Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса | матан
Математический анализ 010
Предел монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса
Мини-курс для старшеклассников и студентов "Предел последовательности": foxford.ru/courses/1008/landi...
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/library/courses?re...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: vk.com/ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: vk.com/trushinbvru
Личная страница: vk.com/trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZhead-канал: / trushinbv
Математический анализ 010 Предел монотонной последовательности Теорема Вейерштрасса Мини-курс для старшеклассников и студентов "Предел последовательности": foxford.ru/courses/1008/landing?ref=p308_yt&
@Dobret Reinhard, теперь уже доступен )
Урааа, миллион видео с этими последовательностями, и я наконец-то осознал, как это доказывается) Спасибо Вам большое
готовлюсь к экзаменам по математике в Карловом университете, смотря Бориса Трушина, и радуюсь жизни (поступила, смотря видео Бориса Трушина)
Я тоже и твой комментарий вышел мне первым, я в шоке с такого совпадения
я не в Карловом, конечно, но тоже из чешского сквада. Нас всех только русские математики и спасают))
О чем это говорит?) О том что чешское образование объективно г*вно.
@@spinnofferr ПХАХАП объективненько) в Чехии в любом случае перспективнее учиться, так что не переживай
@@evanovakova7748 я и не переживаю) Просто не понимаю людей которые уезжают учиться в другую далеко не самую лучшую для учёбы страну с какими-то размытыми понятиями перспективности. Вуз не самый плохой, но даже тот же МГУ и СПбГУ будут гораздо полезнее и лучше в плане знаний, тем более если чешский для тебя не родной (хотя тут хз для твоего случая родной он или нет). Я бы понял если бы ты училась в топовом ВУЗе условно Великобритании или Германии. Их образовательные программы действительно могут уделать Российские, но не Чешские.
Это конечно гениально! Не ну я с такой концепцией никогда не сталкивался ничего подобного в жизни не видел. Это гениально конечно.
Этому по-любому есть какое-то объяснение, какая-нибудь научная статья есть об этом.
Добрый день, Борис! Спасибо Вам огромное за Вашу работу, за интересно, грамотно и понятно построенные объяснения, за возможность с Вашей помощью сохранять работоспособность и продолжать учиться! Спасибо!
Ура 🙌 Новое видео от любимого ютубера
Можно было в конце не ссылаться на экспоненту , а сказать даже , что по неравенству Берунлли (1+1/n)^n точно >=2 , а тогда мы делим 1 на число больше двух и получаем точно не единичку , вот и противоречие без условностей
Великий учитель. Спасибо за такую помощь перед первым курсом фивта.)
Теперь понятно откуда взялся признак Даламбера для сходимости ряда) Спасибо, Борис!
Спасибо за подробное объяснение мат.анализа!
Спасибо большое. Желаю успеха
Изучая Big O Notation, как-то интуитивно пытался понимать, какие функции быстрее растут. Теперь все стало ясно. Спасибо!
О символика?
Довольно красивый факт, что на бесконечности последнее отношение x(n+1)/x(n) составляет 1/e
А теорему Штольца тут использовать будет удобнее или нет? Видео, как и его ведущий, доходчивое, лаконичное, хорошо обоснованно. Борис Викторович, вы, как обычно, на высоте.
Я бы назвал последовательность неубывающей
Очень хочется увидеть следующее видео про e
гениально!
Обожаю матан
спасибо за видео
Ура, пределы. Мат анализ
Спасибо!
При доказательстве сходимости монотонной ограниченной последовательности мы заявили, что у неё есть верхняя граница. Технически-говоря, это неочевидно. Я бы явно упомянул эту теорему, которую мы доказали в Матан #002.
Теория пределов это краеугольный камень всего матана. Если понять как доказываются все эти теоремы Болцано-Вейрштрассе, то дальше как по маслу. Мне в свое время так и не удалось до конца постичь эту магию, а вот интегралы щелкал как орешки. 40 лет вожу с собой по разным странам трехтомник Фихтегольца, но осилить не смог именно первый том. Кстати, там теория пределов дается с сечениями Дедекинда. Немного другой подход.
