МОЩНАЯ тригонометрия
2019 ж. 14 Там.
24 460 Рет қаралды
Интересное тригонометрическое уравнение.
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Новая Группа ВКонтакте: vk.com/volkovvalery
Почта: uroki64@mail.ru
Задание из книги Ткачука В.В. "Математика - абитуриенту".
вот так и в жизни - кто-то нарисует задачу, а ты бьешься-бьешься, а ответа нет
Почему нет ответа? Есть ответ: нет решений (пустое множество). 🤔
Уважаемый Валерий Волков,огромная Вам благодарность,что Вы несёте практически бескорыстно свет знания...То,что Вы показываете,практически нельзя найти в Сканави...Ещё раз огромная Вам благодарность...
Красивое, подробное решение. Спасибо.
Как раз это было очень нужно мне 👍👍👍
Не по мне такое решение (слаб матаппарат). А решить то хочется! Построил по характерным точкам графики двух функций (левой и правой части) и не обнаружил точек пересечения. Корней нет. А если б были - был бы тупик.
Что больше sin(sin 2021) или cos(cos 2021) ?
Косинус больше (+0.84 против -0.73).
Ну строго говоря, в комплексных числах решение есть. Можно ещё разобрать уравнение sin(cos(x))=cos(sin(x)), тоже не имеющее вещественных корней.
Как всегда супер, трудно решить
А поразбирайте интересные уравнения в целых числах
@@xz8928, откуда такие примеры, интересно?)
а можно еще перейти к произведению и показать, что в обоих случаях аргумент обратной функции по модулю будет больше единицы
Если не заметить, что арксинус от величины больше 1, красивый ответ получается. В начале, чтобы не анализировать, можно было разность синусов представить в виде произведения.
МОЩНОЕ название
Можно так: sin(a) = cos(b) 1) -1
А почему тогда и только тогда? Ведь а не обязан быть равным б. Может быть а равным 0, б равным пи-пополам...или 3/8пи и 1/8пи
Но, если переписать ваш подход, так, что для выполнения равенства должно быть б=π/4-t, а=π/4+t, тогда а+б=π/2 и может быть тоже выйдет решить через систему. Upd. Да, можно. Получаем t = 1/π. Тогда а=π/4+1/π. Первое слагаемое больше 3/4, второе больше 1/4, сумма больше 1, что невозможно.
@@user-ou3jn8lt3d Да, точно. Спасибо, что поправили
@@madmax6943 я тоже ошибся, когда рассчитывал t. На самом деле t=±√[1/2-π/16]. Но сути это не меняет.
Решал по-другому. Функции в левой и правой частях уравнения периодические по x с периодом 2 pi. Поэтому достаточно рассмотреть только полуинтервал [-pi, pi) и растиражировать найденное. На отрезке [-pi, 0] корней нет, так как левая часть уравнения отрицательна или равна нулю, а правая строго положительна. Поэтому рассматриваем только (0, pi), что влечет sin(x) > 0. При sin(x) = s > 0 выполняется (увы, вышка) неравенство: sin(s) < s, а вообще везде - неравенство cos(c) >= 1 - 0.5 c^2. Оценим разницу правой и левой частей уравнения. cos(cos(x)) - sin(sin(x)) > 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x), причем важно, что неравенство строгое. Выражаем все через sin(x). 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x) = 1 - 0.5 (1 - sin^2(x)) - sin(x) = 0.5 (1 - 2 sin(x) + sin^2(x)), что представляет собой полный квадрат и поэтому неотрицательно. Итого, на интервале (0, pi) имеем cos(cos(x)) - sin(sin(x)) > 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x) = 0.5 (1 - 2 sin(x) + sin^2(x)) >= 0, корней нет.
Шо за вышка?
