Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул | Ботай со мной
#БотайСоМной #007
Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул
Борис Трушин объясняет как научиться понимать и чувствовать тригонометрические формулы.
Заявки на следующие ролики: youtubetrushin.reformal.ru/
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: vk.com/ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: vk.com/trushinbvru
Личная страница: vk.com/trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
KZhead-канал: / trushinbv
_Медиана, биссектриса..._ _Дело мастера Бориса!_
Спасибо огромное вам, Борис. Решил восполнить пробелы в образовании, и в 25 лет внезапно для себя полюбил математику) Благодаря вашим роликам я смог понять вещи, которые для меня были самым настоящим темным лесом). Желаю вам удачи в вашем благородном деле!)
Борис! Хвала и благодарность за Ваши уроки, где Вы с таким упоением объясняете Законы Тригонометрии😊 И излучаете замечательную энергетику!
Спасибо огромное! От такой тригонометрии получаешь одно удовольствие!
Тогда посмотрите еще это: kzhead.info/sun/oqh7fK55ZIR6lnA/bejne.html
@@trushinbv что-то не очевидное ты тут пишешь kzhead.info/sun/ZNJwo5qXjayip6s/bejne.html Складываем исходя из нижнего графика, и, получается, что cos(a-b)-1 это некая разница по оси х? Где же она изображена. Sin(a-b) судя по графику и есть L, но, судя по формуле - эта некая гипотенуза, где синус - это прилежащий катет, а противолежащий - это та самая разница по оси х. Где же этот график? Где недостающий треугольник справа?
@@allbirths Есть две точки: (1; 0) и (cos(b-a); sin(b-a)). Мы пишем квадрат расстояния между ними.
@@trushinbv а на графике это где там, не видно же, это же гипотенуза вправо, так?
Вау! Спасибо огромное! Особенно за последнюю геометрическую интерпретацию! Теперь, вместо того, чтобы вспоминать эти формулы, боясь ошибиться, я просто буду их выводить за 2 минуты. Ещё раз большое спасибо!
Я всегда любил математику. Но тригонометрию не понимал. В 39 лет посмотрел ваши видео - да насколько же это все просто! Большое спасибо за наглядность и простоту изложения!
Борис Викторович, благодарю Вас за это видео и вообще за Ваш труд в целом!!
Поистине отличный подход к объяснению таких с первого взгляда непонятных конструкций.
Спасибо. Попробую посмотреть это видео ещё раз. Хочу заметить, что Ваши уроки просто великолепны!
Спасибо! Супер урок
Очень прошу вас создать отдельный курс лекций на тему Истории математики в том плане, откуда всё появилось и как тот или иной ученый дошел до того или иного открытия, это очень интересно! Спасибо вам огромное за ваш труд!
Хорошо, что существует такие полезные видео, спасибо
Спасибо большое.Очень понятное и классное объяснение.
Мне одной картинки напомнили доказательство теоремы Пифагора
Очень понравилось. Спасибо :)
Привет спасибо за ролик. Надеюсь я поступлю.
Спасибо огромное.
Пришлось редактировать комментарий Борис, с 10 раза я поняла как отрезок может быть равен таким значениям Низкий поклон вам за труд
Объясни пожалуйста
я выше написал свои замечания
а углу = там просто надо мысленно стороны приблизить и будут треугольники подобные.а в последнем случае он из 180 градусов -прямой линии уже отнимал 90-a+90+x=180 отсюда х=а
Отлично! Красиво! Наглядно! Понятно! Я эти формулы выводила для развлечения из окружности диаметром 1 и теоремы Птолемея для вписанного четырехугольника. Спасибо за пример с параллелограммом!♥️
красота!
А я молюсь на тригонометрию. Работа у меня такая. Лайк однозначно!
Вы гений, спасибо
Так наглядно, даже восхищает! В школе нам выводили без L², а как-то совсем аналитически. Давно это было
Настоящая магия! Выверенная система.
