Хитрая советская задача. Школьники не могут решить

Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.

Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая

Эта задача была для поступления в ВМК лет 20-30 назад. Ещё на форуме мехмата МГУ её решали.

Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный

чтобы решать таким образом нужно заранее знать что такой способ решения приведет к правильному ответу.

Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.

Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5

Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"! С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5 получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a); Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0 Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ! Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.

x⁴ - 10x² - x + 20 = 0 раскладывается как (x² + x + a)(x² - x + b) = 0 x⁴ - x³ + bx² + x³ - x² + bx + ax² - ax + ab = 0 x³| -1 + 1 = 0 x²| b - 1 + a = -10 x | b - a = -1 ab = 20 b + a = -9 b - a = -1 2a=-8 a=-4 b=-5 (x² + x - 4)(x² - x - 5) = 0

Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4-10x^2-x+20=(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)= x^4+(b1+b2)x^3+ (b1b2+c1+c2)x^2+(b1c2+b2c1)x+c1c2. Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.

Уже и не помню этот способ, но именно тут он сам всплыл в голове, чтение мыслей. Спасибо, что напомнили

Именно этим методом , известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) - несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и , после преобразований , получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2) ,(3) , (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x) , которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3) , (6) , (2) } и { (3) , (7) , (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ , полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но , в предлагаемом подходе , она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат , обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой , уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2 , которое содержит все корни (8) . При этом , ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но , уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=-v(x) - при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ) , пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим , что ‘-v(x) ‘ - ничуть не отрицательнее , чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=-x ; после возведения обеих частей в квадрат , получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 -корень уравнения (11) , другой - x2=-2 - корень уравнения (12) . Вот так . С уважением , Лидий

Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах. Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов. (x^2-5)^2- 5 = x Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало? То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит. Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.

Метод вложенной функции. С учётом x^2-5>=0, возведём уравнение в квадрат и перенесём 5, получим (x^2-5)^2-5=x, если f(t)=t^2-5, то получили f(f(x))=x. Пусть f(t)=t, тогда f(f(x))=f(x)=x, то есть x^2-5=x, квадратное уравнение x^2-x-5=0. Разделив многочлен 4 степени получим разложение (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность таких же уравнение, Ответы те же.

Вместо непонятных вычислений √17 и √21 надо пользоваться оценками сверху/снизу заменив их известными корнями √16 и √25

Схема Горнера: «Я что, доя вас какая шутка?» Не знаю как в других школах, но у нас о ней в 9-м рассказывали, хотя школа не с математическим уклоном, а химико-биологическим…

Это задачка наверняка из тех, что давали на олимпиаде. Могла быть у Сканави в группе В. Если не знать никаких задачников, кроме советских, то задача советская. 🙃

У меня получилось Х = 2,79. Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2,8 и больше 2,7 и в итоге получилось 2,79.

Графики кстати красиво выглядят, становится очевидным из симметрии почему один корень лежит на y=x, правда пока не могу сообразить почему второй лежит так красиво на y=-x-1

Можно сделать замену z = (x - 5)^0.5. Тогда получится система из двух уравнений: { x^2-5=z; x=z^2-5 } что эквивалентно {x^2 - 5 - z = 0; z^2 - 5 - x = 0}, вычитаем второе из первого, получаем x^2 - z^2 + x - z = 0, а значит (x-z)(x+z+1)=0. А это значит, что либо x=z, либо z = -x-1. Подставляем в изначальное уравнение x^2 - 5 = z и получаем два квадратных уравнения x^2-x-5=0, что дает ответ (1+21^0.5)/2, тк z>0 и x^2+x-4=0, что дает (1-17^0.5)/2, так как должно выполняться условие z>0 => -x-1>0 => x < -1

Интересная задача. Но, разве нам не нужно было в ОДЗ еще написать, что х+5>=0? То-бишь, что x>=-5. Т.к. если мы не планируем в комплексные числа ударяться - под корнем тоже должно быть не отрицательное число. В теории, ведь, мог быть корень -6 например, который бы в наше ОДЗ подходил, но давал бы под корнем минус единицу.

Спасибо за интересную задачку.

