Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари |
2018 ж. 24 Сәу.
73 517 Рет қаралды
#БотайСоМной #026. Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари
Поговорим о том, как решать уравнения четвертой степени, и откуда берется формула Феррари.
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/courses/603/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/599/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/596/landin...
От задачек Трушина Психика нарушена. Спасибо за гимнастику для мозга!
Захожу на ютуб, чтобы отдохнуть от подготовки к экзаменам, расслабиться, вот что я в итоге смотрю 👌👍
Зашёл только для того, что бы сказать, что на превью у тебя стоит болид не Феррари, а Вирджин.
Возможно )
Чтобы слитно пишется у тебя, умник)
вот только это не болид, а машина))
@@llpocb6a389 Только вот болид это не машина вовсе, а доктор))
у кого болид, я не понимаю о чем вы говорите
Вы просто бесподобный
Борис вы самый ТРУШНЫЙ из всех математиков)
Феррари было бы обидно,если бы формулу Кардано не вывели до него.Пришлось бы ещё и её выводить на этапе с D :D
Феррари -- ученик Кардано
А ещё вроде как первым решил кубическое уравнение Сципион Дель Ферро
@@trushinbv ты своими формулами скрасишь любую вечеринку, да и на ночь будет что почитать
Думаю, если бы формулы Кардано не существовало, то Феррари не стал бы в выводить формулу для 4 степени.
Пытались с нашими преподавателями вывести формулу Феррари, ужас, потратили 4 часа, вычисления просто огромные! Так и не дошли до финала)) Численными методами оказалось решить гораздо быстрее, а самое парадоксальное - точнее. Написали с нашими учениками программу для решения формулой Кардано и Феррари, запустили. В итоге получили корни менее точные, чем численными методами (тем же методом хорд). Зато сама идея в теории просто шикарна. Двое наших самых усидчивых учеников загорелись вывести корни для уравнения пятой степени. Не верят в теорию Галуа)) Спасибо Вам за видео! Смотрим почти все всей командой как преподавателями, так и учениками!
Там должна вылезти такая вещь, что, чтобы решить уравнение 5 степени, потребуется решить несколько вспомогательных уравнений 6 степени, а чтобы решить уравнение 6 степени, нужно решить несколько вспомогательных уравнений 7 степени и т.д. ad Infinitum A что касается: «точнее», тоже ничего удивительного: ведь в формуле нужно корни извлечь, квадратные и кубические, вот оно, собственно, и приводит к потере точности. Когда не нужно знать, чему равно выражение, достаточно внести цифры под корень, тогда оно «точное», а когда нужно узнать, чему же оно всё-таки равно без всяких корней, хотя бы приблизительно, вот тут точность и «теряется»
Эх, я тоже не верил в теорию Галуа и тоже пытался вывести формулу для решения уравнения пятой степени.
@@zrtqrtzrt8787Я пытался вывести формулу для решения уравнения 6 степени. Я выводил по подобию вывода решения уравнения 4 степени(как сделал это Борис). Мне так же нужно было вычислить дискриминант, чтобы найти полный квадрат, но дискриминант оказался уравнением 5 степени, которое не решено.
БРАВО!!! БРАВО!!! БРАВО!!
Загадка от трушина: Найти корни уравнения пятой степени На разгадку даётся 20 минут
в условии задачи не стоит запрет на использование wolframalfa, так что можно и за минуту решить
Большое спасибо Вам за интересное и доступное видео. В конце ролика Вы предлагали написать свои вопросы "столь же сложные или попроще" в комментариях, быть может, эти две темы мало связаны, но одна другой, думаю, не уступает по интересности. Если у Вас будет время, и желание, и возможность, может, запишете небольшое видео про подобие НЕ треугольников. Откроете многим ученикам тайну, что подобны бывают не только треугольники, но и многие другие фигуры. Заранее спасибо!
но ведь другие фигуры можно превратить в треугольники
Классно. Я и не думал, что всё так просто.
Спасибо за видео!
0:23 Борис Трушин как отдельный вид искусства😁
Хорошо, что есть численные методы решения вообще любых уравнений)
Спасибо!
Большущее спасибо
Пожалуйста, сделайте видео об уравнениях пятой степени, который можно решить в явном виде =)
а что мелочится?давайте сразу 10
Никита Кукушкин 1. Теорема Абеля−Руффини препятствует такому же принципу выведения формулы для квинтового уравнения (пятой степени), какой применялся в меньших, чем 5, по степени уравнениях.
Я знаю, но ведь есть уравнения, степень которых выше пятой, разрешимые в радикалах
В явном виде можно решить что угодно . Решение уравнения 5 степени основывается либо на модулярных тета-функциях Якоби либо на формуле Тейлора-Лагранжа о развороте ряда Тейлора для получения обратной функции , которые никакому школьнику недоступны . А Если их и можно решить то ив радикалах решения строятся на числах вида e^2=0 при этом е не равно 0 . Увы , увы . Не подкованным математически школьникам это не объяснишь .
