Vidéo présentant 3 petites curiosités mathématiques sympathiques ! C'est la dernière vidéo de l'année probablement et je serais content d'avoir vos retours concernant 2022 dans les commentaires, je lirais tout ça attentivement en accrochant des guirlandes sur le sapin !
Lien site pour nœud de cravate aléatoire : tieknots.how/ties.html
Lien ArXiv de l'article sur les noeuds de cravate : arxiv.org/abs/1401.8242
Mail pour toute requête particulière : axelarno@yahoo.fr
Tu peux venir discuter avec moi sur Insta, ce sera avec grand plaisir : / axel.arno
Lien du Discord communautaire : / discord
Lien Twitter maudit : twitter.com/OOC_Axelarno?s=20...
Lien Tipeee créé à la demande de plusieurs personnes : fr.tipeee.com/axel-arno
Pour tout contact Instagram est à privilégier, je suis sûr de voir tout type de requête sans que vous ne soyez noyé dans les commentaires dont les notifications ne me parviennent pas nécessairement !
ERRATUM : Pour la démonstration du fait 1 je suppose à tort l'indépendance des évènements, ce n'est évidemment pas le cas ! C'est une maladresse de ma part. La démonstration aboutit au bon résultat car la dépendance est très faible si on devait la quantifier, MAIS ELLE EST QUAND MÊME PRÉSENTE ET CERTAINEMENT PAS À NÉGLIGER ! La véritable démonstration est la suivante : Soit P(n) la probabilité que parmi un groupe de n personnes aucunes n'aient le même anniversaire. On a P(n) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles • Nombre de cas possibles = 365^n • Nombre de cas favorables = arrangement de n parmi 365 personnes = 365×364×...×(365-n+1) = 365/(365-n)! Après calcul vous avez donc P(n) = 365!/(365^n × (365-n)!), et calculer P(23) donne 49,27% Donc la probabilité qu'au moins deux personnes soient nées le même jour est de 50,73% Merci à ceux qui ont signalé l'impardonnable coquille !
Yep 😉 Sinon à 1:43, en écoutant avant et même après, il n'est pas clair du tout que tu réfutes l'affirmation "j'ai une chance sur deux que l'une des 22 autres personnes de la pièce ait le même jour de naissance que moi" (qui est évidemment fausse car ton observation se fixe sur l'une des 23 personnes : toi même). Pas évident même en écoutant l'enchainement que tu réfutes ceci
J'ajouterais qu'au delà de 365 personnes il est clair que deux personnes soient nées le même jour de par le principe des tiroirs. Effectivement vous allez d'un ensemble à plus de 365 personnes dans un ensemble à 365 dates, necessairement au moins une date aura deux antécédents par la fonction "anniversaire", i.e deux personnes nées à la même date. Sur le même principe vous pouvez montrer qu'au moins deux personnes ont le même nombre de cheveux à Paris ! 10M d'habitants, au maximum 200.000 cheveux sur une tête, il est clair qu'on aura plusieurs antécédents pour au moins une image (et de toutes façons y a certainement au moins deux chauves à Paris !)
@@Axel_Arno 366, il y a aussi le 29 février
C'est sur ça que j'avais préparé un des mes deux sujets de grand oral en terminale l'année dernière (je suis malheureusement pas passé là dessus), je me permets d'ajouter pour ceux que ça intéresse que les résultats ne prennent pas en compte le 29 février (ce qui compliquerait pas mal les calculs) ni les variations saisonnières de naissance (de mémoire en mai il y a plus de naissance)
Ah merci mdr, je me suis gratté la tete pendant 20min
Franchement je me donne rarement le temps de laisser un commentaire sur youtube mais là pour le coup il m'est obliger de saluer vos efforts. En tant que passionné de mathematiques je trouve beaucoup de plaisir a regarder vos videos et je les trouve d'autant plus educatives (pour l'anecdote j'ai meme hesiter a un moment a avoir a recours a la technique du roi en integration a mon dernier DS mdrr). Je tiens a remercier votre effort pour tout ce que votre contenu apporte a la communauté. Je tiens aussi a souligner que vous transmettez pleins de valeurs et vous donnez plus un aspect philosophique des mathematiques bien plus interessant que tout le cote technique et ennuyant. En attendant vos prochaines videos he vous souhaite une bonne continuation.
