Задача об упаковке шаров - задача столетия, гипотеза Кеплера, «Нобель» по математике // Vital Math
Как плотно упаковать шары? Простой вопрос Кеплера, на решение которого человеству понадобилось 400 лет. Почему так? Что происходит в других измерениях? И за что все-таки дали «нобелевскую» по математике в 2022 году? Просто о сложном! #vitalmath
Почта для ответов: vital.mathbox@gmail.com
Что внутри:
00:00 Необычный выпуск
01:21 Задача Кеплера на пальцах
03:10 Откуда все началось: Хэрриот, Рэйли, Кеплер
05:53 Упаковка шаров в одномерном случае
06:08 Упаковка шаров в двумерном случае
09:30 Упаковка шаров в трехмерном случае
12:11 Гипотеза Кеплера и в чем её сложность
15:06 Доказательство гипотезы Кеплера
17:40 Отдых
18:29 Задача о контактном числе
21:00 Отдых 2
21:17 Филдсовская премия и Марина Вязовская
23:45 Применение задачи об упаковке шаров
24:44 Ключевые выводы
26:57 Задача на подумать
27:25 ?
Полезные материалы
- Лучший текст на русском nplus1.ru/material/2016/04/07...
- Про доказательство гипотезы Кеплера nplus1.ru/news/2017/06/19/kep...
- Доказательство гипотезы Кеплера (первое 2005) annals.math.princeton.edu/wp-...
- Доказательство гипотезы Кеплера (итоговое 2017) www.cambridge.org/core/journa...
- Код доказательства гипотезы Кеплера github.com/flyspeck/flyspeck
- Томас Хэрриот www.famousscientists.org/thom...
- Доказательство Марины Вязовской для 8 мерного пространства arxiv.org/pdf/1603.04246v1.pdf
- Решение задачи об упаковке в 24 мерном прострастве arxiv.org/abs/1603.06518v1
- Решение задачи о контактном числе в 4х мерном пространстве arxiv.org/abs/math/0309430
- Простое доказательство задачи об упаковке на плоскости arxiv.org/pdf/1009.4322.pdf
- 23 проблемы Гильберта www.ams.org/journals/bull/190...
Я столько за всю свою жизнь не отдыхал, сколько раз отдохнул за просмотром этого видео
Попробуй отдыхать, как люди - в сауне с девчонками.
@@user-vd4mb4tc8nполучается что я не человек? Да и 99.8% населения РФ тоже? Имба
Я тоже уснул
За семь лет имел счастье переезжать 13 раз. Вот на практике я вдоволь насладился теорией о плотной упаковке. И это не шары, сами понимаете😁😁😁 С благодарностью вспоминаю тетрис начала 90х
Но позвольте! Когда мы при укладке 49 шаров сдвигаем их через ряд что бы уплотнить, одна сторона квадрата становиться меньше 7-ми единиц то другая становится больше 7-ми. И вообще превращается в прямоугольник (не квадрат). Почему Вы говорите о квадрате со стороной 6,98?
Ведущий не совсем правильно привёл визуализацию оптимальной упаковки для 49 шаров. Для более хорошей картинки ищите «The optimal packing of n=49 circles in a square». Упаковка показанная ведущим - правда даёт большую площадь замещения плоскости, но нарушает квадрат. Но! При этом, действительно существует такая упаковка кругов, которая даёт необходимый квадрат с стороной 6,97 (с копейками). Она иррегулярная и в ней нет ни одного ряда который бы состоял из 7 вертикально стоящих кругов (нет 7 полных диаметров грубо говоря)
да. 7,5 если быть точным. У меня коровь из ушей пошла на 15 минуте... Но автор всё равно красавчик. Безусловнокласс на видео
Возможно, имелось в виду, что при более плотной упаковке 49 шаров площадь прямоугольника, в который они впихнуты, будет численно равна площади квадрата со стороной 6,97?
@@mrinkogny4232 Но суть в том что это будет не квадрат а прямоугольник :)
@@fixicfix нет. The optimal package for square - это именно оптимальное решение задачи для квадрата. И эта упаковка покрывает именно квадрат с стороной 6,97 с помощью 49 кругов, а не прямоугольник. Решение показание ведущим, как я и сказал, дает сходную плотность замещения, но верно только для плоскости, а не для ограниченного квадрата
В обычной жизни часто приходится доказывать, что ты не верблюд... и чем больше контактное число, тем объёмнее доказательство.