@@user-mt7sn4ob4w а это разве не численный метод, который даёт только приближение?
спасибо!
А про комплексные числа будет видео?
жду следующие выпуски
Большой спасибо Борис Трушин ну довольно долго открывать формулу феррари но можна. Вы не могли сдать информацию про теорема абеля
Лет шесть назад писал автоматическое рандеву в kerbal space program и на каком-то этапе пришёл к уравнению четвёртой степени. Каково было моё удивление, что в инете не так просто найти описание алгоритма решения таких уравнений. Нашёл тогда и метод Феррари, но так и не смог разобраться. Наверное, это видео тогда бы мне оказалось кстати.
Всегда было интересно: по сути уравнение 4-й степени kx^4+lx^3+mx^2+nx+o=0 можно разложить на произведение двух кубических: (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f). Если при х^4 нет коэффициента k то а = d = 1 : (x^2+bx+c)(x^2+ex+f);далее перемножив скобки мы можем применить метод неопределенных коэффициентов. (у нас 4 неизвестных, 4 уравнения в системе, по идее мы должны получать какие - то значения коэффициентов (правда проблема в том что этих решений может быть несколько (действительных) и не факт что удобных. Но по идее такая идея должна иметь право на жизнь. А вообще за все время решений мне попадались такие способы решений: а) Классический подбор корня из делителей числа о, далее - деление на (х-х0), дальнейший подбор.... б) Разложение на множители (зачастую разложение не бывает явным - проблема) в) Выделение квадрата (очень редкий случай), когда можно получить такое уравнение с помощью разложений: (rx^2+tx)^2+(rx^2+tx)+o=0 далее уравнение в скобках заменяем, решаем полученное квадратное уравнение, далее решаем квадратные уравнения получаемые из подстановок.
при использовании метода неопределенных коэффициентов в этой задаче факт того, что разложений на два квадратных многочлена может быть несколько не является проблемой. Проблема в том, чтобы найти хотя бы одно решение системы нелинейных уравнений
Прошу снять видео о методе неопределенных коефициентов
Нарезка в начале гениальна! Пора бы уже отдельный канал для интро создавать
13:44 прям математическое кунг-фу 👍😁
не совсем понятно, может ли не быть положительных корней у t из нашего уравнения третьей степени, или подразумевается, что если так случилось, то и исходное уравнение не имеет действительных корней- если это так, хотелось бы поподробнее услышать обоснование
Зачет😊
Я правильно понимаю, что на канале пока что нет ролика про решения уравнений высших степеней?
Кому интересно Википедии есть вывод через комплексные числа... Слишком много букв... Зато узнаете про резольвенту...
Монтаж в начале - топ! Надо выпускать отдельные видосы с превью видео
Не совсем по теме, но жду видео про ряд Тейлора и как его выводить на пальцах
Приравниваешь бесконечному многочлену, берешь производную с обоих частей, подстааляешь 0, находишь свободный коэффициент и это повторяешь, пока не будет явной закономерности Если в кратце
Покажите ребятам таблицу Паскаля. С уважение Артём А.
Зачем?
Можно ли было применить метод неопределенных коэффициентов или тот не всегда работает?
теорема о рациональных корнях многочлена токо, и то если коэффиценты целые
Самое главное - идею пояснил.
В данной задаче не важно, какой корень кубического уравнения (t) мы возьмём? Просто их три (я так понял, что неважно, будет ли он мнимым или нет)
неважно, даже если их три, то для каждого из них разложения исходного ур-я на 2 квадратных дадут одну и ту же четверку корней
@@user-iz6gi1rf4t Как доказать, что одну и ту же?
Корни уравнения не могут зависеть от способа нахождения: все способы должны приводить к одному результату
Ждём деление многочленов)
Почему математики 16 века Кардано и Феррари носили "автомобильные" фамилии? Ведь первые авто появились только в начале 19 века. :-)
@Ivan Mustafaev Логично! Притупил я немного.
Подскажите, а почему проблема начинается именно с 5ой степени?
Потому что для 3й пришлось ввести мнимую единицу i. sqrt(i) = -1. А дальше зоопарк мифических чисел.