Если искать выражение x^4 - 10*x^2 - x + 20 в виде произведения квадратных трехчленов (x^2 + ...) (x^2 + ...) с целыми коэффициентами, но несложно получить x^4 - 10*x^2 - x + 20 = (x^2 - x -5)*(x^2 + x -4), откуда находятся все нужные корни.

Ну после ОДЗ я для прикидки сделал графики л.ч. и п.ч., откуда видно, что решений ровно два Дальше я просто попробовал сделать замену самой неприятной части t=√(x+5) В итоге вышло уравнение t⁴ -10t² -t +20 =0 Но возведя оригинал в квадрат и перекинув вче влево будет то же самое x⁴ -10x² -x +20 =0 Значит корни у них совпадают, отсюда тоггда есть 2 возможных вывода 1ый x1=√(x1 +5) & x2=√(x2 +5) Тогда они объединяются в одно x=√(x+5), откуда x=(1±√21)/2 2й x1=√(x2+5) & x2=√(x1+5) Откуда у нас либо x1=x2, и снова первый вариант, либо {x1,x2}={(-1+√17)/2;(-1-√17)/2} Ну дальше проверяя корни остаются (1+√21)/2 и (-1-√17)/2 Если я не накосячил, то как-то так

Прикольно) не зная математики, подгонять под ответ литературно-художественное решение на основе фантазий)) с ошибками, которые чудесным образом сокращают друг друга))

если построить графики максимально точно, то можно определить примерные значения до десятых. смотря на ответ, можно сказать, что пересечения есть в точке x=~-2,6; x=~2,8.

Методом неопределённых коэффицентов решается очень просто

Оба решения (оригинальная замена и метод частичной замены) - отличные!!

Параболы y=x^2-5 и y=sqrt(x+5) симметричны отнoсительно прямой y=x и имеют 4 точки пересечения. Две из них лежат на оси симметрии. Поэтому один корень получаем из квадратного уравнения х=х^2-5 (больший, меньший отбрасываем из-за одз). Возводим исходное уравнение в квадрат, получаем уравнение 4-й степени, делим его на х^2-х-5, получаем х^2+x-4. Из 2-x корней последнего оставляем меньший, другой отбрасываем из-за одз. Все!

Посмотри как решал такие уравнения Андрей Щетников! Не надо делать нелогичные замены. Графический метод наглядный и логичный!

У советских школьников проблем с решением задачек быть не могло по определению(МА подтвердит))

Шикарная задачка )

Проверка корней постановкой примерных значений это конечно да Слава богу, этому в школе реально не учат!

Интересный способ, но подходит конкретно для данного случая. В общем случае в таких уравнениях, если не решать уравнение четвертой степени "в лоб", применяя сложные формулы, нужно увидеть правильную замену t=f(x), чтобы получилось уравнение, не содержащее x, но решаемое более простім способом. Автор предложил оригинальный способ, который чаще усложняет задачу.

Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас. Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).

Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть: X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0 Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x: - x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0 Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем: -t^2 - t + x^2 + x = 0 и решаем относительно t: D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 Меняем t обратно и получаем два уравнения: sqrt(x + 5) = -1 -x sqrt(x + 5) = x Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения: x^2 + x - 4 = 0 x^2 - x - 5 = 0 Ну а дальше дело техники)

делаем замену переменной t = x^2 - 5 если подставить в исходное уравнение, то t = sqrt(sqrt(t + 5) + 5) возводим в квадрат обе части t^2 = sqrt(t + 5) + 5 или t^2 - 5 = sqrt(t+5) т.е. уравнение относительно t принимает исходный вид, как для x Отсюда сразу следует, что t = (+/-) x т.е. мы имеем два квадратных уравнения и дальше как видео

Есть похожие задачи с параметром, где степень многочлена относительно х выше второй, а относительно параметра а вторая.

Красиво!!!

Ещё додуматься нужно, что именно 5 принимать за t.

