Что больше?
2019 ж. 21 Шіл.
152 112 Рет қаралды
Как сравнивать степени?
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Новая Группа ВКонтакте: vk.com/volkovvalery
Достаточно просто возвести обе части в степень √2. Слева получим 9, справа 2 в степени √6. Очевидно, что 9 больше. Так как число √6 меньше даже 3, а двойка и в кубе дает только 8, а двойка в нашей степени √6 будет даже меньше 8.
Самое разумное и простое
Действительно. это намного проще, чем логарифмировать, потом искать производную и делать сложный анализ.
возводить в иррациональную степень нас не учили
Стоит для начала доказать, что мы можем возводить в иррациональную степень
@@alesharofl371 где иррациональность? 2в степени 1,4?
20 лет, как окончил школу. Помню, как решал задачу какую-то по геометрии у доски. Решил, оочень оригинально. В несколько действий, вместо одного. Запомнил фразу педагога: " Из Питера в Москву через Анадырь, Сыктывкар и деревню Кошмаровку" 😆 😆
Это задача не на результат, а на ход мысли, на исследование функции. Мне нравится.
люблю, когда из пушки по воробьям. чувствуется мощь науки
😅
Показан универсальный способ решения подобных задач, не всегда таких простых, Лайк
Вот именно, что задача простая. Не нужно мудрить. Изящное решение с возведением в степень корень из двух. Менее изящное с примерным подсчётом. Корень из 2 примерно равен 1,4, корень из 3 - 1,7. Возведем в 10 степень обе части. Получаем 3 в степени 14 и 2 в степени 17. 2 в степени 17 = 128 * 1024 - примерно равно 130 тысяч. 3 в степени 14 - это 9 в степени 7. Это значение меньше 10 млн (10 в степени 7), но больше 2 млн (8 в степени 7 или 2 в степени 21 = 2 * 1024 * 1024). Полученные значения отличаются более чем в 10 раз, значит погрешность округление степени до 1 знака после запятой, на результат влиять не может. Потому что даже если мы округлим вверх корень из 3 до 1,8 получится примерно 265 тысяч, что всё ещё в 10 раз меньше левой части. А у автора как обычно монументально, но долго. И, соответственно, не применимо в реальной жизни.
Пример того, как можно перемудрить на пустом месте.
Абсолютно
Я тоже думаю что из мухи 🐘 сделали
Да это точно . Мне кажется решение намного проще. Ненадо никаких производных. Особенно для тех, кто этого не знает.
Согласен
@@ivansakovich7653 з
«Мы выяснили, то нам нужно. В принципе этого достаточно» - Валерий Волков
Как обычно, пержде чем смотреть разбор я не буду ставить на паузу и пробовать решить самостоятельно))
Спасибо!!! Приятно узнать новые приемы при решении таких задач!
Очень доступно объяснено. Давно не решала задачи такого типа. Приятно было вспомнить. Српсибо
Автор не усложнил ,просто числа легкие ,теперь попробуйте сравнить пи^е и е^пи .На что домножать не ясно ,а способом автора это сделать очень легко.
Как понимать выражение: число в степени ПИ=3,14.....?
@@aleksandrpanteleiev4256 точно также как в степени корень из 2, оба числа иррациональны
Легко... Правильнее сказать "возможно"
Е в степени Пи больше.
Вы указали на универсальный метод решения подобных задач. Спасибо за подробный разбор.
Показан замечательный метод, как придумать нужную функцию, исследовать на критические точки, очень красиво! А пример показан простой специально.
А если обе части возвести в квадрат,ведь обе части полажительные?
А не проще всё возвести в степень √6? Получилось бы 9^√3 и 8^√2. Первое, очевидно, больше.
@bumboni является, если мы докажем, что функция f(x) =x^√6 монотонно возрастает, что довольно просто
@bumboni тогда большему значению аргумента соответствует большее значение функции
@bumboni мы знаем, что на данном промежутке любая показательная функция монотонно возрастает. Мы знаем, что функция с большим основанием на этом промежутке возрастает быстрее. У нас больше и основание и показатель, так что это математически корректно, просто, возможно, требует дополнительных пояснений.