Классный легенький роллик)
Здарвствуйте Борис, меня зовут Тимур и я учусь на факультете прикладной математики. Все те пределы, которые вы нам объясняли с помощью критерия огрантченночти и монотонности нам нужно было доказать без этого критерия(спомощью неравенств). У меня получились очень даже элегантные доказательства. Если вы хотите, то я могу их вам прислать. С наилучшими пожеланиями, Тимур.
Что же остановило от публикации прямо здесь в комментах или где-то в блоге с размещением здесь ссылки? Что значит "с помощью неравенств" - не очень понятно. Тут тоже всё с помощью неравенств)
Какие же велике люди в математике имеют немецкое наследие).
видео выходят не раз в неделю! Это говорит вам человек из 2024! в факториале))
Жаль нельзя с одного аккаунта вам 1000^1000 лукосов поставить
можешь, но это будет тоже самое, что и ничего)
@@prinimaushaya_storona чётное число лукасов=ничего)
Финал видео покруче чем финал мстителей
Ждём Тейлора
здравствуйте, помогите пожалуйста понять, почему , если а является точной верхней гранью, то почему получается так, что элементы последовательности могут быть больше а? как говорится в видео х(n) принадлежит епсилон окрестности точки а. ведь элементы последовательности не должны быть больше sup.
Если последовательность монотонна, то не должны быть больше. А вообще некоторые члены могут превышать, но рано или поздно все последующие члены начнуть бесконечно стремиться к пределу
Если кому интересно, то 1.01^n будет больше, чем n^1000 начиная с n = 1423969. Не считая отдельного кейса n=1, конечно же :)
Как искали это? Доверили нахождение компьютеру?
Тогда чему равно 1,01^1423969?
Ничего не понятно,но интересно
Не разрушает ли понятие эпсилон-окресности условие супремума если она перешагнула за супремум вправо? Ведь по условию "а" это Как бы граница этой последовательности. Если Хneps принадлежит правой части окресности, то "а" не супремум.
Последовательность возрастающая же, значит и через sup не перейдёт, как я понял
Кстати, это sup ограничивает последовательность, а не наоборот. Она по условию не может через него перейти
Борис, а на 6:08 вы говорите о том, что а является пределом последовательности. А можно ли утверждать что односторонним пределом? ведь если а - супремум, то за ним членов этой последовательности быть не должно, следовательно, последовательность стремится к а с одной стороны.
Нельзя. Вы всё перепутали. Существование одностороннего предела в точке ( ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB ) - это свойство вещественнозначной функции (т.е. определённой на R), а не последовательности (т.е. функции определённой на N), и является модификацией понятия предела вещественнозначной функции в точке. К тому же про односторонний предел говорят, когда к некоторому значению с одно стороны приближается аргумент функции, а не её значение. В некотором смысле предел последовательности при стремлении n к бесконечности - это всегда односторонний предел, т.к. аргумент (n) стремится к предельной точке (к бесконечности) только с одной стороны (слева), т.к. ничего правее плюс бесконечности в "R с чертой" нет
НАКОНЕЦ ТО КТО ТО НОРМАЛЬНО ДОКАЖЕТ 2ОЙ ПРЕДЕЛ,ОЧЕНЬ ЖДУ)
А что в нём надо доказывать?
Если последовательность монотонно убывает, но отношение x(n+1)/x(n) стремится к 1 при очень больших n, то предел x(n) может стремиться к числу, не равному 0. Я правильно понимаю?
Всё верно. Например x[n] = (1/n + a). Предел, очевидно a. При этом очевидно убывает (проще рассмотреть разность x[n+1] - x[n] = -1/(n*(n+1)) < 0), а отношение x[n+1]/x[n] стремится к единице снизу
@@anton0xf Спасибо.
годнота
Что то я не понял с самого начала. Если мы отступили от точки а влево на число меньше целого а а совпало с точкой где лежит какой то элемент последовательности. То между a и этим отступом не появится член последовательности, так как этот отступ не дотянется до ближайшего соседа слева, так как n у нас натуральное число.
n - целое, а члены последовательности не обязательно, причем мы же говорили о последовательностях у которых есть предел.