Je n'ai découvert cette chaîne qu'il y a peu grâce à un camarade de prépa, mais mon dieu qu'est ce que j'ai adoré rattraper chaque vidéo jusqu'aux plus récentes ! Chaque histoire est particulièrement bien racontée, chaque démonstration mathématique claire. De loin l'une de mes meilleures découvertes de l'année !
Inchallah avec le pouvoir de l'amitié on peut prouver l'hypothese de Riemann
ah ouais donc du coup dans le monde de mon petit poney j'imagine que la science est bien plus avancee...
Je pense que c'est la seule façon de démontrer cette foutue hypothèse
Ton commentaire m'a fait pensé à ma prof d'analyse qui nous a dit avant le partiel : "N'écrivez pas sur votre copie, 'd'après Riemann, ça converge', ca ne veut rien dire. Ah bah je viens de le croiser en allant aux toilettes, il m'a dit 'tkt ça converge'." J'en pouvais plus ce jour là mdrr
Tu fais juste une récurrence et hop hop hop Riemann en sueur
Hilarant
5 vidéos en 1 mois, quel bonheur !! Tes vidéos sont toujours intéressantes et passionnantes. J'ai vue au moins 2 fois chaque vidéo (en révisant, ça passe tout seul).
Super vidéo ! J'adore ces concepts étonnants qui nous apprennent des choses étonnantes et passionnantes 😍. Ce sont des choses comme celle ci qui suscite l'envie des mathématiques. Je te souhaite de joyeuses fêtes et hâte de retrouver l'année prochaine !
Salut Axel ! J'adore vraiment tes vidéos, et j'aimerais vraiment en savoir plus sur les maths que tu nous montres, je suis élève en première générale et je trouverai très intéressant que tu nous fasses une vidéo introductive sur un chapitre post bac que tu as trouvé extrêmement important ou passionnant. Merci :)
Et une nouvelle vidéo croustillante j'adore ❤️ L'année 2022 à été pour moi la découverte de cette chaîne juste magique, et en regardant bien tes stats, tu as énormément pris du poids dans le milieu 👊 Hâte de te revoir en 2023
C'est vrai 😉. Hâte de la suite !
C'est vraiment adorable, merci du fond du coeur
Petite anecdote sympa. je rentre en première année de fac, 1er amphi de maths, le prof (un homme plutôt captivant) nous parle du paradoxe des anniversaires et veut nous faire la démonstration pratique en direct. Il demande donc, après nous avoir expliqué ce paradoxe, que chaque personne née en janvier lève la main. Il somme alors les personnes ayant levé la main de donner l'un après l'autre le numéro de leur date de naissance jusqu'à ce que coïncident 2 numéros. Malheureusement pour lui, aucune des personnes née en janvier dans l'amphithéâtre ne partageait sa date d'anniversaire avec qqun d'autre. Il passa alors au mois suivant en demandant qui était née en février et redemandait à chacun leur numéro. Nous étions 3 groupe de TD soit un peu plus de 90 personnes dans l'amphi et le prof continua de faire défiler les mois jusqu'à trouver 2 dates similaires. Il faut préciser que le prof nous avait certifié qu'il était statistiquement impossible que 2 personnes dans la pièce ne partagent pas la même date d'anniversaire. Au final nous sommes allé jusqu'au mois de décembre pour enfin trouver deux personnes nées le même jour. Bilan : le prof commençait à remettre sa vie en question au fur et à mesure que les mois défilait et surtout parmi tous les élèves de l'amphi plus un seul ne croyait dans les lois de probabilités malgré le succès de la démonstration par l expérience du prof. Tout ça parce que ça nous à pris pas mal de temps, quel cirque c'était l'iut.
