Универсальная подстановка для любых уравнений

2024 ж. 3 Ақп.

14 161 Рет қаралды

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1.
Другие способы решения здесь ➜ • Решите уравнение ➜ sin... и здесь ➜ • Решите уравнение ★ cos...
Предыдущее видео: • Хитрая супер ЖЕСТЬ ➜ Р...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru

Пікірлер

Умножим обе части равенства cosx+sinx=1на √2/2, cosx×√2/2+sinx×√2/2=√2/2, так как cos(пи/4)=sin(пи/4)=√2/2, подставив получим cos(x)cos(пи/4)+sinxsin(пи/4)=√2/2, свернём по формуле косинус разности cos(x-пи/4)=√2/2, откуда x-пи/4=+-пи/4+2пи×n (минус можно брать, так как косинус функция чётная). При -пи/4 получим x=2пи×n, при +пи/4 получим x=пи/2+2пи×n. Те же ответы. Спасибо.
@AlexeyEvpalov3 ай бұрын
Мне больше всего вот такой способ нравится. Пусть u = sin x, v = cos x. Тогда имеем систему u + v = 1 u² + v² = 1. Первое уравнение в координатах (u, v) - это прямая, второе - окружность. Они имеют не более двух общих точек. Легко видеть, что это (1; 0) и (0; 1). Возвращаемся к тригонометрии и дальше просто.
@Alexander--3 ай бұрын
- Красиво
  @notsecretfan3 ай бұрын
- @@user-nm9kg9js5i Честно говоря, я не видел где-либо эту задачу до меня. Я её придумал сам. Александр Титов.
  @Alexander--3 ай бұрын
- @@user-hz5ow9mw7c Да, всё верно. Не пойму, почему Ютуб удаляет комменты
  @Alexander--3 ай бұрын
- @@user-nm9kg9js5i Ну её не так сложно вывести и под силу любому школьнику. Вот ещё данные с целочисленной площадью: 5; 7 и 14.
  @Alexander--3 ай бұрын
- @@user-nm9kg9js5i Ответил Валерию. От себя скажу, что задача действительно многоступенчатая, но школьнику вполне под силу. По крайней мере, такому, который увлекается математикой. Как-нибудь выложу её разбор. Но решение довольно техничное, , простого, изящного и чисто геометрического решения я тоже пока что не нашёл.
  @Alexander--3 ай бұрын
Большое спасибо Вам, уважаемый учитель.
@user-op2qp5sj5w2 ай бұрын
Очень красивое уравнение, как минимум 4 споособа решения. Но в тригонометрии надо востро уши держать всегда. Т.к. вероятность потерять нужные и приобрести лишние корни весьма велика.
@MaksStezhko3 ай бұрын
Уравнение с засенлй выглядит куда страшнее первоначального уравнения)
@illinattta95743 ай бұрын
sin(x) + cos(x) можно представить как скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки на единичной окружности (cos(x), sin(x)) и вектора (1, 1). Результат равен произведению длин векторов на косинус угла j между ними, т. е 1•√2•cos(j) = 1. Отсюда j = ±π/4 + 2πk, что соответствует точкам 2πk и π/2 +2πk
@user-wz6bt5hw8d2 ай бұрын
After multiplying both side of the equation by (sqrt(2))/2 we get simple equation of sin(p/4+x)=(sqrt(2))/2
@shamilbabayev84053 ай бұрын
А если обе части возвести в квадрат, получить sinXcosX=0 и немного подумать?
@ADSemenov_ru2 ай бұрын
Интересное уравнение👍 Я просто посмотрела в таблицу синусов и косинусов и сразу увидела эти 2 решения безо всякого решения☺ ))
@galinawesseler15863 ай бұрын
- А там доказано, что других решений нет?
  @mikaelhakobyan93632 ай бұрын
- @@mikaelhakobyan9363 да))
  @galinawesseler15862 ай бұрын
Как все сложно!😊 а почему немножечко не подумать...😊 Обозначу угол не "х" , а "а" чтоб не путаться! И представлю единичную окружность на координатной сетке, тогда sin(a)= y/1; cos(a)=x/1 => x+y=1 НО СУММА 2х катитов равна нулю только когда один из них равен нулю! Следовательно угол а=0° или 90° улы 180° (x=-1) и 270° (у=-1) нас не интересуют! Окончательно: а=2pi*n; a=90°+2pi*n УСЁ, КОНЕЦ!😊
@user-jz7ct6cq8g2 ай бұрын
Нарисуем окружность с радиусом 1. Нарисуем луч выходящий из центра и пересекающий окружность. Угол между лучом и осью абцисс это и есть Х. У нас 4 области. Ответ может быть только в правой верхней области где синус и косинус угла положительны. Это соответствует икс от 0 до 90 град. Угол 45 не является правильным ответом ибо это получится корень из двух равно еденица. Значит правильных ответа два. Короче: 30 и 60 , и 60 и 30. А в радианах: пи/6 и пи/3. Что примерно. 1 и 0.5. Правильный ответ: 0град и 90 град. Ого ошибся)) видимо подустал уже.