Да это же легко, вторая часть ЕГЭ профиля. Часто подобное встречается

Это фактически уравнение вида: f(x) = f^-1(x), где f(x) = x^2-5. Или f(f(x)) = x, правда два корня будут лишние. Т.е. результат функции и результат обратной функции совпадают. Намекает на это то, что если корень обозначить за у, то получится такое же уравнение. Значит х=у=f(x), получаем одно квадратное уравнение, у которого положительный корень подходит. Второе квадратное уравнение получается по аналогу теоремы Виета для многочлена 4-й степени. Там удобно - коэффициент при кубе равен 0 и сумме всех 4-х корней, два из которых знаем. То же с произведением корней. Если другими словами - мы делим многочлен 4-й степени на многочлен 2-й степени столбиком. Остатка нет - значит все правильно. Решаем получившийся многочлен. Т.е. чистая алгебра. Однако признаюсь - когда решал, без читерства с графиками функций не обошлось.

Можно проще решить: х^2 - 5 =y x+5 = y^2 , тогда сложим и получим x^2 + x = y^2 + y первое решение x=y из которого следует уравнение x^2 - x - 5 =0, второе решение x^2- y^2 =-{x-y} y= x-1 уравнение x^2 + x - 4=0

какие же все в комментариях умные.я восхищена

потрясающая задача!

Наконец -то не бредовая задача с неверным цсловием, а что-то действительно решаемое, да еще и не обычным способом! 👍

Спасибо, интересно, но хорошо бы проверить, хотя, конечно, это можно сделать и самостоятельно 🙂

Что-то я не помню в школе таких закидонов на олимпиадах

ОДЗ: x>=~5, x^2>=5, т.е. x Є[~5,-sqrt(5)] или x Є [sqrt(5),infinity]. Пусть у=sqrt(x+5), тогда (y^2-5)^2-5=y. Если у^2-5=y, то уравнение удовлетворяется. Но тогда оно принимает вид (y^2-y-5)(y^2+y-4)=0.

Не совсем понятно (забыл, что такое дискриминант и как раскладывать), но очень понравилось))

Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.

В школе таких задач не решали, если это конечно, не специальная математическая школа. Уровень сложности вполне для вступительного экзамена в МГУ.

Решил за 5 минут. Кто Сканави в свое время прорешал, тот сможет Решаем квадратное уравнение относительно пяти… И все получится 😅

Ну, действительно, можно заметить, что √(x+5) это ветвь параболы, повернутой на 90 градусов, причем вершина этой параболы (-5 0), а вершина x^2-5 это (0 -5). Очевидно, меняя -5 т.е подставляя другие числа гмт некоторых точек пересечения это прямая x=y. Немного побаловавшись с коэффициентами (подставив не 5, а 1 и 3), получим, что остальные точки должны лежать типа на прямой y=-x-1, да, действительно гмт прямая(не вся), что также несложное замечание, а т.е вместо того, чтобы решать исходную систему, мы просто найдем положительный корень x^2-5=x и отрицательный корень x^2-5=-x-1. Да, если t>1, то задача x^2-t = √(x+t) имеет решения: положительный корень x^2-t=x и отрицательный корень x^2-t=-x-1

Здравствуйте, почему бы нк разложить по формуле квадратов и сократить правую часть?

Решил методом подбора👌)

На вскидку: икс должен быть от 2.2 чтобы левая часть была больше нуля. Если взять 2,2 то в левой части будет 0 а в правой около 2,6. Значит надо брать больше 2,2. Ну возьмем 3. Это получится 4 и чуть меньше трех. Левая часть обогнала правую, значит надо взять меньше. Ну возьмем примерно 2.9. Ответ: примерно 2,9. Диапазон: 2,8-2,9 Ответ: примерно 2,79. И ещё отрицательное число. Отрицательное число я то и не учел. Надо было рассматривать икс от -5. А я рассматривал от 2,2 и выше. Диапазон указал неверный.

ну вообще подкоренное выражение не должно быть отрицательным т.е x>= -5 и x>=√5, т.е x>=√5

А решение то с подводным камнем. Школьник может легко оступиться, рассуждая, что если уравнение по t имеет единственное решение t=5, значит дискриминант его равен нулю. Но тогда ничего не получится.

Я пробував як на початку відео розкривати і пробувати застосовувати теорему Безу. Не зміг найти цілих коренів і вирішив подивитися на розв'язок у відео.

Я начертил графики функций y = x² - 5 и y = √(x + 5). Попались иррациональные корни, неповезло

Можно из одного квадратного уравнения с х вычесть другое и Х^2 сократится.

