✓ Магия степеней | Ботай со мной
#БотайСоМной #100. Магия степеней
Сегодня поговорим про одно удивительное свойство последовательности из степеней натуральных чисел.
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZhead): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: vk.com/ege_trushin
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZhead: / trushinbv
Опять магия вне Фоксфорда
Наверное Оксворда?
Наверное Хогвартса?
@@martiska-b фоксфорд это онлайн школа, где Трушин преподает матан.
Ребят, помогите пожалуйста, кто сейчас занимается в фоксфорде, еще не поздно сейчас записаться на курс?
@@donkimasslowmo3002 Так он там математику преподаёт или только матан?
Спасибо большое, это был мой вопрос, не ожидал увидеть ответ в виде целого ролика. Этот вопрос меня беспокоил с 9-го класса, но я ушёл учиться в гуманитарные науки, поэтому знаний не хватало разрулить все это. Ещё раз, спасибо Борис!
То же самое! Сейчас на 3 курсе, но никак с 8 класса руки не доходили этим заняться. Борис, спасибо!)))
А я в прошлом году нашёл это ,но не знал что такое факториал, потом выяснил и никак не понимал откуда он берётся. Даже немного грустно ,что его можно доказывать. Большое спасибо за объяснение. И также я хотел узнать про гамма функцию, если возможно можете снять видео про него?
@@ibrahimvalehli5519 есть хорошее видео про Гамма и Бетта функции kzhead.info/sun/fLaSfMqlpKmvdq8/bejne.html
@@Real1337Patsan спасибо, видео очень интересное.
Сотый выпуск,круто,уже первокурсник но очень интересно смотреть вас!😃😃
Отличное видео: такой простой сюжет кажется, но если покопаться, то даже тут найдется много интересного. Лайк!
Дед вывел это еще в садике
@@eip10 в царской России это был тест, чтобы младенца из роддома выписали
О, сотый выпуск #БотайСоМной ) Уху!
Будучи в 8-ом или 9-ом классе пытался что-то похожее делать, но не докрутил. Сейчас смотрю, чувство, что за меня доделали мою работу.
Жизненно, только я в 10-м был
Ага, только доделал, но думал, что это никому не интересно😅
надеюсь ты изобретешь телепорт
@@papich689 а что в нём сложного, правда человечество к нему не готово, как в техническом, так и в моральном плане
@@fujoridev я устал ездить в школу, вставая в 6 утра на заполненный автобус, который жду на морозе минут 20. Обратно так же... Хочу телепорт, но даже когда его изобретут, будет не по карману
На 24 начал улыбаться, на 120 бился в истерике хД
Проходим в школе производную. На уроке сразу заметил, что если бы мы продолжали брать производную от функции x^n, пока не дошли бы до константы, то это число было бы факториалом n. Было интересно найти нечто подобное в таких последовательностях. Спасибо за познавательное видео!
забавные нарезочки перед началом роликов - мелочь, а прикольно. а про огромную пользу собственно видеоуроков я и не говорю. спасибо, Борис Викторович. Максимчик. 42 года.
С юбилейным выпуском!
Пока не кликнул, подумал что очередное видео про степень с действительным показателем)
Я их не чаще чем раз в полтора года выпускаю ))
Про это хорошо написано у классика: Д.Кнут "Конкретная математика", глава 2 (конкретно раздел 2.6 Исчисление конечного и бесконечного). Тут и про факториальные степени, и про конечные разности.
Спасибо за такую красоту в очередной будний день!
И мелок в конце кинул, так его!) Видео топец
Весело, спасибо, что раскрываете нам эту красоту
Насчёт факториалов. Неплохо было бы сделать видео "Факториал дробного числа. В интернете опять кто-то не прав!"
Про гамма-функцию? )
@@trushinbv, да!
@@trushinbv Тогда ещё Бином для дробных степеней, плз..)
@@trushinbv Да!!
@@trushinbv просим)
Красота математики из уст Трушина, что может быть лучше
Спасибо за интересное видео!
Здорово! Спасибо за ролик!
О, юбилейный 100 выпуск. Поздравляю. Спасибо за хороший контент
спасибо коллега. За интересные вещи обязательно лайк. Про факториалы тоже сразу же догадался. в школе когда то изучал
Потрясающе объяснили👏🏽👏🏽
Очень круто!!!🖤
Прикольно, сделали свою производную на коленке
Интересно, лайк.