наименьшая сумма граней к объёму - и есть самая маленькая упаковка. - шестигранник - додекайдер.
@@user-oz4sg7tw1j Ты хоть бы правильно научился писать, вначале . И выражать мысль нужно ясно, а не бестолково, как это у тебя написано.
Не могли бы Вы пояснить ту часть, которая касается 49 бутылок и ящика. Неужели, когда упаковка плотная получается именно квадрат со стороной 6.98, а не прямоугольник? Разве вторая сторона не растягивается при этом? Ведь помещается 7 бутылок и хвостик от второго ряда... Или я не до конца понял? Спасибо за видео.
Картинка немного условная, на самом деле расположение чуть отличается, вы всё правильно заметили! Вот тут есть ещё примеры datagenetics.com/blog/june32014/index.html
Откуда неуверенность? :) Ведь там очевидно и даже на анимации видно, что одна сторона увеличивается, а вторая уменьшается. А поскольку в условии спрашивается про квадрат, а не про прямоугольник, то квадрат понадобится больший. :) В задачке ошибка. Такое случается. Даже в учебниках ошибки попадаются.
@@yaroslavpiddubnyak2025 Ошибки нет. Дело в том, что наиболее плотная упаковка шаров это равносторонний треугольник. Треугольник со стороной 7 вмещает 28 кругов, а со стороной 6 - 21. При этом высота треугольника со стороной 7 кругов будет около 6.2 . То есть остаётся более чем достаточно места для ещё двух половинок треугольника 7 без центрального ряда (это 24 круга). То есть в квадрат со стороной 7 легко можно уложить до 52 бутылок (треугольник со стороной 7 и две неполных половины), а если укладывать меньшими треугольниками теоретически до 56. Собственно нет ничего удивительного, что 49 бутылок можно уложить в квадрат, со стороной меньше 7, ведь это на 12,5% меньше максимального значения для квадрата со стороной 7. На самом деле оценка 6,98 мне кажется завышенной, теоретически 49 бутылок можно уложить в квадрат со стороной 6,548. Конечно практически там могут быть некоторые неучтённые ограничения, но это надо просто садиться и считать.
@@kendar2128 у Вас множество ошибок, начиная с того, что путаете длину стороны треугольника с количеством шаров в основании. Если в основании 7 шаров, то сторона квадрата меньше 7 не будет. Если в основании 6 шаров и укладывать сотами, то если влезет 8 ряд, то выйдет 48 шаров - не хватает. А если ради одного шара надеяться, что влезет девятый ряд,то очевидно, что пять пустующих ячеек, укажут на несовершенство укладки. :)
@@yaroslavpiddubnyak2025 У вас ошибка в том, что вы мыслите квадратами и считаете, что ряды должны быть прямые и параллельные, без зазоров и одинаковой длины. При этом вы не учитываете, что полосе пустого пространства, образующейся с краю, путём перемещения шаров можно придать сферическую форму и поместить в неё дополнительные шары. В квадрате 7 на 7 можно расположить до 8 гексагональных рядов по схеме 7-6-7-6-7-6-7-6, причём ряды с 4 по 8 будут не то что не параллельные, но даже не прямые и с разрывами, возможно в 3 ряд из-за искривлений войдёт только 5 шаров (это нужно считать), но это всё равно больше 49. В квадрат 6 на 6 при таком подходе можно уложить до 39 шаров. В квадрат 6,5 на 6,5 можно уложить 7 параллельных гексагональных рядов по 6 шаров, это уже 42, причём за пределами рядов останется достаточно площади для размещения более чем 3,5 шаров, а можно 3 неполных треугольника на 27 (основание 7 минус 1 шар), 6 (основание 4 минус 4 шара) и 12 (основание 6 минус 9 шаров), это до 45 шаров, в этом случае есть вероятность, что два шара не войдут, но перераспределение пространства позволяет разместить минимум 43 шара. Причём все приведённые примеры не являются оптимальными, это всего лишь грубая прикидка, оценка снизу. Интересно конечно посчитать минимальный размер квадрата, в который войдёт 49 шаров, но мне лень, в любом случае оценка 6,98 выглядит слишком завышенной, это больше похоже на неожиданный экспериментальный результат, который не является минимально достижимым и достаточно вероятен для случайного получения (теоретический минимум, квадрат со стороной 6,4 вмещает 49 площадей единичных кругов в гексагональном