Une petite pensée pour ce prof :'(
Merci pour l'info, je commence un cours de probas en janvier (L2 eco gestion), je ne ferai pas ce test 😅
Après logiquement c'est possible ms c vrmt pas de chance pour le prof😅
J'ai abandonné les mathématiques en seconde avec l'intérêt que je portais pour elle également, mais ta chaîne arrive à me faire rester 20 minutes sans décrochage, même si je comprends absolument rien c'est passionnant Merci.
Si tu parle anglais, la chaîne « the math sorcerer » Donne des conseils pour apprendre les maths en autodidacte
Si ce genre de vidéo devenait une série, ce serait génial je trouve
Cool cool cool Vraiment stylé la partie sur Fibonacci ! Bon courage pour les partiels mec, amuse-toi bien.
C'est tjrs un grand plaisir de voir tes vidéos, ce petit moment de fraicheur mathématiques m'amuse beaucoup. Have fun pour tes partiels :/ bonne fin d'année
Je déteste les maths mais j'adore ta chaîne mec t'as vraiment un talent de vulgarisateur incroyable !
ces vidéos sont vraiment un plaisir, merci
Belle jubilation mathématique hyper partagée ! T'es un génie de l'anecdote, du microdétail qui rend tes commentaires si plaisants... et pleins d'humour ! On est complètement addicts à la beauté des mathématiques et on veut le rester ! Je te souhaite de belles fêtes..et à l'année prochaine !
À la fois plaisant et très instructif à regarder, merci !
Salut Axel ! Je tiens à te dire que ta chaine est excellente. Tes vidéos sont parfaites, elles me délivrent un shoot d’abstraction mathématique bienvenu dans ce monde terre à terre. Je te lance un appel à l’aide en même temps que je te propose un potentiel sujet de vidéo : je me casse les dents sur une question de maths depuis deux ans. Voici l’énoncé : « En combien de chiffres s’écrit (réponse sous forme décimale) le nombre carré triangulaire de rang un million ? » Voilà, tout est dit. Ciao et merci d’avance !
je découvre de plus en plus ta chaine et je kiffe ! joyeuses fetes à toi❤🔥
Quel homme si productif. Sah, la régalade. Puisses-tu profiter de cette courte pause, du repos du Guerrier bien mérité. Tout cela afin de mieux préparer la bataille qui te destine retourner l'Agreg' Externe en 2023. Merci pour cette année et les vidéos de fous.
J’ai découvert ta chaîne il y a quelques mois ! J’aime bien :3
Franchement je kiffe tes vidéos, c'est pépite sur pépite, je m'intéresse de plus en plus sur les maths/physique et c'est incroyable
Le truc de l'anniversaire on l'avait testé en première et effectivement y avait deux personnes qui avaient le même anniv' c'était incroyable de faire la démo et tout, merci pour les souvenirs ✨✨
Je t'aime bordel ! Alors que je suis hétéro ! Jamais j'aurais cru trouver enfin LA chaîne parfaite qui traite parfaitement bien d'un sujet aussi parfait que la mathématique !
C'est bien Harry on est contents
@@didi7368 tg nan?
@@hicrawl5325 Va réviser le L1
Merci à toi à l'année prochaine !! Continue de nous régaler
J'adore le concept, ta vidéo est folle et si quali !!!
Au top comme d'habitude... je ne commente habituellement jamais donc j'en profite pour vous remercier pour votre travail, j'adore votre humour, bonne continuation :)
J’aime énormément ce que tu fais, continue
J'adore ta chaîne! Si tu te sens d'attaque pour 2023, expliquer pourquoi les 7 problèmes du millénaire sont des bad ass, tout en restant accessible à un public donc j'estime les compétences moyennes en maths d'un niveau vaguement terminale + (estimation basée sur ma propre personne, n=1, statistiquement merdique, mais je fais avec ce que j'ai). Merci encore pour tes vidéos!