Подобным образом можно также доказать формулу суммы тангенсов. Построим прямоугольный треугольник с катетом длины 1 и прилежащим острым углом α. В другой относительно катета полуплоскости построим другой прямоугольный треугольник с тем же катетом и прилежащим острым углом β. Противолежащие катеты треугольников тогда равны, соответственно, tg α и tg β. Образовался большой треугольник, удвоенная площадь которого равна произведению основания (которое равно tg α + tg β) на высоту (которая равна 1). Она же равна произведению двух других сторон (это гипотенузы двух прямоугольных треугольников, равные, соответственно, 1 / cos α и 1 / cos β) на синус угла между ними (который равен α + β). Отсюда tg α + tg β = sin (α + β) / (cos α * cos β). Из этой формулы элементарными преобразованиями можно вывести формулу для синуса суммы.
После второго просмотра нюансы стали понятны. Школьникам одного предъявления будет недостаточно, но всё же..... Восторг, что от того, что теперь не буду страдать забывчивости формул суммы и разности аргументов синуса или косинуса. Квадрат в любой момент наваять смогу.
Вау! 👏
👍
Хорошее доказательство, даже без скалярного произведения
Последнее доказательство про четверть круга - самое крутое. Вариация Пифагора тоже хороша, было бы удивительно, если бы она не прокатила, на Пифагоре построенв вся тригонометрия.
Я не понял, почему длительность ролика из плейлиста не соответствует реальной длительности ролика?
Математика вообще простая наука как жизнь, потому что она и есть жизнь.
Борис Викторович,на 2:40 почему (cos b-cos a)^2?Ведь cos b
Так если результат не изменится, то в чём ваш вопрос? Сами же сказали, что все равно получим тот же ответ.
Хочу подобное для тангенсов! Эх, мне бы такого учителя по математике, ВсОШ была бы для меня просто разминкой) Спасибо большое!
ВикTOR Сиденко не была бы. ВсОШ совсем на другом уровне. Там не просто нужно знать и понимать все формулы, а креативно, нестандартно их применять.
Здравствуйте, Борис. Живущий внутри данного прямоугольника параллелограмм (каждая сторона которого по единичке), - это единичный квадратик, поскольку сумма углов альфа и бета составляет прямой угол. В принципе, из этих двух картинок с прямоугольником (если бы Вы рассмотрели не единичный, а произвольный квадрат со стороной С), применив тот же приём (с равными площадями) ещё и теорема Пифагора сразу появляется - я бы даже начал именно с неё, а затем, как бонус, выразив катеты одного из этих четырёх равных треугольников, через гипотенузу и синусы (косинусы) острых углов соответствующего треугольника, получил бы формулу для синуса суммы этих острых углов. Но, это дело вкуса. Спасибо Вам за Ваши замечательные видеоролики!
"это единичный квадратик, поскольку сумма углов альфа и бета составляет прямой угол." -- ну нет жеж. сумма любая. а потому он ромб а не квадрат.
@@MetaDriver33 не ромб, а параллелограмм
Мне кажется, косинус разности можно вывести еще проще - просто расписать двумя способами скалярное произведение двух единичных векторов с углами альфа и бета. Можно так?
Объясните пожалуйста, почему площаль параллелограма = sin(a+b), и как начиная с 10:41 вы находите углы и отрезки прямоугольника
По формуле a²*sin(a+b)
Площадь параллелограмма это ab*sin(c), где a,b две стороны и c - угол между ними. Вы наверное лучше знаете (1/2)ab*sin(c) для треугольника. Но треугольник и есть половина параллелограмма.
К сожалению, последнее преобразование на четверти окружности так и не смог понять. Не понял, как появились произведения... могли бы объяснить?🙄🙏
Почему вы говорили что это тяжело доказывается?
А как вы нашли стороны треугольников (9:20)
Там же прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 1, и известным острым углом.
Как хорошо, что Котов доказал мне формулы суммы и разности синуса и косинуса, ну и за ОДЗ спасибо, кто знает, тот поймет, но тебе тоже спасибо.