расположении, явно недостижим, а вот сколько пространства минимально необходимо для слияния всех обрезков в цельные круги - вопрос). Теоретически возможно существование формулы зависимости в общем виде, но для этого нужно достаточно доказанных частных решений. Вся фишка укладки в том, чтобы заполнить квадрат на единицу меньше заданного максимальным количеством непересекающихся треугольников с минимальной длиной стороны в диаметр шара, при этом минимальная площадь треугольника при квадратной укладке - 0,5, а при гексагональной 0,433, что позволяет вместить на 15% больше треугольников на единицу площади. Однако прямоугольные треугольники заполняют квадрат целиком, а равносторонние образуют зазоры по краям. Поэтому нам нужно искривить правильные треугольники таким образом, чтобы передвинуть зазоры в одну точку и при этом площадь треугольников не превысила 0,5, тогда можно будет увеличить их количество (добавить новые шары). При этом если длина квадрата не кратна радиусу, то прямоугольные треугольники так же начинают образовывать зазоры и становятся ещё менее предпочтительны. Квадратным заполнением невозможно поместить в квадрат 6,5 больше 36 шаров, а гексагональным можно не менее 43, очевидно, что если по мере приближения к 7 это количество вырастает до 50+, то предел в 49 шаров должен находиться где-то в диапазоне 6,8-6,9 в зависимости от того, сколько всё-таки шаров можно втиснуть в 6,5 и в 7.
Моя Теория: Самая оптимальная скорость воспроизведения для этого видео 1.75
Немного практики и ×2 будет
Сразу и включил такую скорость))
это если ты не хочешь заснуть
Я где-то читал о том, что еще более сложна противоположная задача - о минимально плотной упаковке. Представьте, что у вас есть большой ящик и много шаров. Задача: как нужно складывать эти шары в ящике, чтобы они занимали минимальный объем, при этом не катаясь по ящику при наклонах?
Надо обеспечить твердую структуру шаров по идее наверное. Что бы шары держали другие шары
Но при плотной упаковке все шары касаются друг друга и не могут перемещаться.
Всегда интересовала эта задача, оказывается, не только меня! Каналу развития, а автору - мандаринов🧡
А Чебурашке апельсинов😁
Класс, простым языком, о сложном, это люди любят! После просмотра поймал себя на мысли, что за весь ролик небыло ни одной рекламы))) Спасибо, видео очень понравилось, палец вверх, однозначно!
И музыка сопровождения классная.
Виталий, удивительно, что у такого замечательного канала так мало подписчиков. Желаю вам творческих успехов и большей популярности.
Спасибо! Математика - тема особенная:)
Дураков много
@@user-sy1vb4zm9x 30 с лишним лет старательно выращивали!) Нидайбох научатся считать, и поймут механику прибавочной стоимости) Не, пущай лучше грязными портками киркоровых интересуются)
@@VitalMath ещеб ролик сократить по времени раза в 3 и ускорить речь
Закон парето гласит, что 80% они самые, из них 20% те самые, и только 20% понимают, о чем говорят, из них 80% пассивно учатся, и только 20% от 20%, то есть 4% от общего числа творчески распоряжаютя понятиями, поэтому если утечка мозгов затронула, по нормальному распределению гаусса, более 12%, то это гуманитарная катастрофа.
14:20 на схеме показан квадрат со стороной 7,5, а не 6,98. Там должна быть какая-то нетривиальная укладка.
Не квадрат, а прямоугольник.
на моменте 14:17 можно увидеть, что получается не квадрат а прямоугольник со сторонами 7,5*6,98(последняя цифра взята из видео) - даже на рисунке видно, что сторона увеличилась. Где обман то )
НА РИСУНКЕ 49 КРУГОВ РАСПОЛОЖЕНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ РАЗМЕРОМ 7,5 * 6,192... Так что, у автора цифра 6,98 взята с потолка. Считаем, что диаметр круга равен 1, центры соприкасающихся кругов расположены в вершинах равносторонних треугольников. Длина УКАЗАННОГО прямоугольника (состоящего из 49 кругов) равна Д = 6 * sin 60° + 0,5+0,5 = 6,192... Высота прямоугольника равна В = 7 * 1 + 0,5 = 7,5 (где 0,5 - это радиус круга). Величина sin60° - это проекция расстояния между центрами соприкасающихся кругов на нижнюю сторону прямоугольника.