@@qBinom А что тогда делает n если не определяет отступ между соседями?
@@alexandersedykh9280 порядковый номер.
@@qBinom Спасибо. А мы можем узнать, какое будет значение у члена последовательности, порядковый номер которого на один больший или меньший от a? (то есть следующего или предыдущего)
@@alexandersedykh9280 а это предел?
Этому человеку пора ставить памятник
Без угроз пожалуйста.
Снова матан)
очень постараюсь, чтобы он выходил раз в неделю
@@trushinbv еще еще еще еще
Но вот вопрос: на всякой ли последовательности вообще можно задать отношение частичного порядка. Вот это для меня, например, совершенно не очевидно.
Разрешите вопрос по 16:20. Вот мы узнали, что в числителе число близкое к единице, которое возводиться в степень k. А точно ли результат возведения в степень k будет близким к единице? Просто такое дело, я попробовал в калькуляторе близкое к единице число возвести в очень большую степень, и результат получился гораздо больше единицы. Например, 1,00000001 ^ 1000000000 = 22026,4646...
Дело в том, что ты все равно возводишь это число в некую фиксированную степень, пусть она и огромна. Но само возводимое число уменьшается с каждым членом последовательности, и рано или поздно оно станет настолько маленьким, что будет очень близко к единице, в какую бы огромную степень ты его не возводил, ведь эта степень неизменна.
ну, делимое - это отношение n + 1 к n в k-той степени допустим, на каком-то n (n+1) / n равно 1,00000001 и k = 1000000000 окей бежим по последовательности вперед ещё сколько-то n и получаем отношение не 1,00000001 а 1,00000000000000000000000000000000000000000000000001, чем дальше бежим, тем ещё больше нуликов появляется, и рано или поздно эта штука в 1000000000 степени станет очень маленькой, т.е. всё равно стремится к 1) просто чем больше k, тем позже это наступит
можно строго указать, когда ((n + 1)/n)^k станет меньше q. Рассмотрим неравенство (с пока неизвестным знаком) "((n + 1)/n)^k ? q"; т.к. обе части больше 0, то можно подействовать на неравенство логарифмом с сохранением знака; получим "k*ln((n+1)/n) ? ln(q)"; если перенести k вправо, подействовать экспонентой и ещё немного переписать, то получим неравенство с тем же знаком: "1/(exp(ln(q)/k) - 1) ? n", в котором слева стоит некоторая положительная (несложно проверить, что это так) константа, а справа n, которое у нас стремится к бесконечности, так что начиная с "n = [1/(exp(ln(q)/k) - 1)] + 1" в неравенстве всегда будет знак "
Подскажите пожалуйста почему нельзя считать предел (1-1/n)^n=1 ведь 1/n стремится к нулю?
Предел такой последовательности не равен 1, он равен 1/е ≈ 0,37
Борис разберите пожалуйста вот эту задачу:В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA. а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S. б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM. Пункт б интересует очень сильно)
а) Построим сечение. Т.к. сечение || SA, то построим прямые KF и ML || SA соответственно в плоскостях SAB и SAC. KLMF - искомое сечение. В плоскости SAB прямые SA и KF параллельны, а значит по теореме Фалеса делят стороны на пропорциональные отрезки (можно из подобия треугольников SAB и KFB). Тогда AK/KB=SF/FB=2:7. Доказано. б) Проведём высоту BH в (SBA). Т.к. тр-к SBA= тр-к SCA по 3 сторонам, то CH=BH. Значит, (CBH) перпендикулярна SA. Проведём высоту HH1 в равнобедренном тр-ке HBC. Она попадёт в середину BC (как медиана). HH1 перпендикулярен BC, а значит и FM (FM || BC). Т.к. HH1 перпендикулярен SA(плоскость HBC перпендикулярна SA, значит, любая прямая этой плоскости перпендикулярна SA), FM и KF (KF || SA), поэтому он их общий перпендикуляр. Пусть HH1 пересекает плоскость сечения в точке О. Тогда ОН - искомое расстояние. Пусть BH пересекает КF в точке N, а СН пересекает ML в точке Р. Треугольник HNP подобен треугольнику HBC, исходя из подобия пар треугольников SBA~BFK и SCA~CML. Коэффициент подобия равен 2/9, т.к. k=HN/NB=HP/PC. Значит OH=2/9HH1, HH1^2=BH^2-BH1^2 по теореме Пифагора, BH найдём, например, через площадь и Герона. Площадь ABS=90*sqrt(7), BH=30*sqrt(7), HH1=3/2*sqrt(2791), OH=1/3*sqrt(2791). Вроде, так, но не уверен насчёт б). Число не очень нравится...
