Equi-décomposition et mesure (Quadrature du cercle de Tarski avec démo) - Passe-science #46
Parlons de l'équi-décomposition de Tarski d'un carré en un disque (avec démo!) et en chemin regardons l'equi-décomposition des polygones, des polyèdres, le rapport avec la notion mathématique de mesure et les paradoxes autour de cette dernière.
Retrouvez Passe-science sur Utip, Tipeee:
utip.io/passescience
www.tipeee.com/passe-science
Merci à @Quadriviuum pour la relecture!
Sommaire:
- 00:00 Introduction
- 01:03 Le cas polygone
- 04:33 Le cas polyèdre
- 06:09 Découpe ensembliste
- 08:55 Notion de mesure et paradoxes
- 16:32 Démo décomposition disque-carré
- 27:09 Epilogue et illustration making-of
- 30:30 Outro
L'article de quanta magazine:
www.quantamagazine.org/an-anc...
Page Wolfram sur les dissections de polygones:
mathworld.wolfram.com/Dissect...
Numberphile sur l'invariant de Dehn:
• The Dehn Invariant - N...
Quadrature du cercle EL JJ:
• Deux (deux?) minutes p...
Banach Tarski VSauce, EL JJ:
• The Banach-Tarski Paradox
• Deux (deux ?) minutes ...
Dimension fractale 3Blue1Brown:
• Fractals are typically...
Autres sources:
en.wikipedia.org/wiki/Tarski%...
www.math.ucla.edu/~marks/talk...
www.math.ucla.edu/~marks/talk...
www.math.ucla.edu/~marks/cs_i...
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"THE RIGHT MUSIC FOR VIDEO" HighTechCorporate
Groove grove Keving Macleod
Brittle rille reunited Kevin Macleod
Legend of one Kevin Macleod
www.musicscreen.org/Royalty-f...
Mix Kevin Macleod (Kerbal space program)
Beaucoup issu de youtube audio library me demander si j'en oublie.
Le Banach Tarski par El JJ qui ne rentre pas dans les fiches: kzhead.info/sun/md6ylJRqeoqcYIE/bejne.html Et le reste: Numberphile sur l'invariant de Dehn: kzhead.info/sun/mL2foLd5r3mXnoE/bejne.html Quadrature du cercle EL JJ: kzhead.info/sun/icuHhauweXauiHk/bejne.html Banach Tarski VSauce: kzhead.info/sun/ppxvXb5lepSXe3k/bejne.html Dimension fractale 3Blue1Brown: kzhead.info/sun/mqZynpaff6V-gWw/bejne.html
Whaoo!!! on est sur du high level , là. de la poésie mathématique. Merci pour ce moment, ce voyage, extraordinaire. (même s'il va me falloir quelques 10^50 visionnages (au minimum) )
Plus que passionnant ! J'avoue qu'après avoir entendu "2 polygones de mémère", il a fallu que je rembobine pour pouvoir suivre tant je rigolais ;-) Et à chaque mention ("ils partagent la mémère"), j'avais la même image en tête.
Oui les fameux polygones de mémère, meme la transcription automatique était d'accord avec.
exact, j'ai eu le même effet , hilarant.
On aura jamais assez de (bons) vulgarisateurs en sciences/maths ! Super chaine, merci.
Excellente vidéo ! Merci beaucoup :) ça fait plaisir de voir du contenu scientifique technique sur KZhead !
ça explique notre conscience multidimensionelle et nos incarnations simultanées, j'aurais été incapable de mettre des mots là dessus, bravo à ce mec! wahoo ! 😍
Mais pourquoi c'est si intéressant? J'ai pas le temps d'approfondir T_T Merci pour ces notions géométriques si attractives
Une superbe vidéo, intéressante avec des explications claires ! J'aime beaucoup comment le sujet a été exploré dans beaucoup de ses ramifications.
Merci de garder mon cerveau affûté 👍
Bravo ! Arriver à présenter tout cela de manière aussi claire, c’est brillant !
Merveilleuse vidéo, exercice de haute voltige combinant avec une succès vulgarisation scientifique bien comprise et rigueur mathématique, tout cela parfaitement maîtrisé. Bravo ! J'ai noté une toute petite faute de frappe à partir de 11'30'', le symbole "appartient" est utilisé à la place du symbole "inclus".
Merci!
C'est marrant, je suis justement en train de lire sur le troisième problème de Hilbert (equi-décomposition de polyèdres) dans "proofs from the book"!
Toujours passionnant, chacune de vos vidéos est captivante et se regarde plusieurs fois, la juste dose entre vulgarisation et profondeur
Excellente vidéo, comme d'habitude.