@@user-gm9xq5gp6c я так сильно расчитывать не умею.
Автор видео не решал эту задачу и выдал неправильную иллюстрацию. Площадь его прямоугольника
Есть такая детская загадка: Два яблока это куча? А три? - тоже нет! Только из четырех яблок можно сложить кучу!
Не достаточно данных. Что считать кучей?
Работал на плазморежущем станке на предприятии рабочим,хоть и с вышкой (так получилось временно) и очень часто доказывал тупоголовому начальству,что отходы при резке кругов-щаготовок одинакового диаметра намного меньше при расположении кругов ,так "как надо" ,а не ,бл...ть,в ряд,как им казалось. Доказал в итоге простым взвешиванием)))
отходы видно шли в их мелкую фирму, что-то делали и наживались, - ещё со времён ссср так было - погреть руки на государстве и построить дачу, - а умников при ссср быстро отфутболивали.
И это не предел квалификации начальников. Что бы доказать что ДВС на машине может жрать бензин не только когда едет по километражу - заставил завести машину с утра и до обеда начальника. Как же у него лоб трещал когда он не понимал куда у него бензин делся и машина после того как он докатал бак стала есть не 8 литров а 12 как оказалось. Вот откуда этих мозго сифилитиков берут в управление ?
@@user-oz4sg7tw1j - со времён ссср Начальник это Власть - всех в страхе держать, чтоб стояли на полусогнутых и говорили Ку, - за пререкание - пострадаешь, - в ссср на всяких курсах Гос Управления так учили, всякое управление человеческим материалом, и сейчас учат, - а после ссср пошёл Капитализм - оказалось нужны не Погонялы с кривой рожей, а Управление делом т.е. Менеджеры, - люди толпами пошли на курсы Менеджеров, модно было, - открывали тысячи фирм, в любой индустрии, наполнили страну товарами, - а с 2000х - опять Советский Гимн и опять жлобство и Погонялы, ноль компетентности, а вот дерьмо человеку быстро сделают.
это вы результаты "лабораторных" опытов им показали, а доказательство никто из начальства читать не будет :(
20:52 - 19650 шаров представить не сложно, сложно представить 24-хмерность
24-хмерность представить не сложно, сложно представить 19650 шаров
Да, сложновато, особенно без примера
На самом деле шаров 196560. Автор тут ошибся раз в 10.
Задачи об упаковках в трёхмерных пространствах - неотъемлемая составляющая часть физики твёрдого тела. Стоило бы об этом упомянуть.
14:10 И как у Вас после сдвига шаров ниже границы квадрата со стороной 7, получился снова квадрат, но с меньшей стороной 6.98? Магическая математика? Или Вы просто не отличаете квадрат от прямоугольника?
просто у квадрата, со стороной 6,98 вдруг оказалась сторона 7,5 но всем похуй
@@Virus-td9nc В этом весь смысл самой точной из наук.
Занятно. На химфаке это затрагивалось на кристаллохимии - тоже надо набить трёхмерный объём атомами/ионами шариками. Зато очень наглядно, почему разные кристаллические минералы могут иметь одинаковый химсостав, но разные свойства и переходить друг в друга при приложении давления/температуры. Туго предмет шел, когда шариков больше 2 видов и надо было искать группы симметрии, 3D воображение не у всех хорошо работает :) Радовало, что предмет довольно специфичный и особо им не мучали, так, по основам прошлись. Глубже изучали те, кто занялся рентгеноструктурным анализом.
Здорово! Даже 7-летка с удовольствием посмотрел и всё понял. Спасибо большое!
Спасибо! Замечательно! Нет слов...
Спасибо тебе большое за твои видео!
Отличные видеоролики у Вас, большое спасибо! Жаль, что так мало просмотров.
Спасибо за видео 😊
Спасибо огромное !
