La géométrie révélée -- promenade autour des fonctions elliptiques et des surfaces de Riemann
Notes de la vidéo : www.antoinebourget.org/attachm...
ERRATA :
- à 1:34:27 on doit lire k^2 = 1-b^2/a^2 et pas k = 1-b^2/a^2 pour être cohérent avec les notations utilisées dans la vidéo. Attention, l'autre convention existe aussi, c'est pour ça que dans le programme Mathematica j'ai utilisé k = 1-b^2/a^2 pour avoir la bonne valeur...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Résumé
Cette fois, nous allons prendre les chemins de traverse pour explorer l'un des sujets les plus captivants des mathématiques, mais qui se trouve enfoui et assez peu connu du grand public. Nous verrons que toute cette richesse est cachée dans la dynamique du pendule simple -- mais sans l'approximation sin(u)=u ! Cette résolution exacte ouvre la porte au monde fascinant des fonctions elliptiques, joyau du 19ème siècle, mais surtout catalyseur d'une formidable révolution. C'est en effet pour les comprendre que Euler, Gauss, Jacobi, Abel et Cauchy vont fonder l'analyse complexe, mais c'est Riemann qui comprendra vraiment la géométrie qui se cache derrière. Ce faisant, nous verrons qu'une discipline entière a été créée pour étudier ces fonctions : la géométrie algébrique ! Mais ce n'est pas tout, c'est encore ce problème qui conduira quelques années plus tard au développement de la topologie algébrique, de la théorie des formes modulaires, etc...
Dans cette vidéo, nous allons parcourir ensemble (le début de) cet incroyable cheminement, dans un développement où nous verrons devant nos yeux ébahis la géométrie révélée.
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Plan
00:00 Début
4:37 Introduction : longueur des courbes, fonctions périodiques
17:50 Pendule simple avec approximation
30:20 Sinus et Arcsinus revisités
42:22 Pendule simple sans approximation
50:50 Étude des solutions, sinus amplitudinus
1:01:10 Résumé sur les fonctions périodiques et périodes
1:09:20 Rectification du lemniscate
1:16:43 Périmètre de l'ellipse
1:19:00 Moyenne arithmétique-géométrique
1:36:40 La géométrie cachée du sinus
1:59:10 Définitions générales des surfaces de Riemann
2:11:10 Exemple : la sphère de Riemann
2:14:30 Exemple : la racine carrée
2:21:00 Formule de Riemann-Hurwitz
2:29:00 Interlude : Projection cartographique sur un tore
2:45:00 Retour au sinus elliptique et géométrie
2:54:40 Périodes et courbe elliptique
3:04:25 Petite chronologie et variétés abéliennes
3:16:00 Structure de groupe sur les courbes elliptiques
3:24:40 Conclusion : la trichotomie Elliptique / Trigonométrique / Rationnel
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Référence : Elliptic Curves (Henry McKean & Victor Moll), CUP, 1999.
J'ai mis presque un mois à regarder cette vidéo jusqu'au bout, en y revenant plus de 10 fois pour essayer de tout comprendre. Merci de nous proposer un contenu aussi riche, c'est absolument excellent !
Bravo, c’est comme ça qu’on comprend vraiment! Souvent on me dit que mes vidéos sont trop longues mais je réponds qu’il faut regarder en plusieurs fois et y revenir souvent!
Je vous remercie ! Avec Lê Nguyên Hoang (Science4All), Alessandro Roussel (ScienceClic) et Richard Taillet (La Formation, sur le site de l'université Grenoble-Alpes), vous avez changé mon regard sur les mathématiques.
Je revisionnerais avec plaisir cette vidéo que j'ai suivie en lors de diffusion en direct. Merci de m'avoir fait découvrir les travaux de Gauss sur la lemniscate, et la constante associée.
Merci beaucoup, c'est un grand honneur d'être associé à ce groupe de grands vulgarisateurs !
toujours une qualité exceptionnelle.
Merci !
Merci beaucoup pour tout ce contenu !
Merci !
Bonjour, Merci pour votre travail de transmission de savoir. J'aimerai tellement une bonne vidéo sur les topos de Grotthendieck. Les vidéos du net attaquent avec un jargon super technique sans petit coup de rappel et du coup ils larguent une grosse partie de l'auditoire potentiel. Voilà un magnifique sujet à détailler !