Si tu veux il en parles dans comment devenir riche grace aux mathématiques
Je suis en première. Maintenant n=2
Au passage pour les lycéens, le paradoxe des anniversaires est une bonne idée de grand oral si vous aimez les maths et que c'est une de vos spécialités. C'est compréhensible pour n'importe qui et il y a suffisamment de choses à dire
@@erwannivelle1487 Effectivement, j'avais vu :-) Je pensais surtout à une introduction de pourquoi ces problèmes sont tellement difficiles... J'ai vu le vidéo avec l'hypothèse de Rieman, mais je me demandais, pour les autres problèmes...
@@baptisteorieux4155 merci pour l'info , je prend note
j'suis en 2e année de prépa ta chaine est un pure banger continue mec tes vidéos sont archi lourdes
Je suis le seul à m'être fait avoir sur le "c'est la dernière vidéo de la chaîne..... de l'année !" Pourtant si prévisible mais j'ai eu la pression, bien joué, et incroyable vidéo comme toujours.
ouais je me suis aussi fait feinter 😭
Toujours un plaisir tes vidéos !
Wow, c'est incroyable de voir comment ces faits mathématiques peuvent être si étonnants et pourtant si vrais. Merci pour la correction de l'erreur, c'est important de souligner l'importance de la précision en mathématiques. Continue à partager ta passion des mathématiques, c'est vraiment inspirant ;)
Suggestions : les dérivées fractionnelles. Bons partiels et bonne année.
Alex merci pour tes vidéos, tu m'a fait adoré les maths ❤
Pour les nœuds de cravate, el Jj avait fait un article sur son blog il y a quelques années. Il y a aussi un résultat similaire avec les laçage de chaussures (aussi présentésur son blog), on peut vraiment faire des trucs super stylé.
Merci pour cette année 2022 🎉🤩
Concernant de nouvelles idées de vidéos, tu as déjà abordé le sujet des l'hypothèse par récurrence. Serait-il possible d'en voir plus ? Cela serait vraiment utile pour avoir plus d'arme si on souvaite venir à bout de certains problèmes nécessitant celui par l'absurde, un peu obscur pour moi par exemple. Une vidéo toujours aussi enrichissante, merci beaucoup :)
Super vidéo, à l'année prochaine!
Je bois tes paroles comme un vin exceptionnel, merci pour ça monsieur
Vidéo hyper cool ! A noter qu'on dit "ArKaïv" pour ArXiv, comme pour des archives en anglais.
Excellente vidéo, très bien expliquée
Bonne année à toi!
Un truc complètement incroyable c'est le théorème de Pólya, sur les marches aléatoires
Pour le moment je suis ivre des mathématiques ! J'ai été choqué , étonné par ce paradoxe de l'anniversaire. Je n'aurais jamais penser à ça , mais c'est tellement beau les maths. Et puis ce 1/89 je m'en souviendrai toute ma vie
INCROYABLE TA VIDÉO
T'es le meilleurs !!!! Tu nous diras où tu enseignes, que je fasse en sorte que tu aies mes enfants comme élèves ahaha ! Bonne fin d'année à tous, les amoureux des maths sciences
Proposition pour de futurs profs de maths passant par là : Noter le nombre de fois que deux personnes ont la même date d'anniversaire dans votre classe :) En esperant que ca tende vers la théorie assez rapidement pour passer une bonne retraite et pouvoir avoir une bonne anecdote pour les élèves
Incroyable la vidéo
Let's GOOOO !!! Un nouvelle vidéo :D
Comme toujours parfait
C'est super! Je ne comprends rien mais je suis là quand même à chaque fois >
J’ai trouvé une curiosité dans un bouquin assez marrantes : Tu prends la somme de 10 termes consécutifs de la suite de Fibonacci et BAM, un multiple de 11 ! Bon du coup tu divises par 11, parce que c’est chelou cette histoire et BAM, le 7è terme de ta somme apparaît ! Bref super vidéo, les vidéos courtes sont bien pour que les gens qui te connaissent pas et qui sont pas forcément fan de maths cliquent sur la video, mais j’avoue que perso une bonne grosse vidéo de 40 minutes bien détaillée me ferais plaisir !