В физике есть задача расчёта уравнения состояния вырожденного газа. Это когда мы в процессе сжатия плазмы или нейтронного вещества, упираемся в принцип неопределённости Гейзенберга. Математически это описывается как некий минимальный объём в шестимерном пространстве, состоящем из координат и скоростей. Соответственно ячейка - это шестимерный прямоугольник, где пространственные рёбра равны и рёбра, обозначающие скорость тоже равны между собой. Всегда рассматривается прямая укладка этих прямоугольников. А ведь это на самом деле эллипсоиды в шестимерном пространстве. Их можно раскладывать по разному. Вряди это даст значительную поправку, но тем не менее.
Замечательный выпуск !
Спасибо Вам✊️💖
Интересно, а будет ли выигрыш в объёме ящика, если ящик для шаров будет тетраэдр?)
-Моня, как поделить две картофелины на троих голодных евреев? -Фима, не делайте нервы. Сделайте пюре.
В детстве среди любимых игрушек были шарики из подшипников и пластилин. Вот я как раз на них и старался наиболее плотную упаковку найти. Тоже нашёл два варианта самой плотной упаковки.
Спасибо за один из самых интересных каналов, которые еще есть на ютубе!
Вы плохо знаете ютуб :)
@@vip8877 , ну подскажите, пожалуйста! Я давно уже тут, а последние годы мне видится что ютуб уже почти сдохнул 😥.
@@aaabbb-gu5pz Верт дайдер - отличные переводы зарубежного. Лекции для сна - наша профессора, считай учишься в МГУ :) Клим Жуков (+ Дмитрий Пуков, но уже на его сайте, с ютуба удалили) - масса качественного исторического контента. Саватеев - математика теория игр (ну так с пивком потянет). Тойсой - слегонца по химии. А класс - физика. Павел Виктор - прям физику можно из ютуба выучить, если школу прогуливали. Станислав Дробышевский - антропология. Алексей Водовозов - токсиколог. Alek OS - программирование (не лажа, а как надо). Много чего ещё, если какая-то тема интересует напишите посоветую
Кстати! Сетка из одинаковых объектов воспринимается нашим зрением особенно - так как колбочки и палочки в нашем глазу так же расположены в треугольной сетке - плотно упакованы. И хотя мозг превращает картинку в образ, иногда эта сетка воспринимается напрямую и возникают оптические эффекты - что приводит к потере ориентации в пространстве!
14:17 - квадрат - плоский четырёхугольник, у которого все углы и ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ.
Прекрасная подача материала. Благодарю! Хотелось бы посмотреть подобное видео про заполнение трёхмерного пространства шарами разного размера. Что известно по этому поводу?
Очень хороший вопрос и точно очень актуальный. Вот наиболее полный обзор, где строятся заполнения с шарами разных размеров из разных распределений. В целом на практике именно разный размер должен использоваться, чтоб заполнить 90+% пространства www.researchgate.net/publication/270565612_Multi-Sized_Sphere_Packings_Models_and_Recent_Approaches
На портуриканском означает "бегущий во тьме отвращенец" на встечу вессенему солцу, не взирая на погоду и трудности, связанные с тендециями развития глобального потепления и разрушения озонового слоя над антарктидой."
Использование пластичной упаковки с применением вакуума значительно уменьшит пустоты между шарами...)
Мужик, я нихера не понял, что ты сказал мне. но ты мне близок. ты заговорил и достучался до сердца
Спасибо огромное за Ваш труд, увлечённость и заражение интересом..! Спасибо!
Что-то я не понял, как запихивали шары в квадрат 6.98 14:16 если по ширине всё понятно, то по высоте они стоят практически ровно в ряд, плюс полшарика. То ли, иллюстрация не очень, то ли что-то не так с задачей.
Все верно! Иллюстрация упрощенная, на самом деле чуть по другому нужно расположить, но в 6.98 все можно запихнуть!
Ну так расположите как нужно. А то люди голову ломают))
@@VitalMath почему √18 ?
Интересно всё!Но вот никогда не понимал многомерных пространств...У вас нет выпуска где рассказывают хотя бы про 4х мерное?
Спасибо!