Здравствуйте, Борис. Я периодически смотрю ваши видео, и они всегда оказываются на высшем уровне. После этого видео я решил повторить эту операцию для простых чисел. Я брал последовательность от x1=2, x2=3... до n, где n конечное простое число. Составлял новую последовательность также как в видео, только брал результат под модулем |x2-x1|, |x3-x2|... Потом я повторял эту операцию для новой последовательности,не забывая про модуль, и т.д., пока я не получал единственное число. В итоге у меня всегда получалась 1 по модулю(если операцию выполнять без модуля, то есть брать разность не по модулю, то такой эффект не наблюдается). Я даже написал программу и проверил множество последовательностей с конечными простыми числами от 5 до 5000 и все они давали в результате ноль. Также проверил последовательности с 10 конечными простыми числами близкими к 100000 и результат тот же. Там довольно долго проверяется, поэтому я пока не закончил проверку для простых до 100000.Если представить эти последовательности в виде эдакого перевернутого треугольника "Паскаля", то левая сторона будет состоять из единиц(за исключением начальной двойки). Я не математик и поэтому меня удивляет этот факт, так как простые числа никак не просчитать и расстояния между ближними могут такими большими, что они бы должны были давать и другие нечетные числа в конце. Можете ли вы объяснить этот факт? Я также начинал такую проверку для первых семи чисел Фиббоначи, и пока что там такой же результат.
То самое чувство, когда зашел на ютуб после просмотра Гарри Поттера и понял, что есть что-то даже получше.
С юбилейным выпуском)!
Очень рассмеялся на моменте "Расскажи друзьям , пусть удивятся": большинство моих друзей не знают понятия "лине1ная функция", да да , тяжеловато мне приходится
Я всегда говорил, что БВ - волшебник он сам признался, слышали?
С юбилеем!!
Сам находил такое в 8-мм классе и не понимал что с этим дальше делать.
Ботай со мной - одна из самых полезнейших рубрик на этом канале, да и на математическом ютубе в целом
Спасибо за интересное свойство и полезное знание для любителей математики. Я сам привожу подобные задачи в качестве примеров для студентов в курсе "Численных методов". Выводим суммы первых n квадратов, кубов и др. степеней натуральных чисел, используя интерполяционную формулу Ньютона с постоянным шагом интерполяции. Как раз на таких темах и раскрываются понятия конечной разности и численного дифференцирования.
Иногда это называют дискретной производной, если ввести понятие дискретной первообразной можно вывести суммы n степеней, можно было об этом рассказать и дать ссылку на ваше видео о сумме подряд идущих квадратов и кубов
БВ непрерывщик, я б не ожидал особо на канале тем про дискретку :) Даже понятие дискретной производной вводится через суммы...
На студенческой олимпиаде доказывал что сума кубов натуральных чисел от 1 до n равна квадрату сумы чисел от 1 до n, и исходя из этого задание решалось легко, преподаватель сказал "молодец, но это известный факт и не обязательно было его доказывать".
@@Rediska512 я считаю, лучше доказать, хоть и известный факт.
Трушный Трушин ❤
С сотым юбилейным!
Я крутила только вторую степень, очень интересные наблюдения сделала - нашла формулу сокращенного умножения второй степени и теорему Пифагора.
Очень занимательно, что в ряде Тейлора для разложения функции имеют место эти же факториалы ( очень хорошо видно на примере e^x)
Красиво.
Ничего магического для х^4 производная(или разность соседних) = 4х^3, теперь берем производную от нашего результата = 4*3х^2, а теперь еще раз производную = 4*3*2х, и еще одну производную 4*3*2*1 = 24😁
Только разность соседей не равна x^3 )
Спасибо снова, бутут ещё видео про множества, вероятности для старшеклассников?
Только начал смотреть видос и вижу, что это легко следует из гиперсумм прогрессий n-ого порядка. В книге Куранта по матанализу вроде даже задачка была доказать этот факт
Досмотрел и в очередной раз словил кайф от того, насколько все взаимосвязано, переплетено в математике. В доказательстве гиперсумм прогрессий n-го порядка тоже возникает бином Ньютона, и здесь он есть. Чертовски красиво.
огонь
Борис, можете выпустить видео по новой 9ой задаче егэ, буду благодарен
На закате социализма в школе попалась на глаза теорема Ферма. Естественно, начал решать ) Квадраты, кубики, четырёхмерики и т.д. Снимая слой за слоем с большего c^n до меньшего a^n, затем собирая из "кожуры" средний b^n ) Тогда и наткнулся на минимум в n! разностях этих степеней. Пришёл к выводу, что теорема Ферма верна, только когда равны размерность пространства (n) и его факториал n! ) 1 = 1!, 2 = 2!, а далее уже всё ) 3 < 3! и т.д. "Капустные листики" n-мериков имеют минимум "кочерыжки" в n! Спасибо автору ролика, вспомнил школьные годы )
12:50 В ровно таком виде я видел это утверждение в "Calculus of Finite Differences and Difference Equations" от Schaum's Outlines, там как раз и разбираются такие дискретные аналоги для дифференциалов и производных последовательностей и функций. Чтиво крайне занимательное и хорошо обобщает множество интересных результатов касающихся сумм, рядов, формул общих членов последовательностей и численных методов. На русском, к сожалению, я тоже не находил особо литературы по данной тематике, может, искал плохо. А вообще выглядит как интересный материал для новой рубрики на канал, всё равно в русскоязычном ЮТубе этого нет, насколько мне известно.