Mais encore une vidéo quel bonheur
On connaît mais c'est tellement bien présenté !
Merci beaucoup pour cette vidéo, Dans la vidéo précédente tu mentionne les dérivées non entière, est ce que ce serait possible d'en faire une vidéo pour comprendre un peu tout ça ?
J'adore le concept de tester un noeud de cravate pas jour XD merci pour la vidéo
Tu serais chaud de faire une serie sur les maths dans certaines disciplines ? Sportives par exemple ou meme des jeux comme le poker
Que d'intelligence ! que d'humour! Toujours tres interessant. Bravo . Je me regale!
je regarde tes vidéos pour 2 raisons Axel : je suis possioné par les maths aussi bien que tu le sois et je cherche un sujet de grand orale passionnant et trés originale et surtout je veux etre la première personne à le poser sans qu'il soit trés compliqué , du coup je galère impeu .
Prends le paradoxe des anniversaires
Super vidéo ! Un des trucs que je trouve super curieux aussi est que la somme des cubes de 1 à N, soit le carré de la somme des entiers de 1 à N !!! Toujours marrant à savoir je trouve
Oui c'est marrant et on peut le prouver par reccurence je crois
Hello j'adore ce que tu fais, c'est très propre ! Est-ce que tu pourrais faire une vidéo sur la constante de Khintchine, il y a pas bcp de truc sur ytb mais je trouve ca hyper intéressant...
le goat c’est fou
Go épisode 2!!
Bonsoir Axel ! Excellente vidéo... Si tu as besoin d'un sujet pour une prochaine vidéo, j'ai récemment découvert dans mon cursus la branche de la philosophie appelée "épistémologie des mathématiques"! Un sujet ma foi très intéressant ! Si tu ne sais pas ce que c'est je t'invite à te renseigner, c'est vraiment passionnant si tu aimes bien réfléchir à des questions philosophiques
Je comprend rien, mais c'est tellement fascinant 🔥💯🔥
Point positif de la vidéo : Elle était super intéressantes, bravo pour le taf ! Point négatif : J'ai maintenant très envie de porter la cravate tous les jours avec un nœud choisi au hasard
Est-ce que tu pourrais faire une vidéo sur des choses à voir en dehors des cours de maths du lycée pour à grandir ses connaissances afin d'avoir plus d'acquis pour les études
J'ai kiffé, à l'année prochaine et bonnes fêtes ma poule 👍👌
Super vidéo, gl pour tes partiels
Merci à toi 😁
Méga stylées tes vidéos
Super vidéo !!
Bonjour. Merci, je vous souhaite de bonnes Fêtes pour vous aussi... Joyeux Noël
Excusez moi mais avons nous déjà vu un créateur de contenu aussi productif ? Juste wow
Très bonne vidéo.
Outre le fait que la vidéo est géniale, je tiens tout de même à saluer tes goûts musicaux pour avoir mis du Josh A dans tes transitions
ce paradoxe des anniversaires, j'en ai entendu parler y a plusieurs années au palais de la découverte, y avait une expo consacré au jeux et hasard, et un étudiant en maths l'a présenté lors d'une mini conf
Trop bien merci :)
J'avais intuité la formule pour le développement décimal de fibonacci quand j'étais en première, je l'avais complètement oublié! quel beau souvenir
j'aime les maths j'ai développé une passion en grande partie grâce à ta chaîne merci axel jtm
la suite parfaite à ta précédente vidéo
Bonnes fêtes 🥳
Excellent et l'humour !! 👍👍👍👍👍👍
T'a chaîne est super intéressante surtout pour quelqu'un de passionné par les maths comme moi continue tes vidéos tu gères, sinon aucun rapport mais quelqu'un connaît le nom de la musique qu'il utilise lors de ces transitions ?🧐
Parle d’Alexandre Grothendieck stp si ce n’est pas déjà fait. Sa façon de voir les mathématiques est extraordinaire.