ばにゃチャネル Является
Очень хорошо, это самое короткое доказательство, т.к. х в степени 1/6 (как и в любой положительной степени) монотонно возрастающая функция при х>0.
Es una belleza de demostración ... Y Nuevamente entendí todo.👍
На заметку молодой хозяйке: шуруп вбитый в стену молотком держится лучше, чем гвоздь, закрученный в ту же стену отвёрткой. Предлагать возвести обе части в степень не буду.
Или проще 9 v 2^√6 < 2^√9 = 8 9 > 8
не факт. факт- забить легче.
Круто. Вспомнил школьную алгебру. Понравился ваш формат видео.
Спасибо ! Решение понятно , сам бы не дошёл.
Спасибо, интересно
Это шедевр:)
Разделила обе части на 2^sqrt(2), слева получится 1,5 в степени больше 1, а справа 2 в степени меньше, чем 0,5. Первое число заведомо больше 1,5, второе заведомо меньше (корень из двух меньше 1,5).
Нельзя сокращать при делении если основания разные
@@vaskov1270, почему нельзя? Насколько я помню, a^c * b^c = (a * b)^c, по крайней мере для целых c точно. Я на память не помню, но вроде бы это свойство сохраняется и для вещественных показателей.
ностальгия.... когда-то это для меня было как песня, как стих, как музыка ушел в химию, педагогику, рекламу. жаль
Спасибо!🌺
Интересно, я не побывал решить, но выглядит не стандартно
спасибо. применяем все знания)))
через тетрацию (возведение степени в степень) просто решается (она уже есть в условии, степень корень из двух это тетрация 2 в степени 1/2, а корень из трех это тетрация 3 в степени 1/2), тогда тетрируем оба числа в 2 и получаем 3 в квадрате и 2 в кубе, 9>8.
Да, можно было проще с данными конкретными числами, но рассуждение автора пригодится для общего случая. Особенно понравился формат видео. Что это за прога, с помощью которой можно такое представление делать?
Может быть для общности следует исследовать две функции: y=x^sqrt(x-1) и y=(x-1)^sqrt(x) )? В данном конкретном примере не следует проводить такие громоздкие исследования, а воспользоваться свойствами степеней. Представьте, что это задание выполняет учащийся обыкновенной школы...
В тот момент, когда Вы начали в производную подставлять точку 2, я забыл изначальную цель видео.
что больше: корень квадратный из двух или корень кубический из трёх? (в общем случае ситуация когда показатель корня равен подкоренному выражению; легко оценить когда 3 и больше; а вот когда одно число меньше е а другое больше е - непонятно, как сравнивать)
Нужно обе части возвести в степень корень из двух. После чего всё становится очевидным: левое число больше правого.
Ок, а что если 999^√1000 и 1000^√999. Что больше? ;)
@@user-wd1uy1jb8x калькулятор...
Валерий, благодарим Вас за отличные объяснения и просим: пожалуйста, научите нас решать задачи на состаавление квадратного уравнения (для восьмого класса. Про бассейны или про сравнение скоростей)
Поледний раз в 94 году сдавал это. Легче стало , понял что еще помню.Прям вскипел...:)
Валера! Перемудрил! Олимпиадную, но всё-таки довольно простую задачу для восьмого класса неуместно решаешь ``инструментами`` десятого класса. Для решения достаточно было возвести левую и правую часть в степень √6. В результате потребуется сравнить 9^√3 и 8^√2. Сравниваем основания -- слева больше! Сравниваем степени -- опять слева больше. Для чисел больше +1 --- бОльшее число в бОльшей степени всегда больше мЕньшего числа в мЕньшей степени. Следовательно, ставим знак БОЛЬШЕ! ВОТ И ВСЁ!!! ;-). (Кто из восьмиклассников знает логарифмы?!?!?!)
Возведем обе части в степень корень из 3. Тогда нужно сравнить 3^(V6) и 8. Так как V6>V4=2, то 3^(V6)>3^2=9>8, то есть 3^(V2)>2^(V3).
Да, нас такому вообще не учили. Но как интересно!