Дано из видео: Шарик диаметром 1 см. Коробка 10х10х5 см. Коэффициент заполнения 64-74%. Сначала оценка. Объем шарика: 4*пи*1см^3/24 = 0,536 cм3. Объем коробки: 10*10*5 = 500 см3. Часть объёма коробки для заполнения объемами шариков: 500*0,64...500*0,7405=320...370,25см3. Количество объема шариков, которое поместится в объем коробки для заполнения: 320/0,536...370,25/0,536=597,01...690,76. Если округлить: 597-690 штук. То есть 690 штук. Но 690? Сомневаюсь. Если посмотреть на раскладку первого слоя по Х и У. Шаг по Х: 1 см. То есть в первый ряд будет влезать 10/1 = 10 шариков. Во второй на 1 меньше, 9 шариков. И до конца. Шаг по У: 1*sin(60) = 0,866 см. То есть будет влезать 9/0,866 +1/1= 11,39 рядов шариков. Не ровно 11, а 11,39. Значит остаток до стенки будет 10-10рядов*0,866см-1ряд*1см = 0,34 см. А это уже неидеальная раскладка. Значит второй и последующие слои провалятся чуть ниже, чем при идеальной раскладке. Шаг по Z: (2/3)^0.5 = 0,8165 см. Это при идеальной раскладке, когда центры расположены в вершинах равногранных тетраэдров. То есть будет влезать 4/0,8165 +1/1= 5,8989 слоёв шариков. А будет ли достаточно того, что слои чуть проваливаются, чтобы упихать 6 слоёв? 523 штуки влезут точно. Но вот больше - хз Оставлю победу за вами!
Грубоватое у Вас округление числа π. У меня получилось 707 максимум
Мне кажется в данном случае достаточное. Я не смог уместить в заданный объем более 570 шариков. А это меньше меньшей оценки. В 707 слабо верю, но если у вас есть решение, учитывающее все данные, я бы посмотрел
@@Tim4226Al Для абстрактных задач, это может, и нормально, но тенденция тревожная. Я тут на одном канале банально вычислил радиус по заданной площади (разлёта осколков), и мне один фрукт заявил, что Я не умею считать, а по его вычислениям радиус отличается на два метра, и число пи вообще равно 3,0!!!
500 они только так и влезут
@@Dmirty1291 по Вашей же логике, только при π=3,14, при плотности 74%
Я вот тут уснул в начале, весь рассказ во сне прослушал, включил самый конец, проснувшись. Восьмимерное?? Двадцатичетырёхмерное??? Всё это за двадцать минут объяснено??? Пересмотрю, однозначно!
Одна из самых интересных и полезных серий видео в интернете. И какое простое и увлекательное изложение. Спасибо!!!
На практике более актуальны оптимальные упаковки не шаров, а предметов более сложной формы, причем разных размеров. Также есть задача о плотности сыпучего материала, к примеру, зерна, печка и морской гальки, каменного отсева, бутового камня и др.
Отличная подача и объяснение материала. Несомненно подписываюсь! Благодарю за труд, Виталий!
Да там бредятина полнейшая. На 14 минуте он называет прямоугольник квадратом 6.98 , но всем пофиг )))
Отличное видео по математике! Доступно, последовательно и современно. Ждём историю c Великой теоремой.
Виталий, спасибо за ролик
Канал просто сокровище, почему я нашёл его только сейчас...
Благодарю
27:08 Я считаю, что 543 Ниже предъявляю своё решение-рассуждение И так, мы имеем два варианта раскладки: *1) Класть слои шаров ровно друг на друга.* *Тогда у нас получится 500 шаров - по 100 шаров умещается в каждом таком слое, высота слоя равна диаметру шара - 1 см, а высота самой коробки - 5 см, из этого и выходит пять слоёв* *2) Класть следующим методом: первый слой выложить квадратом 10 на 10 шаров, а второй - выложить прямо над зазорами между шарами первого слоя, тогда у нас второй слой получится квадратом 9 на 9 шариков.* *Из **2:09** я понял, что при таком выкладывании слоёв они по высоте занимают меньше места на 20%. В итоге мы на 5 сантиметров высоты сможем уложить уже не пять слоёв, а шесть, то бишь три слоя 10 на 10 и три слоя 9 на 9 шаров. Просуммируем все слои: (100*3) + (81*3) = 543. А это на 43 больше, чем в варианте 1).* *Ответ: 543*
В самом начале ролика услышал, что его summary в конце на 22й минуте. Сразу поставил лайк.
