Доказать, что сумма кубов катетов меньше куба гипотенузы
2023 ж. 18 Қар.
13 453 Рет қаралды
Предыдущее видео: • Докажите, что число ра...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
Спасибо за интересные задачи Никольскому С.М., Потапову М.К., Решетникову Н.Н., Шевкину А.В.
Введём функцию f(x) = (a/c)^x + (b/c)^x, которая убывающая, как сумма двух убывающих функций. Поэтому f(3) < f(2) = 1, т.е. (a/c)³ + (b/c)³ < 1, откуда a³ + b³ < c³
Спасибо за два красивых доказательства.
а^2+в^2=с^ умножаем обе части на с: а^2×с+в^2×с=с^3 заменяем в левой части с на а в первом слагаемом и на в во втором, получаем: а^3+b^3
Спасибо большое!
a^2 + b^2 = c^2 Домножим на с: c*a^2 + c*b^2 = c^3 Tak kak а
Красивое решение.
я прям таким же способом решил
2 способ более быстрый
Очень быстрый способ: берём основное тригоном. тождество: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Здесь синус и косинус меньше 1, 1 можно представить как 1^2. Так как с увеличением степени любое дробное число меньше единицы становится ещё меньше, то sin^3(x)+cos^3(x)
Удобно, но надо еще указать, почему значение sin и cos убывает, возводя в куб
А второй способ куда проще, но увидеть его не так просто. :)
Найти суммы n=1. И n=безконечно. 1÷(n^2 +x^2)
a³ < a²с, b³ < b²c, суммируем правую и левую части, a³ + b³ < a²с + b²с, a³ + b³ < с(a² + b²), a³ + b³ < с³
В первом способе a,b < c Так что можно просто домножить на с^3
Это было известно много лет назад... Просто не было озвучено и представлено публике в массы
Ну всё, Ферма почти доказана на школьном уровне. Расходимся 🐶
Она для натуральных чисел, а так да )
в таких задачах хочется найти красивое геометрическое решение в кубах. Эти два способа тоже хороши
c^6=(a^2+b^2)^3>=(a^3+b^3)^2, т.к. (a^2+b^2)^3-(a^3+b^3)^2=3a^4 b^2 - 2a^3b^3 + 3a^2 b^4 = 2a^4 b^2 + 2a^2 b^2 (a-b)^2 + 2a^2 b^4 > 0, тогда c^3>a^3+b^3
А я подставил c = √a^2 + b^2 в неравенство и возвел обе части в квадрат. После приведения подобных слагаемых получил 3(a^2 + b^2) - 2ab > 0, то есть (a - b)^2 + 2(a^2 + b^2) > 0. Первое слагаемое неотрицательно, второе положительно, значит сумма положительна. ч.т.д.
Спасибо за два красивых доказательства. Serbija.
2:02 - прекрасно! Дальше не надо как в видео. Потому что и а/с
Мне кажется что утверждение "кубы положительных чисел, меньших 1, будут меньше квадратов этих же чисел", тоже по-хорошему нужно отдельно доказать (хоть и кажется очевидным), а методом из видео довольно быстро пришли к доказательству "по дано".
(a/c)^2>(a/c)^n, (b/c)^2>(b/c)^n, где n>2. Складываем почленно и получаем: 1>(a/c)^n + (b/c)^n. При n=3 получаем то, что требуется.
з точки зору оформлення -- це абсолютно невірно. Бо ми беремо те, що нам треба довести, крутимо-вертимо, отримуємо якусь тривіальну нерівніть і пишемо "ч.т.д.". Але нас не просили це доводити! Ми довели якусь хрінь, про яку в умові взагалі не йшлось, і яку власне можна було довести взагалі без умови Я б на такі моменти таки у відео фіксувався, бо це повністю порушена логіка розв'язку
Спасибо доказательства, простые и понятные а ещё можешь решить задачу для 10 класса В треугольнике АВС Угол А равен 20°, угол С равен 40°. АN - биссектриса, CM - биссектриса внешнего угла (М лежит на продолжении АВ) найти угол МNB
А почему Вы интересуетесь решением этой задачи? Это для Вас важно?
Красивое видеодоказательство. Вообще, когда видишь такие красивые математические решения, то всегда думаешь иногда потом: "а как оно в жизни понадобится?" В данном соучае, покамест такой "практический" вывод: "сумма кубов координат 'x' и 'y', какого-то радиус-вектора на плоскости, меньше куба его модуля (длины)" Интересно, а для 3-х мерного вектора, получается, такое тоже справедливо.
Это как с теоремой Ферма и теоремой Пифагора . Два квадрата можно разбить на единичные квадраты и сложить так, что получится новый квадрат . А вот с кубами так не получится
"Уравнения вида xⁿ+yⁿ=zⁿ, где x,y,z - целые, при n>2 неразрешимо. Я нашел поистине чудесное доказательство этому, но поля этой книги для него слишком узки". Официально - самая троллящая фраза в истории математики и одна из самых троллящих фраз в истории планеты. Ну и ещё самая наглая и дарующая больше всего головной боли всем математикам на протяжении 350 лет.
Валерий, добрый день. Я вчера задал Вам вопрос. Вы его видели?: Здравствуйте, Валерий! Хотелось бы знать Ваше мнение. Можно ли (и нужно ли) "наказывать" школьника снятием баллов, если он увидел при решении задачи по геометрии совершенно простой и изящный метод ее решения средствами аналитической геометрии и привел безукоризненное решение? Будь то олимпиада, экзамен в школе или вступительный экзамен в ВУЗ. Есть ли на этот счет устойчивое (общепринятое) соглашение? Или это отдается на усмотрение жюри (приёмной комиссии)?
если всё математически верно решено то за что снимать баллы?
Моё мнение: Для решения школьных и олимпиадных задач можно использовать любые методы (в том числе из курса высшей математики), если не было оговорено изначально, что этого делать нельзя.
@@ValeryVolkov Спасибо!
Это, конечно, пздц
Все гораздо проще. Возводим обе части a²+b²=c² в степень 1,5. Получаем a³+b³+произведения этих переменных с коэффициентами=c³. Так как a>0 и b>0, а коэффициенты при возведении суммы в степень исключительно положительные, сумма кубов a и b равняется кубу c только с добавлением какого-то положительного числа, а значит она меньше его. ч.т.д.
Так не получится, формула Бинома Ньютона не работает для дробных степеней, а для обобщения нужно использовать разложение в ряд Тейлора, но это уже другой уровень.
По-моему, это один и тот же способ.
a^3+b^3=(a^2)^(3/2)+(b^2)^(3/2) < (a^2+b^2)^(3/2)=(c^2)^(3/2)=c^3, 0
Это слишком очевидно, что √(А^2+В^2) больше, чем А или В. В хрестоматийном примере 4^3 + 3^3 = 4^2*4 + 3^2*3, тогда как 5^3 = 4^2*5 + 3^2*5, а это две, но очень большие разницы
отношение катетов на гипотенузу можно писать как синус или косинус, а сумма их кубов точно не больше 1, да?
1:56 ошибка. здесь должен быть знак "больше".