7:24 у это четырёх угольника все сторону =1 , значит это ромб ?
да
понятия не имею, что такое катеты и гипотенузы - забыл. для меня тригонометрические функции - это просто операторы для трансляции координат полярной системы в прямоугольную и обратно. а где система координат - там векторы, в/функции и операции над ними. можно ли считать, что вся тригонометрия - это "просто" векторная алгебра с координатами, часто выраженными через "трансляторы" систем - sin, cos ...?
Где вы научились таким способам доказывать данные утверждения ? Да и не только их, этот вопрос можно задать практически к любому видео на вашем канале. В школе был хороший учитель или на физтехе давали настолько фундаментальные знания ? Очень хочу научиться также понимать и свободно доказывать любой факт.
Сложно сказать. Никто меня этому особо не учил. Просто сказывается 20-летний опыт преподавания )
@@trushinbv огромное спасибо за ответ
все классно, но тихо
Ничего не понял. Сохранил, посмотрю еще раз с листочком...
на 12: 20 никак не могу дорубиться почему там стороны треугольника например нижний треугольник не синус альфа делить на косинус бетта и также не косинус альфа делить на косинус бетта а умножить вместо этого...
а все понял извиняюсь простейшая пропорция
Не проще ли через exp(i*fi), ф-лу Эйлера?
Алекс Dylan А формулу Эйлера вы как доказываете? )
@@trushinbv я не в смысле доказательности, а в смысле запоминабельности. В этом смысле школьнику средних способностей проще запомнить Эйлера, чем любое их ваших, пусть и красивых, доказательств.
как-то в школе было проще). видимо я тогда ни хрена не понимал))
В принципе, можно сжать до одной формулы exp(i * x) = cos x + i * sin x. Все остальное легко выводится.
Все не так просто. Чтобы вывести эту формулу нужно знать разложения в ряд Маклорена синуса и косинуса, для этого нужно вывести их производные, а для вывода производных нужно знать формулы, которые я обсуждаю в этом видео. Но, да. Если вы все это уже проделали и хорошо владеете комплексными числами, то можно все формулы вспоминать при помощи этого факта. Это это видео для 9-11 класса, а они в основном ничего не знают про комплексные числа, производные и ряды )
Печаль, коли так. Лет двадцать назад десятые и одиннадцатые классы умели хотя бы по минимуму работать с комплексными числами. Без них в тригонометрии вообще никуда, приходится тупо все заучивать. А вот анализ тут не обязателен. Можно смухлевать, постулируя свойства комплексной экспоненты по аналогии со свойствами действительной (все равно это так).
Смухлевать можно, но откуда возьмется равенство "exp(i * x) = cos x + i * sin x"? Или предлагается взять его в качестве определения и поверить, что все свойства работают? Так можно, конечно, по это какая-то "игра в напёрстки", -- "давайте поверим, что". Это не очень здорово )
>> Смухлевать можно, но откуда возьмется равенство "exp(i * x) = cos x + i * sin x"? Или предлагается взять его в качестве определения Хм, но ведь я с этого начал. Просто в качестве аксиомы! Можно сказать, что вот эта конкретная формула и есть вся тригонометрия. А добавить придется не так уж много: 1) Exp(a)*Exp(b) = Exp(a+b), 2) i*i = -1, 3) cos x - четная, sin x - нечетная функции.
Но так вообще не будет понимания откуда берутся тригонометрические формулы. Если считать, что они берутся из чего-то, что мы не обосновываем, а просто верим.
Интересное дело. В списке "Смотреть позже" этот ролик выглядит как 1-минутный, а на деле их все 14. То же самое было с другим Бориным роликом 5-летней давности. Что за дела?
Это какой-то глюк ютуба. У многих старых роликов такой эффект
@@trushinbv это они заманивают на просмотр, типа тут не долго, расслабишься. А потом БАЦ и синусы с косинусами!