14:15: Какой интересный квадрат, аж целый прямоугольник
Виталий, огромное спасибо за инетересное повествование и за гимнастику для ума! На первый взгляд в коробку 10х10х5 вместятся 707 шаров единичного диаметра. Казалось бы надо объём коробки умножить на 0.7405 и разделить на объём шара. Однако это не совсем так. Плотность 74,05% справедлива для куба, а не для параллелограмма, каковым является яшик 10х10х5. Т.е., в куб 10х10х10 влезут 1415 шаров. Но поскольку они уложены не строго слой над слоем, а таким образом, что каждый следующий слой лежит в углублениях предыдущего, то разрезание куба пополам пройдёт не между шаров, а по ним. Таким образом, ответ будет целая часть от 1415/2 минус один слой, т.е. 707 - 105 = 602 шара. Хотя и этот ответ вызывает сомнения, потому что он получен аналитическим, а не геометрическим методом. Дело в том, что при заполнении площадки 10х10 единичными шарами образуется неплохой зазор у одной из стенок. И, вероятно, что через слой или между слоями будет появляться возможность этот зазор увеличить и насыпать туда ещё шаров. Так что приблизительный ответ будет не меньше 602 и не больше 707 шаров. И вообще у меня появилось сомнение о справедливости плотности 74,05% для любой комбинации кубов и шаров. Если на квадратное основание куба можно уложить целое число рядов шаров методом наиплотнейшей упаковки, тогда да, эта плотность справедлива. Но что будет если рядов будет дробное число? (т.е., между последним рядом и гранью будет зазор) Будет ли этот зазор увеличиваться по мере наполнения куба и не достигнет ли он размера, достаточного для укладки целого ряда шаров?
Вот забери у тебя математику, кто ты? - Придворник, путешественник, РЫЦАРЬ!
за вопрос в конце обязательный лайк
зависит от прочности картона, сможет ли коробка выдержать их?
Не планируете ролик про теорему Гольдбаха?
Круто. Вы в очередной раз смогли удивить. Прекрасный материал.
Спасибо, что смотрите!
Это харийская арифметика ?
Какая будет плотность упаковки, если маленькие сферы упаковывать надо не в куб, а в одну большую сферу?
Узнаем через 400 лет :)
@@SergSuchkoffKharkovUkraine ха-ха-ха 😄
Мне нравится что есть портреты и временная шкала. Очень удобно смотреть.
Очень интересно! Отдельное спасибо за Рахманинова в конце!
Кажется я сам не заметил как мне интересно объяснили математику.
Спасибо! Очень интересно. Мегалайк. Большое спасибо
есть ли обобщение на n мерное пространство?
Классно видео! Автор канала крут!
Благодарю за видео - смотрю с детьми!
Отличный ролик.
Только квадрат получился прямоугольником. 14:21. Хоть и каждый квадрат - это прямоугольник, но не каждый прямоугольник - это квадрат. Или пусть докажут обратное )
Спасибо, великолепный канал.
Заебись вошел в историю мужик) - смотрел в телескоп и придумал знаки "больше" и "меньше")
примерно на 14:00. Первый квадрат со стороной 7, в него плотно влезает 7 кружков с центрами на одной прямой, паралельной одной из стенок квадрата. Второй квадрат чуть поменьше, в него тоже влезает 7 кружков и еще чуток места остается. Как еще уменьшить квадрат, чтобы влезло 8 кружков? хД вот где Нобель, дерзайте.
Какой самый оптимальный метод плотной упаковки знаний в голове?
Психология и психиатрия в помощь) Плотнее всего удерживаются те знания, которые имеют прочные ассоциативные ряды, хорошо поняты в своей сути, и интегрированы в общую картину мира. Голова резиновая, влезет всё) Еще, для оптимизации, можно оставлять в памяти обобщенные знания и принципы, а для точных данных и вычислений пользоваться справочниками. Изучите как работает мозг. Очень интересно) И там до программирования нейросетей и математики рукой подать)
Ну теперь то всё понятно!
Есть исключения. Четыре круга плотнее упакованы именно квадратом в прямоугольной ураковке
Если говорить конкретно о квадрате, то этот случай как раз правилом и будет. Не исключением.
Видео должно было называться "Математики складывали ядра 400 лет"
Чисто интуитивно: самой плотной упаковкой для шариков радиуса r будет шар радиуса R, причем тем плотнее, чем больше соотношение R/r, и плотнее, когда для R/r=N - целое в окрестности N-1/2 и N+1/2.
Если запускать в космос шар, а если везти в фуре?