вот пища для размышления: формула для квадратного уравнения уже довольно стремная, для кубического уже очень страшная, а для уравнения 4 степени апокалипсис, притом, количество и величина постоянных чисел в формулах растет не то, что геометрически, а показательно, потом, для полных решений квадратных уравнений ввели отрицательные числа, для кубических - комплексные, что тогда нужно для пятой степени? нет таких линейных операторов, которые бы помогали бы явно выразить формулы для корней уравнения. Более того, в математике много мест где нет формулы. Примеры: 3^x + 4^x = 5^x, ln(x) + tg(x) * e ^ ( x ^ 2 ) + 1 = 0, уравнение двойного маятника, эллиптические уравнения
@@trigeminalneuralgia9889 не вводили отрицательные числа для решения квадратных уравнений. Сразу ввели комплексные числа и сказали, что уравнение n-ной степени имеет n комплексных корней. Не нужно ничего вводить для решения уравнений любой степени. Но это уравнение аналитических функций, которые в ряд Тейлора раскладываются. А если функция не аналитическая, то она может и не решаться и в комплексных числах.
@@zrtqrtzrt8787 почитай историю квадратного уравнения, их не умели решать в отрицательных числах, потому что это была геометрическая задача, а площадь и периметр не могут быть отрицательными, вообще, я говорил про логику вывода аналитического решения уравнений, понятно, что численно можно вычислить корни с любой точностью
@@zrtqrtzrt8787 кстати, уравнение пятой степени можно решить аналитически при помощи радикалов Бринга, опять же, ввели какой-то новый объект, как я и говорил :)
Определите значение а, при котром x^4+2x^3+ax^2+2x+1=0 имеет только один корень...) МГУ ДВИ 2018 год восьмая задача
ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААА
ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААА
ААААААААААААААААААААА
ААААААААААААА
A^n )))
Вернусь-ка я к твоим видео когда поступлю в вуз
Тут есть даже ролики доступные младшеклассникам )
А как же метод неопределенных коэффициентов
Победитель по жизни а он не везде работает
мне сейчас параметр с такой идеей делать... придётся
Опа, дифференциал и е в одном уравнении, звезды сошлись
причём здесь это. Понял хоть, что сказал?)
@@user-qy5vn4bc8q типо 4dx+e))
Слишком напрягает, немного проще. Глубокий вдох, и чуть помедленнее или пообстоятельнее.
Метод Феррари конечно хорош, но метод Мазерати попроще
Вы не объяснили очень важный момент. Уравнение 4 степени имеет ровно 4 корня с учётом кратности. Решение кубического уравнения даёт 3 корня. Плюс-минус при взятии корня из правой части даёт еще в 2 раза больше корней, наконец, решение финального квадратного уравнения даёт ещё фактор 2. Итого, получается 12 корней, а должно быть 4. Как из них выбрать верные?
Я же, вроде, сказал. Берем любое решение кубического и сводим исходную задачу с к совокупности из двух квадратных уравнений. Получаем 4 корня. Да, это можно сделать тремя разными способами, ну и что )
@@trushinbv ну, например, то, что совершенно не очевидно, что ответы будут получаться одни и те же.
@@trushinbv вообще, вся эта история с кубическими и четвертой степени уравнениями очень северная. Представьте, что я не математик, а инженер и ничего вообще не хочу знать про ваши комплексные плоскости, точки ветвления, теорию Галуа и т.д. Я хочу формулу, которую я могу посчитать на калькуляторе. По этой формуле я хочу уметь получать все корни моих уравнений. В случае квадратного уравнения всё ясно: посчитал дискриминант, если он положительный, извлёк корень, применил плюс-минус, получил ответ. В случае кубического уравнения уже всё плохо, если действительных корней три. Дискриминант отрицательный, из него надо потом взять квадратный корень, потом ещё и кубический, да для каждого кубического корня получится три комплексного значения, да выбирать их надо особым образом, а не как попало, и потом еще найти реальную часть ответа. А теперь представьте, всё это ещё и является резольвентой для уравнения 4-ой степени. Отсюда логично вытекает мой первый вопрос: как из 12 получившихся корней выбрать 4 правильных.
@@koleso1v Наша задача выделить полный квадрат (12:20) Как мы нашли t -- не важно, мы могли его угадать После этого мы получаем уравнение равносильное исходному Все
@@trushinbv то есть все три разных t, которые можно получить путём решения кубического уравнения, мы можем использовать? И, как писал человек выше про 12 корней, будут тройки совпавших, да?
А можно такие уравнения решать через теорему Безу?
0 дизлайков!
мега кошерно!
Вот всегда был вопрос: почему корень квадратный - степень 1/2. Как это доказать?!
Это определение -- kzhead.info/sun/bNN7fdt_moCgiKs/bejne.htmlm28s
@@trushinbv а разве это нельзя вывести следующим образом: пусть sqrt(a)=a^n Тогда: a^n*a^n=a^1 a^(2n)=a^1 2n=1 n=1/2
@@Liberty5_3000, тогда остается вопрос, что такое a^n при нецелом n, и почему для него верны свойства степени a^n*a^n=a^(2n).