8:38 почему тот угол a+b? не понимаю:(
понял. 90-b+90-a+x=180 ---> x=a+b
Ну а я, пытаясь ответить себе на тот же вопрос, провёл через этот угол прямую, параллельную основаниям, и получил через внутренние накрест лежащие нижнюю часть угла альфа, а верхнюю бета, а значит весь угол равный альфа плюс бета.
Добрый день, Борис! Вероятно, мой вопрос об отрицательном основании логарифма полная глупость, поскольку я от Вас больше никакого ответа, кроме ссылки на линк, который мне, к сожалению, не помог, не получил. Сожалею, что вынудил Вас прочитать мой вопрос...
Дело в том, что логарифм -- это функция, обратная к показательной. А та определяется только для положительный оснований. Иначе будут такие казусы как -2 = (-8)^1/3 = (-8)^2/6 = 64^1/6 = 2. Об этом и речь в том видео.
скажем так. Еще более эффектно формула выводится перемножением простых матриц поворота. Школяры одновременно увидят преобразования координат и простые матрицы 2х2 и формулы для суммы аргументов.
Только сначала нужно будет рассказать, как умножать матрицу на вектор, потом доказать, что матрица поворота выглядит именно так, потом еще пару слов сказать о том, почему композиция поворотов задается произведением матриц (а перед этим рассказать, как это произведение определяется). Тут материала на пару часов )
@@trushinbv это если строго доказывать. И на самом деле в разы меньше, ибо не строгая теория нужна а простой пример матриц 2х2.
@@barackobama2910 а как вы обосновываете то, что матрица поворота задает именно поворот? Я бы это делал через полярные координаты и как раз таки формулы синуса/косинуса суммы
@@trushinbv я бы определил матрицу как поворот. Показал бы как меняются при повороте осей координаты вектора, затем записал бы это в виде матрицы 2х2 и сказал что это форма записи процесса поворота. А потом сделал бы два последовательных поворота. Все это в физматшколе можно связать с понятием "группы вращений", в обычной школе -не надо.
@@barackobama2910 "сказал что это форма записи процесса поворота" -- а откуда это следует? Это же первый вопрос, который зададут ученики
Почему вы такой Бох
очень похоже пифагоровы штаны!
Второе доказательство это апнутое доказательство теоремы Пифагора
11:32 почему?
Знаю, что поздно, но, возможно, кому-то еще поможет. Допустим, что противолежащий углу альфа катет A, значит синус альфа = A / косинус бета, из этого находим А = синус альфа * косинус бета
Самый лёгкий способ запомнить формулы косинуса/синуса суммы: (cos(α) + i sin(α)) (cos(β) + i sin(β)) =: С одной стороны: cos(α + β) + i sin(α + β) (при умножении комлексных чисел их аргументы складываются) С другой стороны: cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β) + i (sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)) (по i² = -1 и по дистрибутивности и т.п. в комплексных числах)
Это «легко» тем, кто уже хорошо комплексными числами владеет. А чтобы доказать, что аргументы складываются, нужно и тригонометрию уже хорошо знать )
не, ну это очень круто) не нравится
Не нравится?(
Верните в школу комплексные числа, хотя бы на уровне формулы Эйлера, и все увидят, насколько это простые соотношения! А так школьников скорее еще больше напугать можно.. Хотя, может быть хитрый план в том, что бы остались не пугливые?
А какое доказательство формулы Эйлера вы хотели бы давать школьникам?
@@trushinbv а вот не знаю, если честно. Один из немногих вопросов, по которому я не могу сразу рекомендовать Туманова (сейчас просто не потянут). Наверное все же Муавра по индукции, а дальше через предел.. и историчность какая то сохранится.. Но можно дать саму формулу пораньше, а доказательство оставить "на потом", как и с Основной Теоремой Арифметеки. Понятно, что злоупотреблять таким подходом нельзя, но очень уж они полезны.. тем более, что при таком подходе (из Эйлера выводить и Муавра и тригонометрию) - то все сразу становится очень легко, и можно многие вещи давать заметно раньше.. ) Вообще, мне Ваше мнение по данному вопросу интерено, я сам идеального решения не вижу (