30 лет назад сдал экзамен по диф. уравнениям. ЗДЕСЬ НЕ ПОНЯЛ!!!!!!!!!😢

2:18 Гениально! 👌

Необычно , но красиво!

Охренеть: в универе так не учат. Я первый раз такое решение вижу, зная, что уравнение четвертой степени в таком возрасте не решают, я сдался. Интересно.

Координаты x точек пересечения графиков в левой и правой частях. А дальше пишем программу на компе для поиска этих x с требуемой точностью. В качестве бонуса такое более общее решение имеет некоторые возможности модификации левой и правой частей, поэтому лучше приспособлено для решения реальных, а не выдуманных и притянутых за уши, задач.

А в каком учебнике Вы нашли такую задачу?

Какое практическое примение- для расчетов размера участка, вещи, их количества, предположение события и т.п. имеет эта задача и срособ ее решения, и каким обстоятельством, проблемой вызвана необходимость ее решения?

Интересный метод!

Можно заменить х+5=у^2...получится х=у^2-5 ....у=х^2-5

Один корень сидит между sqrt(5) и троечкой, второй между -sqrt(5) и -3. Дальше лень.

Благо дарю за интересное решение!!! 😀

Некогда смотреть видос и не знаю что там за задача, но у уравнения что на превью х=2,39)

Как может чему-то учить человек, который не знает, что такое ОДЗ для уравнения и делает ошибки в оформлении решения?!!!

Элементарная подстановка у=√(х+5), у>0 приводит к системе алгебраических уравнений х²=у+5 у²=х+5 Вычитаем одно уравнение из другого получаем х²-у²=у-х Разлагая разность квадратов и выносят за скобку общий множитель (х-у) получаем уравнение (х-у)(х+у+1)=0 которое имеет два независимых решения х=у х=-у-1 Подставляем первое решение в первое уравнение у²-у-5=0 D=21 y=(-1±√21)/2 Отбираем только положительный корень поскольку у>0 х=у=(√21-1)/2 Подставляем второе решение у²+у-4=0 D=17 y=(-1±√17)/2 Опять выбираем только положительный корень у = (√17-1)/2 х= - (√17+1)/2 Решений два: х= (√21-1)/2 х= - (√17+1)/2

Cтроим графики ф-ций у1= х^2-5, ОДЗ х-любое и у2=(х+5)^(1/2), ОДЗ х>-5 и х=-5; видим 4-е точки пересечения в ОДЗ х -- значит, существует 4-е решения уравнения у1=у2; поскольку ф-ция у2 обратная по отношению к ф-ции у1, то абсциссы графика у1 перейдут в ординаты графика у2, и наоборот, ординаты первого графика перейдут в абсциссы второго -- воспользуемся этим свойством: найдём координаты точки пересечения графика у1 и прямой у=х, решая простое квадратное уравнение х^2-5=х; отсюда находим первые два корня уравнения у1=у2, а именно х=2,79128..., х=-1,79128... Для определения ещё 2-х корней решаем уравнение х^2-5=-х-1, что даёт х=-2,56155..., х=1,56155... Можно показать, что пересечение любой параболы у1=х^2-const с прямой у=-х-1 даёт координаты точек обратной и прямой функций, пока const

Ну да, в школе зачастую такому не учат. Задача класная как и решение.

у меня получилось более простое решение, возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени

Решал в школе и щелкал как орешки. Прошло 25 лет случайно открыл видео и осознал, что это бесполезные знания

необычно

А мне комментарии понравились больше, чем видео😊

А разве ОДЗ не будет ОДЗ:х>5? Объясните пожалуйста а то не совсем понял почему квадрат икса. Просто как пример когда хотим посчитать корень 49 то выйдет же ±7 тогда почему х^2-5>=0?

Красиво.