Super intéressant et très bien fait!
Très bonne vidéo ! Merci beaucoup 👍
Très belle vidéo, continuez svp
Merci ! Super vidéo
Je serais ravi de vous entendre parler de cette fameuse nouvelle sur le codage complet de l'ADN humain et savoir si nous pourrions modéliser numériquement une personne d'après sa simple lecture ou bien plus dark encore si l'on souhaite créer des surhommes. Merci ^^
Petite correction à 6:44 : l’irrationalité de pi n’est pas ce qui prouve l’impossibilité de la quadrature du cercle à la règle et au compas. En effet, on peut construire plein (mais pas tous) d’irrationnels. Par exemple racine de 2 est facile a construire. Il aurait fallut parler de la transcendance de pi (pi n’est pas racine de polynôme a coefficients rationels) et non de son irrationalité.
Rigoureusement la transcendance est une condition suffisante mais pas nécessaire, il y a des nombres non constructibles qui ne sont pas transcendants, par exemple racine cubique de 2 :p
@@PasseScience oui
Je suis ébloui. Vraiment intéressant
Incroyable vidéo ! Merci beaucoup, la démonstration était très claire et le sujet est fascinant. Est-ce qu'on a déjà trouvé des applications à ces équi-décompositions autres que pour la théorie de la mesure ? (J'ai toujours pensé que la contrainte "l'ensemble doit être mesurable" était ajoutée par rigueur mais n'avait aucun impact puisque les ensembles qu'on utilise en pratique sont toujours mesurables. J'ai l'impression que les ensembles non mesurables sont des prouesses d'ingéniosité mais je ne vois toujours pas quel intérêt ils peuvent avoir mis à part pour être de magnifiques contre-exemples qui me font toujours plus douter de l'axiome du choix.)
Digne de constituer une émission télé a succès. Pensons y!
Merci pour cette présentation de la preuve. Ceci dit c'est quand même très velu, j'ai un DEA de maths qui date certes de 15 ans, mais j'ai du m'acrocher et j'ai du admettre certains passages, je me demande comment le public moins initié comprends cette vidéo.
Bonjour la sensibilité intuitive humain est intimement liée à sa rationalité mathématique, mais à une certaine limite énergétique très subtile on ne peut plus faire des mesures concrètes avec des appareils, il n'y a que la conscience créative qui 'exprime sa sensibilité théoriquement, mais c'est difficile de prouver et de la faire admettre à tout le monde expérimentalement......
2:13 : ce qui est évidemment toujours possible ? Bah jdois avoir une case en moins alors... Un peu velu sur la fin, mais je crois m'en être sorti, très bonne vidéo comme d'hab, tu es le seul sur yt à nous faire des preuves aussi détaillé
'toujours possible' pour un polygone ;-)
@@pascalneraudeau2084 Oui mais ça ne me parait pas évident
@@ramdamdam1402 il suffit de relier entre eux les sommets dont l'arête est entièrement contenu dans le polygone (et qui ne croise pas une arête déjà présente), et tu verras que tu n'obtiendras que des triangles.
Oui, je met un peu ce passage sous le tapis, disons que c'est suffisamment intuitif pour qu'on se dise que c'est possible et pas le point le plus important mais en effet rigoureusement, dès que les polygones sont non triviaux ce n'est pas si simple à démontrer. Je peux donner 2 démos, une très générale mais n'est pas très intuitive et l'autre qui est intuitive mais plus délicate à démontrer. La méthode bourrine (car elle découpe potentiellement des côtés en plein milieu): On choisit une droite qui n'est parallèle à aucun des côtés de notre polygone (c'est possible puisqu'il y a une infinité de choix et un nombre fini de côtés), on trace toutes les parallèles à cette droite qui touche au moins un sommet du polygone et on découpe notre polygone selon ces droites. Ca fait des tranches et par tranche on peut avoir plusieurs morceaux de polygones s'il est non convexe. Mais les morceaux qui restent sont soit des triangles soit des trapézoïdes (découplables en 2 triangles) et du coup c'est bon. La méthode plus naturelle c'est "ear clipping" voir ici: en.wikipedia.org/wiki/Polygon_triangulation
@@minirop Faudrait-il pas recommencer l'opération, car j'ai l'impression qu'on se retrouve avec un polygone convexe après ton opération
la quadrature du cercle ? je l'ai résolue depuis longtemps, d'ailleurs j’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge de cet espace commentaire est trop étroite pour la contenir...
ta joke marche pas puisqu'il est démontré que c'est impossible (contrairement à la conjecture de Fermat en son temps ;)
Attention à 6:40, on pourrait croire que c'est l'irrationnalité de pi qui remet en cause sa constructibilité... la réponse fournie par le théorème de Wantzel est moins accessible Très bonne vidéo !