@@user-xk9cu4md9k водонапорная ! :)
Как-то замороченно... А не проще доказать, что sin(a)=cos(b) только тогда, когда a=π/4+t и |b|=π/4-t в нашем диапазоне [-1,1]? Тогда, 1=sin²x+cos²x=a²+b²=π/8+2t². Отсюда t=±√[1/2-π/16], где π/161/2. А sin(x)=a=π/4+t > 5/4 > 1, что невозможно. Значит решений нет.
Даже не пытался решать - ответ очевиден. Можно, в уме, графически представить. Но видео просмотрел. А, вдруг, я ошибся? Но нет, не ошибся. Sin и Cos могут быть равны, в четырёх точках и до бесконечности. Но их квадраты - это другие функции, которые не пересекаются.
ну единственное можно добавить, что при переходе от синусов к самим аргументам, было необходимо проверить их [аргументов] равенство при прибавлении периода функции к одному из них. Очевидно там нет ответов, т.к. 2pi больше 6, но все ж думаю сказать об этом стоило. Просто это классическая ошибка при таких переходах.
Cos(cos(x))> sin(sin(x)) для любого х Доказывается точно также....Только надо подставить х=0...
построил графики - нету пересечений.... получаются улыбающиеся губы и только !
Можно было воспользоваться тем,что sin a = sin b если а-b=пn.тогда sin x+cosx=пn+п/2 что невозможно ни при каком n так как sinx+cosx принимает значения от -корня из 2 до корня из2
Точно, Татьяна. Автор канала всегда почему то выбирает самое сложное и нудное решение, видимо сказывается недостаток аналитических способностей. Ваше же решение простое и понятное.
это просто общий способ,работающий в любой ситуацции-последовательное рассмотрение всех вариантов решения. Вдобавок он более строгий и ,для большинства, понятный
Но это же неверно. sin(pi/3) = sin(2pi/3)
Автор выбирает способ который работает ДЛЯ ВСЕХ примеров, а ваш способ работает только для этого примера.
Поторопилась. a +b=п+ 2пn
По интегралом можно видео. (Желательно с нуля, за ране спасибо )
А тибе зо чем ???777????
Если построить графики функций sin(sin(x)) и cos(cos(x)), то они действительно не имеют точек пересечения %)) Задача решена!
Я думал щас такой умный до конца пролистну и все сам пойму, в итоге пересматреть пришлось（
Двойной облом 😂😂😂
А такое : sin(sin(...sin(x))=cos(cos(...cos(x)) ?
По принципу сжимающих отображений предел выражения слева и справа равны решению уравнения sinx=x и cosx=х. Получается sinx=cosx, x=pi/4. Но sin(pi/4)≠pi/4. Ответ тоже пустое получится. Это не строго, но решение можно доделать, например, если ты имел ввиду конечные выражения - оценить погрешность и сказать пару слов о знаке. Дерзай, если хочешь.
Как мы нашли отрезок от -пи/2 до пи/2 ?
Это в радианах все, переведи в градусы и поймешь.
Опять пустое множество((
В подобных задачах решение либо пустое множество, либо совсем очевидные.
Если графически нельзя отобразить, значит и нет решения.
Да, всё правильно, пустое множество. Только я, после того, как воспользовался формулой приведения, перенёс синус и использовал разность синусов
sinx+cosx
45
А разве задача не решается , что если f(f(x))=g(g(x)) , то f(x) = g(x)?
cosx=sinx x=+-π/4 Coscosx=Cos1/√2 Sinsinx=Sin1/√2 cos и sin равны только при π/4+2πk, 1/√2=! π/4+2πk
Косинус пи/4= синус пи/4 Кос кос пи/4 не равен син син пи/4
Для любого x cos(cos x)> sin(sin x)...