На одном математическом сайте я читал одну статью В.И. Войтицкого, там рассказывается немного частностей из того, что Вы перечислили на русском.
@@d4vlL не знаком с работами автора, но да, периодически что-то из этой области встречается частями в русскоязычной математико-физической литературе, однако я не находил комплексных учебников или работ по тематике на русском. Если есть возможность, не могли бы поделиться статьёй? Очень уж мне интересна область в последнее время и хочется увидеть побольше материалов.
Мел кінаў эфектна🤗
Да, хорошо.
Часто слышали от профессоров с кафедры матфизики, что то чем мы занимаемся при численных моделированиях это вообще некорректно, потому что подменяются настоящие функции дискретными аналогами, и что там получается при замене настоящих производных конечными разностями надо аккуратно исследовать, но всем пофиг =)
А «в обратку» прилетает, что за реально поступающими дискретными числами можно увидеть непрерывную функцию только с определённой степенью вероятности. 😁
График зависимости красивый выйдет, где по одной оси степень, а по другой "предельная разность"
Юбилей
Борис сделай пожалуйста видео про геометрию Лобочевского
Видео про элипс ждем..
Я догадалась! Это так забавно. (1+2)×2=6 (2+6)×3=24 (6+24)×4=120 ждала это расстояние между степенями) Рискну предположить, что далее (24+120)×5=720...нажала видео на паузу, а теперь продолжу просмотр. Как прекрасна математика и ваши видео!
Точно! Факториал. Но я не догадалась сразу.
Добрый вечер, Борис. Немного с производными не понял. Нас просто учили, что показатель становится множителем, а сам показатель становится на 1 меньше. Но у Вас появилась доп. Единица. Если не сложно, то можете рассказать)
Расскажите про обратную операцию - интегрирование. По опыту общения со средой программистов, многие считают сумму последовательности i^n просто циклом, хотя для этих случаев есть формула, аля n*(n+1)/2 для арифметического ряда 1,2,3,..n, (2*n^3+3*n^2+n)/6 для 1,4,9,16,25..n^2, n^2*(n+1)^2/4 для 1,8,27,81,125,..n^3 и т.д.
Есть формула Фаульхабера для вычисления суммы степеней
Можно клип снять - Дэвид Блейн показывает эти ряды, и при появлении однородного ряда пырится на зрителя) Бочарика на озвучку.
Толково
3:34 - в итоге - на К-тый шаг.
красивый факт
Фокусы, фокусами, но данный подход позволит легко объяснить ребенку почему (x^n)'=n*x^(n-1). Хороший методический прием.
Если ребёнок понимает, что такое производная, то он и сам сможет вывести производную x^n
@@trushinbv В классе ребенки разные бывают ))) А здесь все становится понятным даже ежику.
Интересно, можно ли так получить формулу для ускоренного вычисления степеней?
Как правильно называется эта "производная" для последовательностей?
Подскажите пожалуйста, есть ли какие-то работы на эту тему или доп материалы? Случайно на 2м курсе сам наткнулся на это свойство когда просто игрался с цифрами на скучной паре по дискретной математике)
Я сам про это задумался, только после вопроса подписчика )
Прикол я так делал когда мне было скучно Пытался понять закономерность квадратов
Тема: математикомагия. Никто с ума не сходит 😉
Борис плиз плиз плиз, мне интересно геометрия Лобочевского,сделай видео,хочу увидеть твою точку зрения к Лобочевскому,неЭвклидов геометрия
для степеней 1/2 1/3 .... 1/n - тоже красиво. 42.
Борис, вы точно знаете. Как несложную гармоничную функцию отразающую некую энергию, преобразовать в бесконечно малую функцию?? Допустим функция вашего голоса, которая рисует то что вы говорите. Можно ее преобразовать в бесконечно малую функцию, как бы заключенную (в оболочке) бесконечно малой точки (бесконечно малой сферы). Или я что то неправильно излагаю?
Скажите , есть ли смысл в 3 производных или это 3- е измерение?
Вычисление степени через последовательность сумм. Интересно, в мат.пакетах так делают для упрощения вычислений?
Не знаю )
Нет, это не имеет практического смысла. Для получения одного тысячезначного квадрата потребуется больше сложений, чем если перемножить их по методу Карацубы (или напрямую)
Замечал это свойство, но не знал о производных и откуда она берётся
А я вот не замечал ) Или замечал, но забыл (
А были ролики про формулу Баеса? Я чёт посмотрел уже три видео на ютубе - и так и не уловил. Формулу вижу - посчитаю. Задачу вижу - до формулы не допру..