... et c'est pourquoi le nombre 1/89 est ... incroyable et mérite . tout . votre. respect... J'adore cet humour.
Pour ceux qui voudraient un calcul plus rigoureux à 7:30. ^^ Toutes les bornes de sommation seront 0 et ∞. ∀n∈ℕ, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ donc ∀n∈ℕ, Fₙ₊₂/10ⁿ⁺¹=(Fₙ₊₁+Fₙ)/10ⁿ⁺¹ donc ΣFₙ₊₂/10ⁿ⁺¹=Σ(Fₙ₊₁/10ⁿ⁺¹+Fₙ/10ⁿ⁺¹) donc 10²ΣFₙ₊₂/10ⁿ⁺³=10ΣFₙ₊₁/10ⁿ⁺²+ΣFₙ/10ⁿ⁺¹. On pose A=ΣFₙ/10ⁿ⁺¹. Alors 10²[A-(10⁻²F₁+10⁻¹F₀)]=10(A-10⁻¹F₀)+A donc A[10²-(10+1)]=1 d'où A=1/89. :)
Il faudrait alors aussi expliquer pourquoi on ne trouve pas tous les nombres de Fibonacci dans 1/89 et seulement les 6 premiers
@@riprezent93On les trouve bien, mais les nombres supérieurs à 10 se reportent sur les décimales précédentes. La 7eme décimale vaut 9 et non 8 parce que le "1" du terme suivant (13) vient s'ajouter au terme en cours. Avec n > 1 on a plusieurs décimales pour chaque terme, ce que permet de les garder séparer plus longtemps, comme dans l'exemple avec n=5
@@GregTenat oui exactement ! Je pensais qu'il parlerait aussi des nombres têtus qd il a commencé par 1/7 = 0.142857... Si on multiplie 142857 par n'importe quel nombre on retrouve une permutation des même chiffres (phénomène similaire avec des multiples grands il faut séparer et additionner). Je trouve ça génial. Et c'est vrai pour n'importe quel inverse d'un nombre premier p avec une périodicité décimale p-
Idée : La formule de Sterling comme sujet de vidéo !
Même si le problème de l'anniversaire est contre-intuitif, on parvient facilement à expliquer la solution à quelqu'un qui possède des notions basiques de probabilités. En revanche pour le problème de Monty Hall (le jeu des 3 portes), il est extrêmement difficile de convaincre que modifier son choix initial augmente les chances de gagner.
serais tu intéressé de faire une vidéo portant sur une explication mathématique de la pyramide de ponzi ?
Super interessant. J'aime beaucoup la partie sur Fibonacci. Petit detail : arXiv se prononce "ar-caille-v"
Je cherchais ça dans les commentaires voir si c'était juste moi qui connaissais des mecs bizarres qui disent tous "archive" avec la prononciation anglaise \ˈɑːkaɪv\. Toi tu dis "vi" ou "vé", mais pas "veuh" (ou /ø/ ou encore /œ/) ?
@@osquigene Concernant le v à la fin, personnellement je prononce "veuh" sans insister sur le "euh"
excellente video
Respect !
Toujours intéressant de repenser au paradoxe des anniversaires, aussi contre intuitif soit-il.
La deuxième conjecture est assez folle !
