Предел от интеграла из MIT Integration Bee 2019
2023 ж. 19 Қыр.
7 178 Рет қаралды
В этом видео будем находить предел от интеграла. Это задание было в соревнованиях по интегрированию MIT Integration Bee в 2019 году. Задание решим двумя способами, что позволит посмотреть на задачу с разных сторон и попробовать различные приемы: воспользуемся теоремой о среднем, теоремой "о 2х милиционерах", заменой в интеграле и также свойствами гамма-функции.
В этом видео получены основные формулы для гамма-функции: • Гамма-функция и бета-ф...
В этом видео найден интеграл от x^a*e^(-x^b) и рассмотрены различные частные случаи: • Все интегралы такого в...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
мозг старого мехматянина балдеет от ваших видео :)
Красивое, интересное решение. Спасибо за два способа нахождения интеграла.
также, используя теорему Б. Леви о монотонной сходимости, можно поменять местами интеграл и предел. тогда под интегралом получим функцию 1 (х принадлежит [-1,1]) и 0 (иначе). здесь интеграл от конечно ступенчатой функции равен 2
Решил его в уме за две секунды глядя на превью ) Но видео все равно посмотрел
Как же я ждал видео
Спасибо Большое за интересные 2 способа решения .Вы Молодцы.
Как всегда интересно)
Рассуждение с использованием теоремы о среднем не вполне корректно, так как θ вообще говоря зависит от n, и следовательно может стремиться к 1 с ростом n.
Поддерживаю, формально там не θ, а θ_n и необходимо доказывать, что (θ_n)^2n сходится к нулю. Кажется тут проще использовать теорему Лебега о мажорируемой сходимости.
ок, я не подумал о такой возможности. Но тут тогда можно аналогично тому, как со 2м интегралом: 2*(1-x^(2n))
Спасибо большое за видео!
Thanks
thank you for supporting!!!
спасибо за очередное красивое решение)
7:35, у нас семинарист и лектор называют теоремой от двух силовиках (фивт мфти)
7:36 у нас, на ФКН ВШЭ на направлении программная инженерия, лектор тоже называл ее теоремой о двух милиционерах, а так - иногда слышу термин sandwich theory, тоже круто звучит)
Если построить график подынтегральной функции при больших значениях n, то получается интересная картина. Например, при n=100 видим классное 😃 Рекомендую взглянуть =))
Оно прекрасно
Теорему о двух милиционерах на западе обычно называют сэндвич-лемма, а немцы даже иногда так и говорят: Satz von den zwei Polizisten😅
в англоязычных странах называют squeeze theorem
На мехмате в середине нулевых называли также
Каждый раз поражаюсь ходу мыслей, совершенно не понимаю, как до этого додуматься)
Думаю регулярные зрители канала уже начали как и я везде подозревать вступление гамма-функции и увидели второй способ почти сразу :) А вот по первому пути я бы не решился пойти
Ход решения получается двумя путями: 1. опыт; 2. подсмотреть решение в решебнике 😀
или когда не сдал зачет вовремя по матану и все лету к нему готовишься. Ах, 2007 год!
Я получил тот же ответ, но сперва один раз проинтегрировал по частям, а потом уже заменил переменную и в конце перешёл к пределу под знаком интеграла, в результате получилось очень просто и даже про гамма-функцию не надо было знать. Насколько я помню, такой переход возможен, если последовательность функций сходится равномерно, в данном случае это выполняется.
При возведении в степень 2n обеих частей на 5:00 слева будет exp(-2nx)
Хотя понял, вместо х подставляем х^(2n)
👍
Интересно. Но можно было бы подумать о том, что x^(2n), где n -> inf "прижимает" все значения на (-1,1) к нулю, а все остальные (кроме 1) устремляет в бесконечность. Значит, e^(-x^(2n)), где n -> inf будет иметь на (-1, 1) значение e^0 (тобиж 1), в во всех остальных e^inf (0). Можно заметить, что получается что-то на подобии прямоугольника со сторонами 2 на 1. Собственно площадь равна 2. Всё бы хорошо, но вот точка 1, где значение всегда равно e^(-1) мне не нравится.