Ты хоть понимаешь, что ты пишешь? "самой плотной упаковкой для шариков радиуса r будет шар радиуса R" что?!
@@malejeeck а что тут непонятного?
если сесть на мандарины можно опровергнуть гипотезу Кеплера😇
Обязательно даже гипотезы опровергать через...? - гусары, молчать!
Жду доказательство недоказуемости возможности уменьшения доказательства недоказуемости
Снимайте про теорему Ферма!
Спасибо! Было очень интересно! Вот только понятие «плотнейшая упаковка» фигурирует в такой науке, как кристаллохимия. Наверное, следовало ее упомянуть.
Какая еще кристаллохимия?! Лет пять назад искал готовое решение максимального количества контактов размольных тел в зависимости от диаметров размольных шаров и размера измельчаемого вещества в зависимости от объёма его загрузки
И как нашли коллега????
@@eilamharnish7205 в общем виде, конечно, нет. Но для своих задач подобрал.
У меня в свое время была практическая задача наиболее плотно заполнить пространство шарами трёх разных диаметров. Т.е. шары вторго диаметра должны вписываться меж шарами первого диаметра, а шары третьего диаметра между шарами первого и второго диаметров. Каково должно быть соотношение между этими диаметрами?
Если требовалось дозаполнить шарами второго диаметра пространство уже заполненное первыми, то отношение вторых к первым должно быть около корень из трёх делить на три минус половина. А вот с третьими большие сложности, из-за наличия шаров двух диаметров определить положение их центра не так просто. Мне лень это считать.
Доказательство это код - интересно!
Концовка была неожиданной)
4:00 Мне понравилось слово ПРИДВОРНИК. Интересно открыть что-то неизвестное ранее из русского языка. А то я знал только слова дворник и придворный..
Кстати, очень важной задачей в будущем (в математике, для решения проблем в физике) будет: упаковка деформируемых шаров (максимальная, локальная и в больших объемах) в трёх мерном пространстве при разной степени их деформации при сохранении объема каждого шара.
Решите пожалуйста задачу про картошку и круглую кастрюлю.
Спасибо, Виталий. Если получится, запилите пожалуйста как-нибудь видос про Мотидзуки и его доказательство(?) - в последнее время ореол загадочности вокруг его работ не спал.
а вы наивно предпологаете, что в ящик произвольно заброшаные шарики займут какую то другую конфигурацию чем энергетически самую эффективную?
Сила трения для реальных физических объектов внесёт фактор случайности и отклонения от решётки. Даже шарики от подшипников не факт, что сразу лягут идеально, но могут, если потрясти; для объектов с большим трением это будет проблемнее. Чем мельче объекты относительно объёма "упаковки", тем легче им придти к энергетически эффективной конфигурации - постепенно будет уменьшаться влияние трения, но нулевым никогда не станет.
Спасибо! Это интересно!!! +1
Качественная подача, спасибо!
Очень интересно, с удовольствием посмотрел с сыновьями
На 14:11 Вы говорите про квадрат, но точно ли квадрат? Даже на представленной анимации видно, что это прямоугольник или я не прав? Спасибо.
тут разобраться бы с 2 шарами, а вы про упаковку )))
Оптимальная упаковка шаров зависит от формы объема в который хотят поместить шары. В квадратный объем шары будут помещаться прямоугольными слоями, а в цилиндр шары будут помещаться круговыми слоями. Если форма объема не определена, то оптимальная упаковка будет треугольная. Логика простая : неудобно впихивать впихуемое в невпихуемое.
Если я правильно понимаю, для двумерного пространства, наибольшая плотность расположения шаров в заданной плоскости соответственно ведёт к большему количеству шаров в данной плоскости. Но есть случаи, когда для заданного прямоугольника (ограниченной плоскости) раскладывая круги определенных диаметров обычным, квадратным расположением, можно разместить большее их количество, чем треугольным. Не совсем понял тогда, о чем говорит теорема, т.е. исключения?
Нобелевской премией по математике все же чаще называют Абелевскую премию, не только по созвучие, но и потому, что нет возрастных ограничений
Спасибо
Плиз, ролик о теореме Ферма!
Если исходить из сухого условия задачи, то берем 1 шар и помещаем в шаровидную упаковку, плотность будет больше чем у гранецентрированной упаковки