Есть один вопрос на оси вы написали 8 и 8/... . Если 8 разделить на что-то то как получим больше 8 ?
Не лучше ли применить мажорирование: log2(3)>3/2 т.к.3>2**(3/2)=2✓2. А 3/2>✓(3/2)т.к.1.5>1. Непонятно, какие образовательные цели ставит автор. Если научить исследовать функции, то пример должен исключать простое решение выше.
Добрый день. А возможен такой способ: логарифмируем оба выражения ( натуральный логарифм), затем ещё раз,т.е. ln(√2ln3) и ln(√3ln2),преобразовываем, получаем 1/2(ln2+2ln3)= 0,5 ln18; 1/2(ln3+2ln2)=0,5ln12. Очевидно первое выражение больше второго, следовательно 3^√2 больше.
Я конечно извиняюсь но более лёгкого способа нет? Я посмотрел до конца и меня настигла мысль в процессе " мы вообще то решаем !
Более легкий способ умножить степени на корень из 2 Слева будет 9 а справа будет цифра 2 корень из 6 т.е n
Решения всегда слишком мудрые)))
Родившийся в 80е: - Неплохо, но можно и проще... Родившийся в 2000: - Чего? Сейчас посчитаю, где мой смартфон... Родившийся в 2020: - Что это за фигня??? проматывает... Алиса, что больше? - Конечно же три корня из двух Родившийся в 2040: - Три корня из двух больше конечно же. Да, у древних людей не было нейроинтерфейсов... Хотя... если ты бомж без нейроинтерфейса, куда-то дел смартфон, планшет, часы, то не сможешь спросить у умного помощника... Но в такой ситуации нужно думать не о каких-то корнях, а бегом бежать хотя бы за смартфоном, близкие и друзья наверно уже думают что с тобой что-то случилось.
а у меня вопрос,можно 3 замениь 9 ,а 2 _4ой,как бы 9 в степени корень 4 и 4 в степени корень 9,это не замена,но схитрить.вроде получается,что левая часть больше
Класс!
Автор ролика "Меня прёт, меня прёт. Потому что новый год". )))
Больше слева
Возведем обе части в степень √2. Тогда слева получим 3 в степени 2, что дает 9. Справа получим 2 в степени √6. Разложим левую часть на множители 2×4,5. Поделим обе части на 2. Получим 4,5 v 1 в степени √6. Но 1 в любой степени равно 1. А следовательно 4,5 > 1 и 3 в степени √2 больше 2 в степени √3
А где можно порешать такие задачи?
Здравствуйте. Есть ли для таких номеров общее решение параметрического вида? Например, (чисто условно говоря), если y > x в (?) раз, но не более чем в (?) раз, то y^x > x^y
Общее решение есть, вывод из которого следующий: если оба числа (x,y) находятся "по одну сторону" от экспоненты {т.е. (x,y) >=e или (x,y) 4^3 (4 "дальше" от экспоненты, чем 3) Б) 2.5^2>2^2.5 (2 "дальше от экспоненты, чем 2.5) ** Экспонента в степени любого числа (не равного себе самой) *ВСЕГДА* больше, чем это число в степени экспоненты *** Если числа находятся "по разные стороны" от экспоненты, то там *сложнее:* в некотором смысле там тоже работает вышеуказанное условие, но "дальность" уже не арифметическая (т.е. не просто разность между числами и экспонентой), кроме того, возможно равенство при "равноудалённости" от экспоненты: примеры: А) 2^4=4^2 (2 и 4 "равноудалены от экспоненты); Поскольку 4 "равноудалено" с числом 2 от экспоненты, то мы можем проверить вышесказанное, взяв число 3 ("ближе" к экспоненте, чем 4, а значит и "ближе", чем 2) Б) 2^35^2 (5 "дальше" от экспоненты, чем 2)
@@vicvic2413 Преогромное спасибо!
