в такой степени (или нет?), как толкательная жёсткость магнитно-дипольной связи (в упрощённо-линеаризованой модели при малых амплитудах крутильно-сдвиговых колебаниях диполей, присобаченных к маятникам)
Здравствуйте. Я сегодня посмотрел видео про то как влияет конструкция каркаса кровли на распор стен здания. Посмотрите пожалуйста kzhead.info/sun/oN2qnduXh52KeoU/bejne.html. Подскажите всё ли там верно.
ещё, мне бы была интересна тема про висячие мосты и про построения на шатких скалах несущих конструкции из палок и верёвок в стиле тенсегрити
Грубый подход привел к грубому результату. Маятники, при больших колебаниях, собственной частоты не имеют. Их частота колебаний зависит от амплитуды.
Ну, тут амплитуды совсем небольшие. Дело всё-таки в другом.
@@schetnikov Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух твердых тел и трех пружин, которая рассматривается на видео. Масса тел 1 кг. Жесткость пружин 1000 Н/м и 100 Н/м. К левому телу в состоянии покоя к середине приложен мгновенный импульс 1 Н с. За первую обобщенную координату примем перемещение левого тела к середине из состояния покоя. За вторую обобщенную координату примем перемещение правого тела к середине из состояния покоя. После проведения расчета мы получим следующие уравнения изменения обобщенных координат. q1= 0,0144 sin 34,641t + 0,0158 sin 31,623t. q2=0,0144 sin 34,641t - 0,0158 sin 31,623t. Собственные частоты близки по значению, что является признаком биения.
@@user-yb2ws4ty4j Ну да, а что вы этим хотели сказать?
@@schetnikov Если причина не в зависимости амплитуды от частоты, то значит она в чем-то другом. Если амплитуда колебаний маятника небольшая, то механические системы с маятниками и пружинами близки между собой. Значит, проводя расчет по механической системе с пружинами, можно найти причину явления в механической системе с маятниками. Чем я и занимался. Расчет отнял у меня много времени, мне пришлось еще поновлять знания о том, как такие расчеты проводятся. В связи с трудоемкостью расчетов, я решил остановиться на полпути, а их результаты выложить в виде комментария.
Когда-нибудь я пойму весь рольк от начала до конца
Хм..м, если передающий маятник опережает по фазе, а маятники ролями меняются, значит фазы у них тоже меняются. О какой фиксированной фазе в пи/2 можно говорить?
Это отличный вопрос!!! Попробуйте на него ответить самостоятельно. Если не получится, я объясню. Только не спешите с ответом, он в общем-то несложный, хотя неожиданный.
То, что происходит фазовый переход при приостановке движения одного из маятников и так понятно, непонятно, является ли он мгновенным.
@@user-pi2jw2wr4m Называть это "фазовым переходом" наверное не совсем правильно. Лучше говорить об обращении фаз. Оно происходит мгновенно, и если вы посмотрите на графики с проведёнными огибающими, вы поймёте, в чём тут дело.
если в космосе запустить маятник, он остановится?
Луна либрирует пока так, видно
Вы исследуете и демонстрируете интересные явления колебания двух связанных маятников. Но не учитываете важное свойство или явление при обмене и передаче энергий колебания. Энергия всегда передается от осциллятора, колеблющего с опережающей фазой, осциллятору с запаздывающей фазой! И осциллятор с запаздывающей фазой забирает энергию. Фаза колебания определяется с точностью 360 градусов. Для маятников с разными частотами, после нескольких колебаний опережает фаза другого осциллятора. По этой причине не происходит полная передача энергии. При равных частотах происходит полная передача энергии ввиду закона сохранения энергии. И это явно видно на демонстрационном опыте. Что касается понятия «биение», оно здесь не применимо. Биение, по определению, это наложение двух частот с малой разницей частот, при которой получаем колебание с частотой, равной разности частот. Это явление используется, например, при «настройке» рояля.
Добрый день. Вы уж извините это не в тему но почемуто захотелось отправить в коментарии, так как другого вида комуникации нет. m.kzhead.info/sun/nN6uhsaonqCIra8/bejne.html Возможно для Вас это будет интересно.
сдвиг по фазе малиновой синусоиды - это звучит:)