А вот генеальное решение от Chat GTP To solve the equation x^2 - 5 = √(x + 5), we need to isolate the variable x. Let's go through the steps: Step 1: Square both sides of the equation to eliminate the square root: (x^2 - 5)^2 = (√(x + 5))^2 x^4 - 10x^2 + 25 = x + 5 Step 2: Move all terms to one side of the equation: x^4 - 10x^2 - x + 20 = 0 Step 3: This is a quadratic equation in terms of x^2. Let's substitute a variable to simplify it. Let's say u = x^2: u^2 - 10u - x + 20 = 0 Step 4: Solve for u by factoring or using the quadratic formula. In this case, we will use factoring: (u - 5)(u - 4) - x + 20 = 0 Step 5: Expand the equation: u^2 - 9u + 20 - x + 20 = 0 u^2 - 9u + 40 - x = 0 Step 6: Substitute back u = x^2: x^2 - 9x + 40 - x = 0 x^2 - 10x + 40 = 0 Step 7: Solve the quadratic equation by factoring or using the quadratic formula: (x - 4)(x - 10) = 0 Step 8: Set each factor equal to zero and solve for x: x - 4 = 0 or x - 10 = 0 x = 4 or x = 10 Therefore, the solutions to the equation x^2 - 5 = √(x + 5) are x = 4 and x = 10.

Одз с ошибкой. Единственное органичение - подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Откуда х больше или равен (-5). И все 4 найденных корня подходят. Наглядно, как уже писали, это можно увидеть, построив графики левой и правой части исходного уравнения. Это две параболы, которые имеют 4 точки пересечения, т.е. 4 корня исходного уравнения.

хорошая задачка, нам таких способов решения/замены в ЗФТШ при МФТИ не показывали (или я уже забыл :( )

Подобная задача решается более просто графически и более наглядно. Строятся графики и береш точки пересечения. Это удобно когда небольшие числа. Для больших чисел можно график упростиь. Переносом запятой на несколько значений например при тысччах( 1000÷÷÷ 1,000)., Получается простой единичный график. Удачи. Приятно вспомнить детство. Графики полезно вводить в обучение они дают визуальную картинку и человеку проще понять что он считает. Интеграл для многих детей вроде сложно, а визуально это площядь кривого квадрата или прямоугольника, кусок круга,овала. Дети на математике должны играть а не мучатся. Картинка пугает ребенка меньше чем формула.

Эта задача будет сложно только если вы не знаете формул сокращеного умножения. А именно квадрата разницы. После преобразования правой части, переносим левую с отрицатльным знаком, сокращаем, получаем квадратное уравнение, считаем. Почему автор решил усложнить задачу и надеть трусы через годову - хз

В този канал има много умни хора, много съм впечатлена. Математици ли сте, внимавали сте в часовете по математика, или обучението по математика в Русия е на много високо ниво? Интересно ми е да разбера.

ОДЗ в этой задаче x>=-5, т.к. должен существовать квадратный корень справа и всё. А x^2-5>=0 по свойству квадратного корня и к ОДЗ никакого отношения не имеет. За такое ОДЗ, как у Вас, на ЕГЭ сразу ставят ноль за задачу даже если она решена полностью и правильно!

Страшно смотреть на иррациональные дроби😮

Беру от фонаря х=4 и подставляю в условие ( для проверки методом тыка) 16-5=√4+5 , 9=√9 такого не бывает

При такой замене, если 25 записывать не как t^2, а как 5t, то будет еще более простое уравнение без лишних корней.

Не понимаю, почему все придираются к ОДЗ - оно написано правильно. Когда мы возведем в квадрат, то в дальнейшем решении мы В ПРИНЦИПЕ не сможем получить такой Х, при котором правая часть была бы отрицательной, так как она квадрату числа. Ошибкой или, как минимум, излишним условием было бы как раз написать ОДЗ на подкоренное выражение, а не на левую часть. За такие ошибки у нас в физмате можно было получить строгий нагоняй и разочарованный взгляд учителя.

У меня проверка ответов заняла больше времени, чем у автора ушло на решение.

На протяжении всего невероятного решения я ждал провкрку на экран, но так и не дождался.

Ностальгия. Мне уже 70. ОГУ.

Как раз этому в школе учат. И это ИМХО очень пагубно сказывается на школьниках. По крайней мере в той части их жизни, которая как-то касается математики или логики. Людей с младых ногтей приучают хитрить и изворачиваться. Нет проблем с уравнениями 4-й степени и ниже. Лодовико (Луиджи) Феррари закрыл вопрос ещё в 16-м веке.

Раскладываем левую часть как разность квадратов. Делим обе части на кроент x+5 . Получается х минус корень 5 равно ноль, х равно корень 5