Merci pour votre commentaire, malheureusement je ne maîtrise pas (encore?) les topos, donc si vidéo il y a, ce n'est pas pour tout de suite!
Une chose qui m'a toujours fasciné, c'est que cette branche tout de même très technique des mathématiques a en quelque sorte pris de l'avance sur d'autres branches en apparence plus simples: par exemple, la réduction de Jordan, qu'on enseigne dans n'importe qu'elle prépa, est contemporaine de ce qui est décrit dans cette vidéo, d'un niveau pourtant très supérieur. Idem, Riemann Roch, années 30, théorème de l'indice, 30 ans plus tard.
Un pur plaisir !
Merci, content que ça t'ait plu (et bon courage pour ta chaîne !)
Passionnant et superbement expliqué :)
Merci beaucoup!
Une vidéo exceptionnelle ! Merci infiniment, j'ai beaucoup appris en topologie et aussi sur l'arc sinus!
Merci, content que ça t'ait plu !
Encore une belle vidéo qui permet de voyager dans le paysage varié des mathématiques, entre théorie des nombre, des groupes, topologie etc. Sera t il possiible de pousser le voyage jusqu'à donner une idée du programme de Langlands ?
Merci! Pour Langlands oui j'aimerais bien en parler un jour mais je ne suis pas du tout spécialiste donc il faudra que j'étudie ça!
Ca c'est la vraie base de géométrie algébrique. Bien expliquée
Merci!
En fait, quand à 45 mn, on multiplie par la dérivée de theta, il me semble qu'on raisonne par équivalence; ne faut il pas un argument physique pour justifier que les points où elle s'annule sont isolés (du genre dans ce cas, le pendule restera définitivement à l'arrêt)?
tu expliques bien pour quelque chose de difficile a expliquer
un bon prof!!
Merci !
Top comme d'hab. Merci.
Merci !
Bonjour. Les expliquions sont hyper limpides. Merci beaucoup. Question : Quel support vous utilisez pour écrire aussi bien ?
Merci beaucoup ! J'utilise le logiciel Gimp et une tablette graphique.
Merci beaucoup M. Antoine. Vos vidéos sont de très hautes qualités. On apprend beaucoup de vous. Du moins j'apprends beaucoup de vous. PS: J'aimerais savoir quel logiciel vous utilisez pour faire ce beau travail ?
PS => Cf. sa « FAQ 10000 abonnés » vers 2h42
Superbe vidéo merci beaucoup! A 1:16:38 pour les paramètres du lemniscate vous avez noté x point et y point, qu’est ce que ça signifie?😅
Les points ici indiquent simplement la dérivée temporelle, donc x point de t c'est pareil que x'(t). Merci pour le com !
Le sinus de Jacobi (sn) donne la courbe de la corde à sauter (un fil tenu par ses 2 bouts mis en rotation) en pesanteur nulle.
Merci et bravo encore pour cette belle vidéo. Et du coup quel est le lien avec la crypto ?
Je n'ai pas trop eu le temps de détailler, mais en gros la structure de groupe définie sur la courbe elliptique sur un corps fini permet de créer des algorithmes, voir par exemple ici : fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie_sur_les_courbes_elliptiques
2:07:00 pour connaitre le genre, il faut compter le nombre de trous !
Grand Merci c'est pro
Merci!
Je n’ai pas bien compris cette histoire de coupure concernant les fonctions complexes . Pourquoi travailler avec 2 objets identiques pour passer de l’un à l’autre ? 🤔 Merci de m’éclairer ! J’aime beaucoup vos explications concernant le sn et les fonctions elliptiques ,…. 👍👌
C'est parce qu'il n'y a pas de façon de choisir de façon continue une seule des valeurs pour certaines "fonctions multivaluées". Par exemple étant donné un complexe a, une racine carrée de a est un nombre z tel que z^2=a, mais il y a deux tels nombres. J'ai expliqué cet exemple en détail à un moment dans la vidéo
@@antoinebrgt Merci ! Donc à chaque fois qu’il y a une ou plusieurs coupures , on a autant de copies des surfaces les représentant!?