Да не особо точка х=1 мешает. Любая внутренняя точка квадрата [0;1]^2 при достаточно большом n окажется под графиком, поэтому предел будет равен площади этого квадрата. Поскольку тут никакая часть фигуры в бесконечность не устремляется, такое рассуждение будет вполне строгое. Вот со вторым слагаемым такой трюк уже так просто не пройдет из-за бесконечности отрезка интегрирования. Приходится мажорировать, как в видео.
Раз теперь полиция, то будет теорема двух полиционеров😊
как найти сумму ряда n^3 при n от 1 до k? это же функция, може через интеграл можно както? нужно для произвольного значения получать сумму
www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%5E3+n+from+1+to+k
Мне в вузе рассказывали, что не всегда предел суммы равен сумме пределов. В данной задаче так можно делать?
если пределы по отдельности существуют, то предел от суммы равен сумме пределов. Тут по отдельности оба предела найдены сначала, значит уже очевидно, что они существуют :)
С гамма-функцией лучше получилось.
Некрасиво наверное к полезным видео писать комментарии с негативом, поэтому заранее извиняюсь. В первом доказательстве утверждают, что тета в степени 2n стремится к 0, так как тэта на интервале. Но проблема в том, что тэта изначально сама зависит от n. Более того, если рисовать графики, видно, что тэта от n действительно к 1 стремится. Поэтому нельзя утверждать, что тэта от n в степени 2n стремится к 0. Но сама функция поточечно на интервале стремится к 1, поэтому интеграл действительно равен 1, но обоснование нужно другое. Само видео интересное, спасибо.
а вы посмотрите, что здесь уже писали 2 раза такое же замечание и я уже там отвечал :) здесь не так много комментариев :)
@@Hmath упс! Посмотрел несколько, но не все. Сейчас уже увидел. Спасибо.
Помогите решить интеграл [x^k/lnx(1+x)]dx, в результате как-то должна появиться гамма функция
Продифференцируйте подынтегральную функцию по параметру k. Это уберет lnx из знаменателя. Далее замена 1/(1+x)=t приведет интеграл к бетта-функции. От бетта-функции перейдете к гамма-функции, ну и в конце проинтегрируете по параметру k. Пределы у интеграла не указаны, так что точнее не скажешь. Кроме того, появятся ограничения на параметр k исходя из области определения гамма-функции.
Приятно видеть пользователей аска 😊
Клевая логика. Как только эти все рассуждения и правила кинологе держать. Все бымтротзаьываешь. Как качалка прям - не походил в зал - мышца сдулась
Неправильное применение теоремы о среднем. Автор забывает, что "тета" зависит от "n"! И теорема говорит, что для каждого "n" существует своя "тета", при которой выполняются условия теоремы! Автор не доказал, что при "n" =10 и при "n"= 200, например, тета будет та же самая! А при зависимости "тета" от "n" можно получить и другой предел интеграла Р. Например, при "тета" =1-1/(2n) предел Р будет совсем не 1 !
да писали это уже здесь в комментариях. Тета может и не быть всегда одной и той же для любого n, главное ведь, чтобы была от 0 до 1. Но, действительно, я не учел тот факт, что может стремиться к 1 с ростом n.
Третье доказательство есть на ютубе "Факторіал будь якого числа від Кур'яти Павла"
Буква θ называется "тета", а не "тетта"! 🤬
А это в каком способе решения было, первом или втором?
теорему о милиционерах за рубежом называют сендвич-теорема)
С точки зрени физика в пределе под интегралом ступенька и интеграл равен 2, это разминка для первокурсника. не понял задачи.
MIT Integration Bee - это соревнования для первокурсников по решению интегралов на скорость (всё, как вы любите) :) эта задача из квалификации, там на 20 интегралов 20 минут дается :)