Salut Axel est-ce que tu pourrais faire une vidéo sur le calcul intégral mais vraiment la base quoi genre pour ceux qui sont au collège et qui veulent aller plus loin ça serait vraiment cool Sinon comme toujours super vidéo genre le truc de la suite avec 1/89 c'est vraiment incroyable comment on peut trouver un lien caché entre pleins de trucs
Collège c'est trop tot pour du calcul intégral
Salut Axel, je passe le grand oral bientot, est ce que tu pense qu'une question du type "Combien de noeuds différents peut on faire avec une cravate ?" Y a probablement moyen de faire le lien avec le cours sur le dénombrement de term et puis comme c'est un fait assez étonnant ca pourrait plaire aux correcteurs
C'est sûr qu'après avoir vu des triangles à deux angles droits, c'est compliqué d'être étonné
C'est possible d'avoir un lien d'une vidéo qui en parle stp?
… c’était une référence à un de ses anciens profs, et c’était surtout une blague
@@quelquun8395pensez à la géométrie sphérique ;)
@@quelquun8395 celle sur les lycées d'excellence : kzhead.info/sun/mK9-nNOjj4KBe6c/bejne.html
5:41 référence monumentale
Super. Merci Axel. Comme toujours. J'aimerais que tu traites au moins l'un des deux problèmes suivant. 1) Pourquoi n'y a-t-il pas de solution analytique pour résoudre une équation de degré égale ou supérieure à 5. 2) Pourquoi est-il si facile de calculer la surface d'une ellipse, alors qu'il n'y a pas -à ma connaissance- de formule pour calculer le périmètre de cette ellipse. Merci d'avance, bonnes fêtes de fin d'année, et à l'année prochaine pour de nouvelles aventures. Jean-Marc
1) Une racine d'un polynome de degré > 4 à coefficients rationnels ne peut pas toujours s'écrire à partir d'un nombre fini d'opérations usuelles (+ - * / et extractions de racines n-iemes) sur les coefficients du polynôme. Ce n'est pas un résultat choquant en soi, mais la preuve est intéressante et est l'objet de la théorie de Galois, qui étudie les 'symétries' des racines d'un polynôme. Par symétrie, on entend que la permutation de ces racines dans des expressions algébriques, utilisant les rationnels + ces racines, ne change pas la 'structure' algébrique sous-jacente : en gros, si on s'en fiche des valeurs numériques, tous les calculs sont les mêmes, que l'on ait permuté d'une certaine manière (symétrie) ces racines ou non. L'ensemble des symétries d'un polynôme (qu'on appelle groupe de Galois) possède lui-même une certaine structure (dite de groupe), qui est assez contrainte si les racines peuvent s'écrire avec des opérations usuelles + extractions de racines : le groupe de Galois forme un groupe 'résoluble'. Sauf que certains polynômes de degré 5 ont un groupe de Galois non résoluble (ça se démontre sans calculer explicitement les racines). C'est une notion assez avancée (L3-M1) et difficile à vulgariser, mais disons que l'idée repose sur la manière dont les racines sont interchangeables dans les calculs algébriques (pas dans la valeur numérique des résultats, seulement dans la façon dont les 'calculs se déroulent'). Mathématiquement on parle d'isomorphismes de corps. 2) Il n'y a pas de formule pour calculer l'aire d'un cercle si on admet pas que pi est un nombre bien compris. Mais vu qu'on accepte culturellement pi, alors on a une formule pour l'aire d'un cercle, et celle d'une ellipse s'obtient en comprimant le cercle selon un axe (l'aire évolue proportionnellement à cette 'compression' que l'on appelle plutôt dilatation). Le périmètre d'un cercle est relié à son aire donc on a aussi une formule en utilisant pi. Maintenant, le périmètre n'évolue pas de façon évidente lorsqu'on compresse un cercle. Voilà. ça n'explique pas pourquoi d'autres méthodes échouent à donner une formule très simple : j'en sais rien, c'est peut etre juste des objets sans relation évidente avec les nombres et fonctions/opérations usuelles