ОЛИМПИАДА БАРСЕЛОНЫ! Биссектрисы в трапеции.

Из углов М и К построил перпендикуляры к АВ и СD соответственно, поименовал полученные отрезки сторон, быстренько нашёл NP, равное четырём, а потом запутался, приуныл и стал смотреть, как делает мастер :)

Красивое решение. Спасибо.

Круто!

Точка М т. К центры выписаны окружностей поскольку лежат на пересечении бисектрис, значит МК лежит на средней линии трапеции, как вариант их можно совместить

Простенько, но красиво. Итак, концептуально: совместить М и К, сдвинув на МК. Сумма оснований уменьшилась на 2МК и стала равна сумме боковых сторон, получилась описанная трапеция, найти её радиус (полвысоты трапеции) не составит труда. МК = [(a + b) - (c + d)]/2= 4. S = 24.

Сожмём трапецию по горизонтали так, чтобы точки M и K соединились в одну точку. В результате получим трапецию, в которую можно вписать окружность, т.к. биссектрисы пересекаются в одной точке. Основания новой трапеции будут 25 - x и 11 - x, где x - ширина прямоугольника, а боковые стороны останутся прежними: 13 и 15. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Отсюда: 25 - x + 11 - x = 13 + 15; 8 = 2x; x = 4. Кроме того, диаметр вписанной окружности будет высотой, а значит, радиус, который равен высоте прямоугольника - половиной высоты. Высоту я нашёл так же, проведя через B параллель к CD и получив треугольник со сторонами 13; 14; 15, площадь которого легко ищется и много раз находилась в предыдущих задачах. Отсюда высота треугольника и трапеции равна 12, а высота прямоугольника 6. Площадь 4•6 = 24. Квадрат же в исходной трапеции получится, если мы, напротив, растянем трапецию на 2, т.е. сделаем основания равными 27 и 13. Но если мы продолжим сжимать трапецию после совмещения M и K, то точка K уедет влево, а M - вправо, и, сжав трапецию ещё на 6, в итоге на 10, то мы получим ещё одно решение, когда внутри трапеции будет квадрат: при основаниях 15 и 1.

Длина отрезка MK находится как разность между длиной средней линии трапеции и полусуммы её боковых сторон, потому что точки M и K вершины прямоугольных треугольников при прямых углах. (25+11)/2-(13+15)/2=4 Длинe отрезка MN=h/2=6 можно найти из следующей системы уравнений: h^2+x^2=13^2; h^2+y^2=15^2; x+y=14 -разница между длинами оснований трапеции; где Х и Y - катеты прямоугольных треугольников, лежащие на основании трапеции, образованных боковыми сторонами AB и CD, как гипотенузами и высотой трапеции h, как вторым катетом. Соответственно Sabcd=6 x 4=24 уфф.... вот так написал )))

Для KM получается симпатичная формула: KM=|a+b-c-d|/2, где a и b - основания, c и d - боковые стороны.

Валерий, благодарю! Только про озвучивании формулы по подсчёту МК там не тринадцать с половиной и не пятнадцать с половиной, а тринадцать пополам и пятнадцать пополам, как вы и записали. Но озвучили подругому. Задача и решение - замечательные.

От обратного пошел. Провел радиусы описанной окружности боковых треугольников и доказал, что они лежат на средней линии трапеции.

ДЗ: а = 27, b = 13.

ДЗ, Розовый прямоугольник станет квадратом в 2 случаях. 1) а = 27, в = 13; 2) а = 15, в = 1. Ва втором случае т.М будет справа, а т.К - слева ( точки М и К останутся внутри трапеции, МG = 1.5, КТ = 0.5.) В качестве бонуса: точки М и К совместятся при а = 21 и в = 7.

У описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых, а значит сумма оснований больше суммы боковых на 2 MK.