Практическое применение ?
Ого ! Какой вы умный ! Скорее всего такой ум стоил вам огромных трудов
Это ж как в ряде Тейлора
Борис Викторович вы читаете мысли? 44 минуты назад я задумался о степенях ,а сейчас нашёл ответы .Вы гений
Учитывая то, что снял я это две недели назад, я читаю будущие мысли ))
Какой рост у бв?
А меня интересует такой вопрос: нужно ли изучать ВУЗовскую математику школьникам? С одной стороны, это может помочь глубже понять темы школьной, но с другой, это заберет много времени и сдать экзамены можно и без неё. Но тем не менее, мне она нравится и я хотел бы её глубже изучать. Лучше дождаться ВУЗа или начинать сейчас?
Если хочется, то учи сейчас
Видел что то похожее в интерполяционном многочлене в форме ньютона.
побожьжите.. а если корни взять? степени 1/2, 1/3...
Пусть а_0, а_1, ... , а_n -- члены арифметической прогрессии. Верно ли что, а_0^k+a_1^k+...+a_n^k -- многочлен степени k+1? Я посмотрел несколько частных случаев, вроде бы это верно, интересно было бы про это послушать
Если имеется ввиду многочлен p(a_0), тогда да
1
Цікава😮
Ну, а что это даёт для математики ?
Trueшин
Северус Снегг, пададжыте, не успеваю записывать
Здравствуйте, Борис. У меня есть вопрос, ответ на который я нигде не могу найти, буду очень вам признателен, если поможете. На школьной олимпиаде было такое задание: Произведение косинусов противоположных углов четырехугольника равны друг другу. Доказать, что этот четырехугольник имеет как минимум две параллельные стороны. Дело в том, что я даже не полностью уверен в корректности этого задания. Я могу это доказать для произвольного параллелограмма и произвольной трапеции. Я предположил, что существует такой четырехугольник, который обладает нужным свойством. Потом сказал, что если это не трапеция и не параллелограмм, то в нём нет равных углов и нет дополняющих друг друга до 180, а значит их косинусы не равны. Ну и вроде-бы действительно вряд-ли для такого четырехугольника может выполняться условие, но вот я не знаю как это доказать. Что скажете, Борис, можно ли с таким справится?
Если разложить произведение косинусов в сумму, получится 2 cosα cos β = cos(α+γ) - cos(α-γ) = cos(β+δ) - cos(β-δ). Но так как сумма углов 360°, то cos(α+γ) = cos(β+δ) и остаётся, что косинусы разности углов тоже равны cos(α-γ) = cos(β-δ), откуда следует, что разности либо равны либо противоположны. Из этого простой арифметикой можно получить, что сумма каких-то двух соседних углов равна 180°
@@ivanerofeev1269 Спасибо!
3:03 в пятой степени 225?🤞
На красивую дату красивое правило !
А что за дата? )
100 выпуск "ботай со мной" !
можно ли из этого доказать a^n+b^n=c^n+k=n!*x+k+y
что я смотрю в три часа ночи
4:20 не понятно, как эта производная берется, можете кто нибудь объяснить?
Она берётся аксиоматически, если по-русски, то просто так назвали. То есть мы взяли одну последовательность (любую!!!), потом из разницы соседних её элементов сделали новую последовательность. И чтобы эту получившуюся как-то назвать, назвали её «производной» по отношению к исходной. Ну а потом оказалось, что если исходную последовательность слегка модифицировать, то производная последовательность на это реагирует предсказуемо. Всё дальнейшее - результат применения производной к себе самой несколько раз подряд.
буквално на днях вышло видео на канале mathologer, которое буквально об этой теме рассказывает.
Бывает ) Я не смотрел, а снял это ещё две недели назад
Спасибо за ролик! Несколько дней назад у Mathologer вышло подобное видео "Why don't they teach Newton's calculus of 'What comes next?'" Там тоже много чего интересного kzhead.info/sun/Z6Wuhp1rg4GGln0/bejne.html
Случайности не случайны
Я это заметил когда искал закономерности в распределении простых чисел(не нашёл). А этот факт отмёл как бесполезный.
О, про это свойство (и не только) был ролик на англоязычном канале Mathologer))) я, кажется, знаю, откуда ваш человек в комментариях нашёл это свойство))) ролик кстати классный был, советую
Это же производное многочлена n-ой степени)
То чувство, когда только изучил производные, и поэтому это вообще не сильно впечатляет( (x^n)' = n*x^(n-1) ). Хотя о факториалах не догадывался)