Здравствуйте Борис У Вас нет в планах сделать курс по высшей математике для студентов технических/физических вузов
+++++
Топ 10 аниме битв
БОРИИС, кажется я влюбился!!!
А вот blackpenredpen вот тут kzhead.info/sun/a52dZcpwjoecZJE/bejne.html утверждает, что последний предел ни разу не 1/e, а ровно 0. Причём вычисляет он там предел не просто n!/(n^n), а (n!/(n^n))^(1/n), т.е. в последнем пределе из этого видео их "подпредельного" выражения ещё и корень степени n берётся, но получается, минуточку, 1/e. Что-то тут не так... В интернете кто-то не прав?
Так предел n!/n^n и есть 0. И это на доске в конце написано. Другое дело отношение Хn+1 и Хn стремится к 1/е, т.е. при больших n каждый следующий член последовательности в 2.71 раза меньше предыдущего.
а есть плейлист со всеми видел по мат. анализу?
Есть
Не совсем относится к данному видео, но заметил только сейчас, что мы в прошлом и позапрошлом видео уже использовали корень n-й степени из числа, хотя вообще непонятно, почему он существует. В школе нам сказали -- мы верим, но по факту это совсем не очевидно
Да-да, мы про это чуть позже подробнее поговорим )
@@trushinbv Когда же?
@@altfq5237 голосуй ) www.donationalerts.com/r/boristrushin
Где n, k и q, числитель стремится не к 1, а к е: пусть n и k, бесконечно большие числа, которые можно приравнять, тогда в числителе мы получим предел, который равен не 1, а е (2 замечательный предел)
k - фиксированное число, а n - нет.
@@Z1gurD если взять q чуть больше 1 и бесконечно большое k, то результат будет другой
@@user-rh3ev6ed3g k - не бесконечно большое число. k это просто какое-то число, пусть и возьмем какое-то огромное. Ну а n уйдет от него гораздо дальше. n в какой-то момент будет k+1...2k...k^k...
А вот ln(n^n)/ln(n!) такое чувство, что идут к 1
Забавно, но походу максимальное значение X в выражении "Корень из X от X" тоже равен e, то есть ""Корень из X от X" равен корню из е Не знаю, как доказать.
Возьмите производную и найдите ее нуль
@@trushinbv Ну-ка, попробую, спасибо :)
@@trushinbv Получается, что при производной, равной 0, dx/x = 1, а это верно только для "е". То есть максимум х это е, а максимум функции - корень степени е из е Несколько коряво на бумаге, но вроде понятно. Интересная штука, потому что нагуглить по этому вопросу чё-то сходу не вышло. Не хотите стать первопроходцем с десятиминутным видосиком по этой теме?) UPD: Ln(x) = 1 -> x = e
Евгений Сорокин Про это есть в видео «что больше е^п или п^е»
@@trushinbv принято)
А n это натуральное число?
да
(1 + 1/n)^n >= 2 по нер-ву Бернулли, значит 1 / (1+1/n)^n
Факультет: Математика и компьютерные науки . Хороший выбор?
Главное чтобы тебе нравился
смотря в каком универе
@@nikitabobyshew7927 средний грубо говоря
@@Matissed двфу? Я вот заканчиваю как раз специальность эту тут
@@nikitabobyshew7927 и как в целом ? сложно учится и есть польза?