хм... можно опустить из тчк В и тчк С высоты на на AD... обозначим точками О и О1 соответственно... тогда если АО обозн за t, то О1D=14-t (вычли верхнюю планку)... теперь можно выписать пифа для треугов АВO и O1СD, приравняв высоты 169-t^2=225-(14-t)^2... отсюда t=5... тогда cosBAD=5/13... а косин половинного угла ВАМ=3/√13... кстати, забыл - треуги АВМ и КСD прямоуг, поскольку их остальные углы дают в сумме 90гр... так...тогда АМ=3√13... ну и AN=9, а MN=6... по такому принципу разворачиваем правы угол cosCDA=9/15... cosKDP=2/√5...tgKPD=1/2...PD=12...NP=25-12-9=4.... искомая площадь 24

1)Опускаем перпендикуляры MB' на AB и MN' на BC. Видим что получившиеся прямоугольные треугольники с вершинами в т.А и общей гипотенузой AM равны между собой, также равны между собой прямоугольные треугольники с одинаковыми вершинами в B и общей гипотенузой BM, а следовательно перпендикуляры равны между собой и равны стороне прямоугольника MN, а уже из этого следует что N'N - высота трапеции и точка М, а следовательно и сторона MK прямоугольника лежит на средней линии трапеции, которая делит боковые её стороны пополам и равна (BC+AD)/2=18. Средняя линия (EF) параллельна основаниям трапеции, тогда углы MAN=EMA, и углы КDP=FKD равны как накрест лежащие, отсюда следует что ▲AEM и ▲KFD равнобедренные, а их боковые стороны AB/2=EA=EM=6.5 и CD/2=FD=FK=7.5, тогда MK=EF-(EM+FK)=4. 2)Вычтем из основания AD основание BC и получим 14. Опускаем перпендикуляры-высоты трапеции BH и CH' на AD, у получившихся прямоугольных треугольников ABH и CDH' обозначим катеты AH=X и H'D=14-x. BH²=13²-x² и CH'²=15²-(14-x)², приравниваем, решаем уравнение и получаем x=5, подставляем в любое из уравнений и получаем высоту трапеции равную 12. Ранее мы выяснили что MN половина от высоты трапеции, тогда MN=6. S(ABCD)=MK*MN=6*4=24.

мда... посмотрел валерия... виртуозно... и как это я не усмотрел что h=2MN... наворотил тут)) ну как есть... спасибо, задача супер

Поворчу немножко. Ну, вообще-то, не очевидно, что розовый четырехугольник - прямоугольник. А в условии заявлено, что надо найти площадь прямоугольника. Вы это потом, конечно, показали в процессе решения, но из условия лучше было бы убрать.

Если бы М и К были одной точкой, то в трапецию можно было бы вписать окружность, и было бы AD+BC = AB+CD. Значит в действительности (AD+BC) - (AB+CD) = 2*MK. И т.д. ...

Вот, кстати, пример, в продолжение моего последнего комментария (про параллелограмм и две вписанные окружности). Здесь этот прием (если это можно назвать приемом, просто некая игра ума) можно применить дважды. Если вырезать из трапеции красный прямоугольник и его продолжение до верхнего основания, (ну, то есть через точки пересечения биссектрис провести высоты и вырезать получившийся прямоугольник), а потом сдвинуть оставшиеся части, то получится описанная трапеция, так как биссектрисы всех углов будут пересекаться в одной точке. Суммы противоположных сторон будут равны, то есть горизонтальное расстояние между точками пересечения биссектрис равно (25 + 11 - 13 -15)/2 = 4; У получившейся описанной трапеции основания будут 7 и 21 Я еще раз применю этот же "прием", хотя то же самое можно проделать проще. Из вершин тупых углов этой (а можно взять и исходную, это все равно) трапеции проводятся высоты, и опять вырезается прямоугольник, а два треугольника склеиваются (сдвигаются так, чтобы линии разреза совпали). Получился треугольник 13,14,15, очень хорошо известный, он "склеен" из двух Пифагоровых 5,12,13 и 9,12,15 так, что катеты 12 совпадают, а катеты 5 и 9 вместе образуют сторону 14. Значит, высота трапеции 12, а стороны красного прямоугольника 6 и 4

Простите, вопрос не в тему. Как доказать, что точка пересечения биссектрис при верхних углах трапеции, точка пересечения биссектрис при нижних углах и точки середин оснований трапеции лежат на одной прямой?

Хорошая задача. И это опять вопрос знаний школьных фактов, которые в школе, как правило, не знают. Причем, что обидно, не знают не только ученики:-). А знать надо, по сути, немного: 1) биссектрисы пересекаются на средней линии 2) биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники 3) (следствие из 1 и 2) длина отрезка между точками пересеч.бисс-с равна модулю разности полусуммы оснований и полусуммы боковых сторон 4) если даны 4 стороны трапеции и надо найти высоту, то делаем параллельный перенос одной боковой стороны в вершину другой боковой стороны и находим площадь тр-ка по Герону, а из нее - высоту. Вот эти 4 широко известных факта и решают эту задачу.