Объекты категории // Теория категорий 1.1.
2024 ж. 18 Мам.
2 144 Рет қаралды
Что такое объекты категории
Дополнительно почитать:
ncatlab.org/nlab/show/object
донаты:
- boosty.to/molotov_ilya/donate
- сбер 2202 2062 2391 6193
телеграм канал: t.me/molotov_ilya_tg
Ключевые слова:
1. теория категорий
2. объекты
Структура:
00:00 Интро
01:09 Структура
01:37 Примеры
03:00 Замечания
03:52 Практика
04:43 P.S.
Использованные в видео картинки:
1. icons8.com/icon/QPMtNJY6smos/...
2. icons8.com/icon/yIgs898MG4Ai/...
3. icons8.com/icon/118377/chat-m...
дааа давай давай урааааа
Здравствуйте Илья! Думал, что число может стать строкой, да, но вот как строка может стать числом? И вы представляете! Вспомнил, что буквально вчера утром, я хотел поблагодарить одного очень хорошего человека, и так как я изучаю математику, я сделал ей красивую картинку - "Спасибо", в степени бесконечность)
Краткое изложение Аристотеля, поехали
Домашняя работа: Рассмотрим категорию стен в квартире. Там содержатся: стены с желтыми обоями, стены с зелёными обоями, стены с плиткой, стены крашеные масляной краской. В качестве отображения рассмотрим такое отображение этих объектов, которое может произвести обычный человек (не мастер ремонта): он может сменить одни обои надругие, содрать обои и покрасить стену (причем обратное не верно. Если стена покрашена, то простой человек ничего с ней сделать не может. Я когда ремонт делал понял, что ее ничем не содрать: ни шпателем, ни болгаркой, ни растворителем) точно также он не может перевести стену с плиткой в другую стену и обратно. Тут надо быть плиточником. И того получаем отображение: стена с обоями любого цвета -> стена с обоями любого цвета или крашенная; крашенная, плиточная отображаются только сами в себя.
Класс) Сам недавно делал ремон)
Комментарий в Продвижение. Надо написать восемь слов, поэтому комментарий такой длинный
Воооо
Интересно, а есть ли категория всех категорий и будет ли она экстраординарной, т.е. содержать саму себя?
Изначально тут всё сводится к парадоксу Рассела. Когда мы говорим о совокупности объектов Категории - рассматривается класс, а не множество. (Если подходить к рассмотрению через множества). Чтобы не сталкиваться с парадоксами рассматривают только категорию малых категорий. Она не является своим представителем, т.е. малой категорией. Я запишу об этом видео попозже. Спасибо за идею.
@@molotov_ilya, если правильно помню, то как раз переходя к классам, а не рассматривая множества, можно задавать такие "категории категорий" и даже морфизмы можно спокойно определить, как отображения между категориями. Но да, для простоты можно их опускать(наверно)
@@humster- главное не забывать упоминать если с такими штуками работаем. Хотя это почти никогда не случается. Поэтому на время забудем.
То есть, отличие категории от множества заключается в том, что категория даёт нам некую информацию, объединяющую объекты внутри категории(или информацию, задающую эти объекты)? Можно ли задать категорию "хаотичность свойств внутренних объектов между собой" чтобы получить множество случайных объектов и структур? Или взять пустое множество и сопоставить ему категорию "эквивалентность внутренних объектов пустому множеств"?
Во множестве изначально нет внутренней структуры. В категории она предписывается.Это можно назвать информацией о типе структур. То, что вы придумали о рандоме я не понял, думаю это потребует дополнительных конструкций поверх категории. В принципе, можно придумать какие-то рандомные перестановки на множествах и отображения, но нужно будет проверять свойства о которых позже расскажу . Про пустое множество - в категории множеств это начальный объект. Позже увидим, что в произвольной категории можно ввести начальные объекты с точностью до изоморфизма.
Спасибо за видео. Если взять например самокат, мотоцикл, автомобиль, самолёт, ракета сказать что это всё разные виды транспорта и попросить между ними прогрессию скорости то можно ли это считать категорией?
Про скорость не совсем понял. Как вариант, можно упорядочить по их скорости. Будет категория порядка как частично упорядоченное множество.
Подумал и придумал несколько примеров категорий: - категория графов(ориентированных/неориентированных и других). Не знаю обязательно ли вводить условие, что они должны состоять из одинакового количества вершин, но наверно стоит. - из категории графов строится категория дискретных автоматов - категория всех огнестрельных орудий, которые можно получить модернизацией одного. Тут вспоминаются компьютерные игры с кучей возможных модификаторов. - Ну или просто категория объектов, которые могут получится из исходного последовательностью модернизаций. - Категория всех возможных 3д(векторных 2д) объектов, построенных в чертежной программе или программе 3д моделирования. Преобразования - соответственно набор(последовательность) преобразований, которые необходимы, чтобы один объект перевести в другой. Далее приведу некоторые сложные в построении и представлении категории(если таковыми можно считать) - трансцендентные числа. Не совсем уверен в корректности, но вроде как можно задать категорию почти над любым множеством. Ведь так? - неизмеримые по Лебегу множества в R^n. Тоже, очень стремный набор. Измеримые вроде являются множеством. Неизмеримые вроде тоже... - категория всех возможных программ, соответствующих заданной грамматике. Преобразования - дописывание программы в соответствии с грамматикой.(самое реальное из сложных) Скорее всего в первой части привел более-менее корректные примеры, а в второй просто попытался сделать страшную конструкцию.
С числами всё хорошо, пока есть ассоциативность, тождественный элемент и композиция. Можно ли придумать композиции трансцендентных которые всегда будут оставлять их таковыми , это вопрос.
1). Нога, рука, голова, палец - части тела. 2). Война и мир Толстого, Государство Платона, Приключения Математика Станислава Улама, Все Рушится Чинуа Ачебе - книги. 3). Топор, носок, честь, пустота - несвязанные вещи. 4). Топор, носок, честь, пустота - слова. 5). 1, 2, 3, 4, 5 - какие-то закарючки.