Борис, здравствуйте! Можете, пожалуйста, объяснить, почему в 6:00 все значения последовательности будут лежать в эпсилон окрестности? Ведь тогда получается, что члены последовательности могут быть больше чем а, ведь в окрестность входят значения от. а-эпсилон до а+эпсилон, это же противоречит определению супремума
Если они лежат в (а-е; а), то они тем более лежат в (а-е; а+е)
@@trushinbv Спасибо вам большое! До меня дошло, я что-то немного затупил с этим моментом
Здравствуйте Борис,подскажите пожалуйста, если мы возьмем последовательность 1/n и 1/n+1.Найдем их отношение и увидем что оно стремится к 1,но предел каждой из последовательности равен 0 ,не "а".Почему так происходит?Заранее благодарю за ответ.
Добрый день! Спасибо большое за ваши видео! Скажите пожалуйста, зачем мы в последнем доказательстве переходим ко 2-му замечательному пределу, ведь мы можем сократить (n+1)^1 / (n+1)^(n+1) и получим (n+1)^(-n); тогда в числителе n^n, в знаменателе (n+1)^n; и тогда числитель всегда меньше знаменателя при любом n -> Дробь всегда меньше 1, что нам и требовалось получить
На нужно доказать, что она меньше некоторого числа, которое меньше 1
kzhead.info/sun/lLBqZJmZnphqaqs/bejne.html не поняла способ деления😳
. Благодарю; Читайте антроподофия Р. Штайнера и все в жизни прояснится.....
Какая практическая ценность и жизненная необходимость этого знания для старшеклассников / студентов без умственного склада и интереса математике? В особенности для студентов-гуманитариев, например, для политологов и историков? Да и для жизни и работы всех тех, кто после вуза НЕ преподаёт математику и физику, не работает в оставшихся НИИ. Даже для тех, кто собирает и продаёт технику.
Это видео для студентов, которые учатся в технических вузах )
@@trushinbv , но тем не менее это преподают и/или преподавали в целом ряде довольно крупных и известных вузов РФ как раз на гуманитарных факультетах.
На самом деле интересно было бы в видео показать при каком n степенная функция больше чем n^1000
В комментах пишут что примерно с 1.5 миллиона
По поводу 1/( (1 + 1/n)^n) - если кому-то интересно (и этого никто не писал ранее), то, как мне кажется, можно и без знания предела (1 + 1/n)^n доказать с помощью неравенства Бернулли А именно: - (1 + 1/n)^n >= 1 + n(1/n) - (1 + 1/n)^n >= 1 + 1 = 2 - 1/2 < 1, следовательно - 1/( (1 + 1/n)^n)
Вы в видео указали, что "а"=бесконечности, то есть присвоили "а" какое-то число, но бесконечность не является числом. Ошибочка так сказать.
15:50 как мы получили эту дробь?!?? У меня не хватает мозгов что бы так поделить
Не понятно доказательство того что пределы отношений стремятся именно к нулю. Ну да, отношение n-ого и (n+1) -ого элементов последовательности стремятся к 1/q, но почему из этого следует что последовательность стремится именно к нулю? А то что отношение пределов одной и той же последовательности, описанной через две формулы, в которых указаны просто два разных элемента последовательности, стремятся к разным числам вообще вызывает сомнения в том что обсуждается не мат. шутка в духе 1 = 2. Прошу, объясните
Посмотрел все видео, но ничего про вейерштрасса не услышал :\
А как можно наглядно доказать, что 1,01^n>n^1000 при больших n, а то совсем не верится.
Длинные видео не хочется смотреть
Это ещё короткие ) В вузе лекции по полтора часа минимум
@@trushinbv знаю, я учусь в ВУЗе, 1 курс, просто время стараюсь экономить
@@trushinbv скажите, пожалуйста, если учить доказательства теорем и прочий материал с осознанием его, со временем придёт способность доказывать какие-то вещи, не напрямую связанные с изученным?