@@rodriguez4809: Вы можете пойти дальше и *ДОКАЗАТЬ* вышеописанное! a^b V b^a, a>1 и b>1 => a^b>1 и b^a>1 => если взять корень (любой степени) от a^b и b^a, неравенство не изменится. Возьмём корень степени (a*b), т.е. возведём в степень 1/(a*b) обе стороны, тогда: (a^b)^(1/(a*b)) V (b^a)^(1/(a*b)) a^(b/(a*b)) V b^(a/(a*b) a^(1/a) V b^(1/b) *ТО ЕСТЬ* нам надо посмотреть, *КАК* изменяется функция x^(1/x) при её увеличении или уменьшении !!! Возьмите производную от x^(1/x), найдите экстремумы функции и посмотрите, на каких участках она повышается и понижается. Расскажите, что получилось :)
Задача решается намного проще. Представим наши числа в виде: (3^2)^(1:(2^0.5) ) и (2^3)^(1:(3^0.5)) или a^b и c^d Теперь сравниваем a и c и отдельно b и d Очевидно . что а больше с и b больше d . Поэтому a^b больше c^d.
Вопросы есть но в целом понятно
В данной конкретной ситуации проще всего было в √2 возвести обе части и практически готовый ответ получить
Всё очень сильно усложнил. Ожидал какой-то яркий финал, но автор ничем не удивил. Нужно показывать простые и быстрые решения. Вот это очень интересно.
Sergey Smirnov но в школе заставят решать так же как и он. Это вам не хухры мухры,надо нам мозги вынести
@@user-xl8gh4cq5x У меня такое не решали. Решали только базовые задачи да и всё.
Вы сломали мне психику
Ochen interesno.
Я может быть.тупой вопрос задаю, но нельзя было 3∧√2 типо стрелочка вверх 2∧√3 просто возвести их степени в 2 степень? типо получилось бы: 3∧√2∧2 и 2∧√3∧2 , далее 3∧2 и 2∧3, ну а тут все элементарно.
Нет. У тебя не отдельные корни в квадрат возносятся, а выражения целиком: (3∧√2)∧2 и (2∧√3)∧2, т.е 9∧√2 и 4∧√3, что бесполезно... Проще уже в степень √2
@@Kurama.00 , я не про 2∧√3 3∧√2 возводить в 2 степень, а степень этих чисел возводить в степень, я не знаю как корректно это записать, у меня нет такого знака на телефоне, но это по типу 3∧√2∧2, то есть я степень возвожу в степень, это можно делать, но я хз на сколько это корректно в этом моменте и почему так не сделали.
@@Kurama.00 , я не вел речь о выражении по типу: （3∧√2）∧2 Я вел речь о выражении, по типу : 3∧√2∧2 , то есть степень 3 в степени корня из 2 , который находиться во 2 степени.
@@Kurama.00 , на калькуляторе это все работает, я хз почему это применить нельзя
Достаточно обе части возвести в квадрат, получим левая часть больше правой, то есть, 9 больше 8.
Неа, если возвести в квадрат получится 3^(2*√2) V 2^(2*√3), или же 9^√2 V 8^√3
Наслаждаюсь Вашими разборами. Истинное удовольствие. Поступать (мне) никуда не надо, т.к. пенс...))
А можно Вам задачку (с районной олимп прошлого века) Не решил, но до сих пор интересно: определить веса разновесов, чтоб взвесить товары от 1 до 40 кг. Каково мин число их должно быть? спасибо
Вы серьезно? Такие сложные вычисления с производными и логарифмами, оно конечно правильно, но зачем? Мы можем оценить корень из двух с точностью до десятых, простым извлечением корня из 200, что меньше 14, но больше 15. Тоесть по сути нужно как минимум узнать, когда 3^х становится больше 4, спойлер чуть больше, чем при 1.25. Правда когда я это в уме делал я оценивал верхнюю границу, и там совсем просто 3^1.5=^(3/2) это корень из 27, что уже больше чем 5, и только когда я начал писать я понял чтотответ надо подбивать правильно. И кстати я нашел вариант проще, так как нам достаточно, чтобы 3^1.4 было больше 4, а 3^1.4= 3×3^2/5, то по сути нам достаточно чтобы 3×3^2/5 было больше 4, а значит нужно чтобы 9^1/5 было больше 1.(3), или 1.(3)^5 было меньше 9, естественно что 1.(3) возводить в степень не удобно, но можно взять приближенное, которое удобно возводить и которое больше заданного. Опять же самое удобное это 1.5=3/2. 3^5/2^5= 243/32 , да можно и не считать 243 меньше чем 320-32, а так как мы сравниваем с 9, то этого достаточно, чтобы сказать, что 1.5^5 меньше 9, так что 1.(3) ^5 тем более меньше 9, значит 1.(3) меньше 9^1/5, следовательно 4 меньше, чем 3*3^2/5= 3^1.4. Короче даже грубая оценка 3^корень из 2 больше 4
...