@@paris0175 pas forcément autant, par exemple dans le cas de la racine carrée il y a 1 coupure et 2 feuillets. Dans le cas considéré dans la vidéo pour les fonctions elliptiques il y a 2 coupures et 2 feuillets.
@@antoinebrgt Merci . Alors comment savoir le nombre de coupures de la fonction et le nombre de feuillets correspondants? Merci beaucoup de m’en dire un peu plus !
@@paris0175 la réponse à cette question constitue la formule de Riemann-Hurwitz, que je présente dans la vidéo. Mais il n'y a pas de formule qui dépend uniquement du nombre de coupures (on peut avoir 10000 coupures et toujours 2 feuillets!)
Je conseille aux amateurs de regarder le magnifique problème d'ENS Ulm-Cachan de 1995 (option math, 4h) qui reprend une bonne part de cette vidéo. Bien entendu, tout sauf facile...
j'aime les révélations
Je me permets concernant le tout début, de préciser qu'une fonction est périodique en toute rigueur si l'ensemble de ses périodes est non vide et si il a une borne inf >0, donc la fonction delta n'entre pas tout à fait dans cette définition;
Je pense que cela dépend de la définition, il me semble que le plus intuitif est de dire que f est périodique de période T si f(x+T)=f(x) pour tout x. Et alors il est possible que l'ensemble des périodes n'ait pas de borne inférieure. Évidemment si on impose qu'il y ait une borne inférieure alors on retombe sur le cas lisse, et alors on a directement la trichotomie sur la dimension de l'espace des périodes (0d, 1d, 2d).
La différence entre sin et sn est que K' c'est fini.
Oui exactement, on peut le dire comme ça !
A 1:37 les dessins m'ont complètement perdu. J'ai laissé tomber étant donné que je n'ai pas une vision en 4D.
En principe ici il n'y a rien en 4d, tout est 2d, dessiné plongé en 3d
Ça pique un peu les yeux votre truc, entre fonctions multiévaluées (sic à 35mn), je tourne dans le plan complexe (lol), et il faut le comprendre et si on y croit (relol) (à 37mn) et c'est joli comme construction (sic). Ben voyons !
Oui, quand on découvre ça la première fois c’est toujours déconcertant ! Il faut persévérer, et normalement d’ici la fin de la vidéo le formalisme devrait commencer à vous sembler naturel :)
lémoticone....
Oui ce qui me gêne c'est surtout le manque de formalisme et de rigueur (même pas au sens mathématique où vous faites un peu du caca, mais au sens intellectuel). Si vous avez besoin de parler de variétés fibrées parlez-en sans en donner la preuve, mais si vous parlez de fct multiévaluées c'est comme dire que vous n'avez pas compris ce qu'est une fct. Le tout agrémenté de commentaires du genre "si on y croit". Caisse à dire? Les maths c'est comme le catéchisme : il suffit d'affaler n'importe quelle connerie sur le papier pour que ça la valide? Et je n'ai pas le temps de poursuivre plus avant dans votre video, votre stratégie de départ semblait intéressante. Cordialement.
Le but est justement de construire l’intuition avant de donner le formalisme... mon opinion est que c’est la meilleure façon de comprendre en profondeur et pas juste de façon superficielle, comme c’est parfois le cas chez les étudiants à qui on expose le formalisme.
(On peut ajouter que cette approche a aussi un intérêt historique, puisque c’est ainsi que les surfaces de Riemann ont été découvertes)
i speak and understand only english not hebrew or latin
That's a great opportunity to learn a new language!
j'ai defini 2 fonctions suivantes sous python. import numpy as np import scipy.integrate as integrate def f(x,k): return 1/np.sqrt((1 - x**2)*(1 - k**2 * x**2)) def K(k): return integrate.quad(lambda x: f(x,k), 0, 1)[0] # parametres definis dans video 1:35:15 # (0
Ah je crois que j'ai oublié une racine carrée sur la définition du k! C'est parce qu'il y a deux définitions possibles pour K(k), une avec un k dans l'intégrale et l'autre avec k^2, j'ai essayé de rester cohérent mais Mathematica (et scipy) utilisent l'autre convention... Est-ce que ça marche en définissant k = sqrt( 1 - b**2/a**2 ) ?
@@antoinebrgt ça marche k=1-b^2/a^2 scipy utilise k K(k) doit utiliser sqrt(k)