Моё предположение: пустое множество
х=45гр
Понятно, что sin(x)=cos(y) означает x=y=pi/4 плюс период, но т.к. в аргументе те же функции, а мы знаем, что они одновременно не равны pi/4, то и решений нет, очевидно, единственная сложность таких заданий в том, что неискушенный ученик может кинуться преобразовывать сие чудесное уравнение
а как доказать что они равны только в "=y=pi/4 плюс период,"
@@alekseqkireev1056 я так же решал. Arccos(π/4)=arcsin(π/4). Что неверно. А доказать что sin(x) и cos(x) на промежутке π пересекаются 1 раз можно через графики функций и производные
sin(x)=cos(y) не означает, что х=у. И не означает, что что-то из них равно пи/4
@@user-ou3jn8lt3d они равны только в точке pi/4 + период
@@user-ou3jn8lt3d и там sinx=cosx
sin(sin x) = cos(cos x) ещё вариант sin(sin x) = sin(π/2 - cos x) sin x = π/2 - cos x sin x + cos x = π/2 т.к. cos x = sin(π/2 - x), то sin x + sin(π/2 - x) = π/2 т.к. sin x + sin y = 2 ∙ sin((x+y)/2) ∙ cos((x−y)/2), то sin x + sin(π/2 - x) = 2 ∙ sin( (x+π/2-x)/2 ) ∙ cos( (x - π/2 + x)/2 ) 2 ∙ sin(π/4) ∙ cos(2x - π/2) = π/2 cos(2x - π/2) = ( π/2 ) / ( 2 sin(π/4) ) cos(2x - π/2) = π/(2√2) arccos( π/(2√2) ) = 2x - π/2 arccos принимает значения от -1 до 1, но π/(2√2)≈1,11 > 1, значит корней нет
Не думаешь что на видео по проще и быстрее?
Ну слёту ответ - 45 градусов.
даже знаю как ты решил! sin(sinx) = cos(cosx) => tg(tgx) = 1 .> tgx ^2 = 1 => tgx = +-1 => x = pi/4+pi*k/2. Угадал?
А хер тебе...... То же так сначало подумал)
Гораздо проще решается. Возводятся обе части в квадрат, cos^2(cosx) заменяем на 1 - sin^2(cos x) Переносим. Получаем 1 = sin^2(sin x) - sin^2(cos x) sin^2(sin x) - sin^2(cos x) не превышает по модулю единицы => такое возможно только когда: {sin^2(sin x) = 1; sin^2(cos x) = 0 } Чего быть не может, поскольку -1 < cos x < 1
Перенесли неправильно
Я не математик, но в тригонометрии син и кос это отношения зависящие от угла, который имеет значения выражающиеся в градусах или рад. чаще всего. У меня возникает вопрос что такое синус косинуса угла? Есть синус угла, я это понимаю, но что такое синус отношения(т.е. просто числа). Зачем такие задачи. Кто их будет решать в реальной жизни. Иногда складывается впечатления, что составители или идиоты или прикалываются. Задача из разряда найди обьем 3км/ч, если прямоугольник в круге радиусом 5 градусов цельсия....
углы выражаются не только в градусах, но и, например, в радианах. говоря, скажем, про sin(5), подразумеваем sin(5 радиан) ( 1рад примерно равен 57.3 градусам). sin(x) - это некоторое число. sin(sin(x)) - синус числа (т.е. синус некоторого количества радиан)
@@user-xz9sc1tl5l еще раз. Синус градусов или радиан существует. Изначально придуман для вычисления сторон по углу в прямоугольнике. Потом как координата в декартовой системе по известному углу. Но ни син, ни кос простого числа не существует. Тригонометрическая функция берется всегда от угла и результат всегда простое число. Взять синус предположит от 0.5 это все равно что взять корень из самолета. Если есть желание и дальше поспорить приведите пример из жизни где потребуется взять син(син30)).. Ну нельзя измерть скорость у давления.
@@pingofdead , ты же сам написал, что согласен с тем, что синус радиан существует. sin(sin(x)) - это и есть sin от какого-то количества радиан. здесь аргументом для функции синус выступает sin(x), что в этом плохого? да хоть e^(-arctg(ln(x)), какая разница? 1 радиан - это безразмерная величина, поэтому говоря про sin(0.5), имеем полное право говорить о sin(5 радиан).
к чему этот пример вообще... какой смысл в нем...