Разрешите поинтересоваться: на чем Вы так красиво рисуете?
Красиво
Хотелось бы простого объяснения 😫. Ожидание и реальность
Куда проще. Извлекает квадратные корни из обоих частей. Получим сравнение а^в и в^а где аэто корень из 3 в это корень из 2. Поскольку и в меньше е, а^в>в^а. Левая часть больше. Вот и всё
Люблю коллекционировать разные методы решения одной задачи. 😋 Предлагаю бартер.
Делал так: 3^корень 2 = 3^(1/2) 2^корень 3 = 2^(1/3) Получим: 3^(1/2) v 2^(1/3) Возведем обе части в 6 степень: 3^(1/2 * 6) v 2^(1/3 * 6) 3^3 v 2^2 27 v 4 27 > 4 Ответ: 3^корень 2 > 2^корень 3
Корень из двух= 1,4 где то, тоесть 3 в степени 1.4= примерно 4,2 Корень из трех= где то 1.7 2 в степепени 1.7 даже до 4 не доходит. Вот и все
Легко найти решение графически
Интересно, а если корни в начале сделать в степени х , и решить, с какого х левая часть станет меньше правой...
Как говорится каждый прав в своем роде.Но,я согласен с некоторыми,которые обратили внимание на саму методику решения подобных задач! Сравнительный анализ мощная штучка! Будьте здоровы!
Лучше было рассмотреть задачу: Что больше? e^pi V pi^e. С используемым аппаратом в данном видео. Хотя в интернете уже есть разборы такой проблемы.
Интересно также рассмотреть случай: √3^√2 или √2^√3 хотя по сути тут то же самое)
да. обе части возводим в квадрат и приходим к уже рассмотренной задаче.
Очевидно, первое больше
Но тут лукавит конечно автор ролика ,подставив значение 2 в выведенную функцию. и она неожиданно равняется нулю 😂😂😂❤
А нельзя было расписать корни как степень числа и переумножить? Тип корень из 2 как 2 в степени 1/2?
Всё правильно! С помощью калькулятора проверил
А если обе части возвести в корень из трёх, то с одной стороны 8 то есть 3 в квадрате -1 , а в другой три в степени (произведение коня из двух на произведение корня из трёх, что явно больше двух. ) Получается, что правая часть больше левой даже по двум причинам :)
Этот ответ виден на вскидку, приблизительно, огород городить можно там , где действительно нужно.
Возведи в квадрат обе части, получи ответ.
Вы иногда усложняете простые вещи.Возведите обе части в корень из двух(sqr2),а дальше все упрощается.
Вы когда множили на xln2*2(2^1/2), то в правой части потеряли x. x*(x^1/2)ln2. Или я что-то путаю?
[1/(x^(1/2))]*x=x^1/(x^(1/2). По свойству степеней, при делении показатели степеней вычитаются. То есть х^(1-(1/2))=х^(1/2), что есть квадратный корень из х. Всё верно
5:14 а как же √x ... может я чего-то не знаю но как после умнежения √x оказался вверху?
с какого времени появилась так математика
валерка ,хорошая у тебя птичка ))туда сюда поворочиваетя
Я сразу понял, тут было легко
Ребята, офигенный канал, но на этом ролике я был морально сломлен(
Что больше Е в степени Пи, или Пи в степени Е. Ахахах. Решается аналогичным способом, только проще
Е в степени пи, т.к. у функции x^y=y^x максимум находится в точке числа е
@@user-zy6gn8vz2x это как?