@Mcmern2 ай бұрын
Теперь опишу, как я решил это уравнение (ещё тогда): 1. Возводим обе части уравнения в квадрат (при этом, конечно же, правая часть как была равна 1, так и остаётся): (sin x + cos x)² = 1. 2. Раскрываем скобки: sin² x + 2 sin x cos x + cos² x = 1. 3. По основному тригонометрическому тождеству, sin² x + cos² x = 1, поэтому: 1 + 2 sin x cos x = 1. 4. Опускаем 1 в обеих частях уравнения: 2 sin x cos x = 0. 5. По формуле синуса двойного угла, получаем: sin 2x = 0. 6. Решаем уравнение и получаем: 2x = nπ, где n ∈ ℤ. 7. Делим обе части уравнения на 2: x = nπ/2. 8. Эта совокупность точек включает не только корни уравнения sin x + cos x = 1, но и корни уравнения sin x + cos x = -1, которые нужно исключить. Неравенство sin x + cos x < 0 выполняется при 3/4 π + 2nπ < x < 7/4 π + 2nπ, то есть нам нужно исключить точки x = π + 2nπ и x = 3/2 π + 2nπ. И получаем окончательный ответ, x = 2nπ или x = π/2 + 2nπ.
@volodymyrgandzhuk3613 ай бұрын
sinx + cosx = 1 sinx + v(1-sinx2) = 1 v(1-sinx2) = 1 - sinx 1 - sinx2 = 1 - 2sinx + sinx2 2sinx2 - 2sinx = 0 sinx * (sinx - 1) = 0 sinx = 0 => x = n*pi sinx = 1 => x = n*2*pi +pi/2
@user-ek7pk1xl8p3 ай бұрын
Как много страшных слов в этом ролике🤣
@michel0592283 ай бұрын
Сегодня на городской олимпиаде 8 го класса встретилась такая задача: если взять сумму цифр числа 2023³ затем из получишийсяго числа опять сложить все цифры и так нное количество раз то когда получится
@gamsllxxx183 ай бұрын
Почему нельзя возвести в квадрат? Потом вывести 2cos(x)sin(x)=0?
@user-dh1pu6mj5i3 ай бұрын
- Кто сказал нельзя? Можно, но при этом нужно добавить в систему sinx + cosx >= 0
  @mikaelhakobyan93632 ай бұрын
Возвести левую и правую часть в квадрат Получаем: sin2x=0 2x=πn, nєz x=πn/2, nєz
@irinachyprina97223 ай бұрын
А разве по памяти с картинок волн над доской мы не помним, что синус нуля равен нулю, косинус нуля равен единице? Ну и обратная история с 90 градусами, то есть первым пи пополам. Ролик пока не смотрел.
@user-nm9gt7ld1z3 ай бұрын
Зачем? Домножить на корень из двух на два и по формуле синуса суммы привести к синусу (х +п/4). И все проблемы!
@user-rs6bl3ce8s3 ай бұрын
Возведение в квадрат , решает же вопрос?
@sergzerkal12483 ай бұрын
- Не-а. Теряешь корни
  @reckless_r3 ай бұрын
- В этом случае получается посторенние корни.
  @qasima.51803 ай бұрын
- Эх!!!
  @sergzerkal12483 ай бұрын
- 1+2sinxcosx=1 sinx*cosx=0 sinx=0→x=πn cosx=0→x=π/2+πn в обоих случаях кофункция может принимать значение как 1, что нас устраивает, так и -1, что нас не устраивает, поэтому мы получаем лишние корни
  @user-ho7pl5cm9p3 ай бұрын
- Господа, господа ! Банальное дело, ПРОВЕРКА КОРНЕЙ! И выбор "n".
  @sergzerkal12483 ай бұрын
Чо Пусть a = sin(x), b = cos(x) a+b = 1 = a^2+b^2 (a+b)^2 = 1 = a^2 + b^2 +2ab 2ab = 0 ab = 0 Т.е. либо sin(x) = 0, либо cos(x) = 0
@andrey_v13 ай бұрын
Я решал так: sin(x)+cos(x)=1 [sin(x)+cos(x)]²=1² sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)=1 sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)=cos²(x)+sin²(x) 2sin(x)cos(x)=0 |:2 sin(x)cos(x)=0 sin(x)=0 или cos(x)=0 Подстановка: x=2πn; n€Z: sin(2πn)+cos(2πn)=1 - верно x=πn+2πn; n€Z: sin(π+2πn)+cos(π+2πn)=-1 - неверно sin(π/2+2πn)+cos(π/2+2πn)=1 -верно sin(3π/2+2πn)+cos(3π/2+2πn)=-1 - неверно То есть: x=2πn; n€Z или x=π/2+2πn; n€Z
@user-oi8eg3bu2b3 ай бұрын
- А не лучше ли делать только равносильные переходы, чтобы в конце не проверять корни?
  @mikaelhakobyan93632 ай бұрын
Либо 0, либо 90 градусов. Других решении я не вижу.
@viewererdos3 ай бұрын
А возвести в квадрат и решить умишка не хватает???
@user-ux5uy3gs7j3 ай бұрын
- Этим методом на этом канале уже решали
  @user-klepikovmd3 ай бұрын
Скоро @AlexeyEvpalov напишет подлизвательный комментарий
@darknessros3 ай бұрын
- Да, я тоже заметил. Одно и то же пишет, аж бесит. Мне кажется, это бот какой-то вообще
  @romanparkyrshik3 ай бұрын
- @@romanparkyrshik Ага, 3,7 тыс отметок понравилось автору...
  @darknessros3 ай бұрын
- Ага, 3,7 тыс отметок понравилось автору...
  @darknessros3 ай бұрын