@@trushinbv ну на счет свойств согласен
a^m/n хотим чтобы n сократилось, тогда a^m/n=(n√a)^m, а чтобы работало известное определение, надо чтобы a≥0 иначе мы не сможем поставить здесь знак равенства: (n√a)^m=n√a^m (пример с 1/3 и 2/6 яркое тому доказательство)
а можно вот этот пример от "А" до "Я" разобрать? x^4-2x^3+5x^2-10x+5=0
Пока Сивухин нам читал курс обчей физики занудный мой ... согнулся в интеграл во всей земле во Долгопрудной!
Не проще использовать теорему Безу?
Теорема Безу не умеет находить корни уравнения (
@@trushinbv На самом то деле так и есть,если корни не принадлежат множеству целых чисел Но все таки Очень хотелось бы что бы вы её обьяснили))
Жду видео про решения уравнений пятой степени
Такого не будет (
@@trushinbv Что, слабо? Шучу, шучу... Ты красавчик, я бы и кубическое не решил)) Жду видео типа "высшая математика на пальцах". Удачи ;)
Вообще есть - через корень Бринга или тета-функции. Там есть еще и частный случай, когда уравнение разрешимо в радикалах. Если начать все это выписывать, то там лютейшая война и мир просто)
@@trushinbv Может, видео про теорему Абеля?
О мой бедный мозг
А уравнение 5-й степени решается формулой Мерседеса.
Формулой Ламборджини
@@far.spectrum Формулой Фольксвагена.
Кстати бикубическое уравнение можно раздробить на два кубических уравнения методом резольвенты в четвертой степени.
Первые 50 секунд к чему вообще?
фишечка
А как доказать, что мы можем не только найти t, но и оно будет положительным?
феррари? Потом ламборгини, лексус. =)
Для кого это все. Для нас преподавателей, чтобы мозги не скучали, что ли.
Для кого рассказывать про формулу Феррари? Для всех, кому интересна математика. Я надеюсь, что она интересна не только учителям и преподавателям )
Абеля и Руффини.
А не проще воспользоваться wolfram alpha и узнать все корни, в том числе и комплексные? И без разницы какая степень. 🤔🤔🤔
Но вольфрам-альфа не умеет решать уравнения высоких степеней. А четвёртую степень он именно так и решает )
@@trushinbv никто не умеет. Зато он знает ответ 🙂
@@BackStab1988 он для таких задач численные методы использует, и находит лишь приближенные значения
@@trushinbv угу, но похоже на магию
А кто-нибудь довел все выкладки с алгебраич-ми коэфф. до конца? Можбыть конечные выражения упростятся?
Мы встроили уравнение в уравнение, чтобы вы решали уравнение, пока решаете уравнение... Неудивительно, что с такой возрастающей громоздкостью решения, общего решения в радикалах для уравнений 5-й степени и выше не существует
@Ivan Mustafaev я это знаю. Просто с такой возрастающей сложностью это естественно выглядит что ли
Неужели нельзя сделать ролик без ошибок лени и опечаток объясняя сложные вещи?
А где здесь ошибки?
@@trushinbv ну например лишний квадрат на r.
Слава Ньютону, что есть численные методы. Решать уравнения 4 степени в явном виде - тот еще садизм.
Что за понос в начале...
В начале самый сок наоборот
А не проще ли представить в виде произведения двух квадратных, и затем решить систему из 5 уравнений???
А как вы её будете решать? )
@@trushinbv представить каждый квадратный трехчлен в виде ax2+ bx+c и dx2+fx+g, и перемножить. Затем приравнять произведения ad коэффициенту перед x4 и т.д., и решить систему из 5 уравнений. Может, я чего-то не догоняю??
@@user-ux5uy3gs7jя понимаю, про какую систему вы говорите. Я не понимаю, как вы хотите её решить
KZhead alexjj Alexjj thanks...
Неужели нельзя сделать ролик без ошибок лени и опечаток объясняя сложные вещи?
Попробуйте )
@@trushinbv так я обычно стараюсь так и делать когда объясняю - сделал ошибку - нашел - переделал объяснение перед отправкой. Хотя роликами объяснять не приходилось пока никому ничего.
@@Zagryzaec так я, вроде, и заметил, и исправил ) Или нужно было весь ролик переписать?
@@trushinbv верно, нужно было сделать один ролик хорошо подготовленный. я понимаю что это не формат для канала но и вы поймите что люди ищут информацию среди сотен роликов, и в сложных вопросах лишняя путаница в голове ни к чему. тем более что кроме математики в голове может еще новая инфа по фиике или химии быть.
@@Zagryzaec если делать так как вы говорите, то у меня выходил бы один ролик в месяц. Тогда эту тему я точно бы никогда не рассказал ( И доя меня ютуб всего лишь хобби. Не хочется превращать это в работу.