Автор перемудрил на ровном месте. Классный вариант предложен в комментариях. Возведите в степень 6 обе части. И сравните два целых числа 4 и 9. Ежу понятно что больше
если возвести в степень 6, то неравенство примет вид: 3^(6*sqrt(2)) V 2^(6*sqrt(3)) (кстати, хорошее решение привела "Алания Крокодилоа" чуть выше)
Для меня сложновато объяснение Валерия! Возведение в квадрат просто, но без рассуждений! Спасибо!
3^√2≠2^√3 представим, что 2^√32^√34. =>3^√2>2^√3
Ух ты красота какая на 12:10.
Надо было всего лишь возвести обе части в степень √3 и заметить, что √ 6 больше чем корень √ 4, и сразу получить, что 9>8.
Возвести в 6 степень. Основания больше 1 следовательно знак сравнения не поменяется. Приходим к сравнению 3^3 V 2^2 > 9>4 3^(1/2) > 2^(1/3)
( 3^(2^(1/2)) )^6 не равно 3^((1/2)*6)
Было предложено с той же идеей -без ошибки (попадание в 9 и 4 ): Mikhail Tatmyshevskiy 11 месяцев назад Заменяем левую сторону меньшим числом 3^1,4, а правую большим числом 2^1,8. Возводим обе стороны в 5 степень - получаем 3^7 и 2^9. Первое из этих слагаемых, очевидно, больше, т.к. 3^7 > 3^6 = 9^3 > 8^3 =2^9
@@Ymro "( 3^(2^(1/2)) )^6 не равно 3^((1/2)*6) " А и не должно быть равно. Главное знак сравнения не меняется. Хотя конечно это не очевидно, но что-то мне подсказывает. Кроме того делать 3^0.5^6 нельзя так как функция начинает убывать из-за старшего показателя степени. Он меньше 1.
@@user-er1dh1nu9x " что-то мне подсказывает" - но это не математическое обоснование.
Извлечём квадратный корень из обеих частей. Получаем sqrt(3)^sqrt(2) V sqrt(2)^sqrt(3). Получим сравнение вида a^b V b^a. Для решения возведём обе части в степень 1/(ab). Получим два значения функции x^(1/x). Эта функция имеет один максимум в точке e: при xe она убывает. Поскольку и sqrt(2), и sqrt(3) меньше e, то левая часть больше. В принципе, можно почти все эти примеры привести к этой функции и любой такой пример решить в уме, главное привести всё к виду x^(1/x), и посмотреть, с какой стороны мы от e.
Интересно как бы решал этот примерчик Л. Эйлер?
Ответ очевиден, но метода анализа толкова! Всем комментаторам : Принцип жизни - любите не только красивых и умных женщин, музыку, поэзию, прозу, цветы, хорошую пищу, но в первую очередь ---- А Н А Л И З !!!! Спасибо
Вот это математик!!! Просто новый Перельман. Выпишите ему премию срочно.
чем не понятней , тем научней . это как ехать в мосву через пекин или имея спички пытаться добыть огонь палкой о палку .
Сейчас из Украины в Москву лететь через Париж или Вильнюс или Пекин...
Если кому интересно, то такое неравенство можно было решить за пару секунд: чьё основание ближе к e, то и больше(для неравенств вида а^b v b^a)
Очень интересный факт
Факт крутой, но можно было и другими лёгкими способами решить, автор зачем-то усложнил.
Только это надо еще доказать) Кстати, неплохая идея - рассмотреть общий случай, для любого основания.
@@vkarpinsky вроде на blackpenredpen доказывали именно это.
@@JackFastGame , автор делает достаточно подробные разборы, что делает низкий порог для просмотра его видео
Возведение в иррациональную степень - равносильный переход?
Держись доска ,полированной будешь !
В таких случаях помогает калькулятор 😁😁😁
5:41, а почему, когда мы 1/(2*sqrt(2)*sqrt(x)) домножили на x*ln(2)*2*sqrt(2), у вас получилось НЕ (x*ln(2))/sqrt(x), а sqrt(x)*ln(2)?
Потому что это одно и тоже