Oui c'est sa non constructibilité qui remet en cause sa constructibilité :p ( j'aurai du dire transcendant, ce n'est pas necesaire mais c'était suffisant) Je renvoie vers une video qui le detaille bien.
Est ce que la mesure de l'ensemble de vitali ne pourrais pas être un nombre (mais pas réel) du style epsilon (plus petit que tout nombre réel >0 mais pas 0 ?
Bonjour, Dans l'animation du tore, il y a quelquechose que je ne comprends pas très bien : qu'entendez-vous par une translation inférieure à une certaine valeur ? De plus, pourquoi à 20:27, avez-vous représenté le carré à l'intérieur du cercle, ainsi que des points rouges et bleus à plusieurs endroits différents ? Je vous remercie par avance :)
Hello *pourquoi à **20:27**, avez-vous représenté le carré à l'intérieur du cercle* ce que vous appelez "le cercle" dans cette expression n'est pas le cercle de la zone B, c'est simplement que j'ai dessiné une partie de la grille infinie et que j'arrête le dessin sur une limite circulaire. Et ce que vous appelez "le carré dedans" n'est pas le carré de la zone A, c'est une limite depuis le point rouge centrale qui traduit le sens de ce que veut dire "une translation bornée" (entre le point rouge du centre et un point bleu, il y a une flèche pour le symboliser un peu après). Pour les points bleus et rouges sur la grille ce qu'il faut bien comprendre c'est le passage 18:30 à 19:45 de la vidéo (bien comprendre ce qu'est le tore, à quoi ressemble la grille infinie de point sur lui, et à quoi ressemble le point de vue de la grille). Vous avez une question precise sur ce passage 18:30 à 19:45 ?
@@PasseScience Merci beaucoup pour votre réponse, ça m'a bien aidé !!! Je salue sincèrement votre investissement et tout votre travail dans vos vidéos 👍👍👍
👍
1:05 Et les polygones de pépère alors, tu n'y penses pas ?
La transcription automatique y avait clairement pensé.
J'ai atteint le niveau 1: je connais des gens très sérieux qui découpent des carrés pour en faire des ronds.
à 11:30 si la ‘distance’ entre deux rationnels consécutifs est 'epsilon' (comme disent les matheux, aussi petite qu'on le veut) est-ce que cette distance est calculable ? et constante ?
Si on prend 2 rationnels a et b alors on peut construire la moyenne c des deux c=(a+b)/2 qui est aussi un rationnel et se trouve entre les deux. Ce processus peut se faire indéfiniment, et donc il n'y a pas de notion de distance minimale entre deux rationnels, quelque soit la longueur aussi petite soit elle, si elle est non nulle, alors elle contient une infinité de rationnels.
du coup, en observant la courbe 1/n (n entier) dans sa globalité et en 'augmentant' l'échelle des coordonnées du plan (un peu comme si on reculait pour voir de plus loin), on s'approche du continu sans jamais l'atteindre ... à la limite (échelle infini) l' « hyperbole » 1/n semble se transformer en droite des réels, comme si on avait ‘transformé’ Aleph0 en Aleph1 en observant, depuis z, la courbe y=0 pour tout x … comme dans Flatland 🤔
Un com pour l'algo, pour commencer, par principe et je regarderai cette nouvelle pépite quand mon cerveau🧠 daignera sortir des draps.🥱
Salut ! À 13:00 je pense que les symboles ∈ devraient être remplacés par ⊂
du coup, on peut conjecturer la possibilité de décomposition du cube en tétraèdre ?
Si on le fait avec des coupes simples c'est impossible à cause de l'invariant de Dehn. Si on cherche à le faire avec des nuages de points c'est en effet possible, et meme pire que cela: c'est possible même si les deux solides n'ont pas le même volume à cause du paradoxe de Banach Tarski que j'évoque brièvement (le truc qui fait 2 boules depuis une boule) qui a pour conséquence que tout volume ou hypervolume (dimension >3) est équi décomposable au sens nuage de points en n'importe quel autre volume ou hypervolume. (En dimension 2 cependant ce n'est pas le cas, pour equidecomposer il faut la meme aire).
10^50 morceaux ok, mais c'est un majorant. C'est amusant de penser que le nombre de morceaux minimal (mettons sans condition particulière sur leurs formes) est un entier universel bien donné (et indépendant de la construction proposée en preuve). ... Même si cet entier est donc inférieur à 10^50, et très probablement bien plus petit, il devrait être tout de même encore immense... A-t-on un espoir de pouvoir déterminer un jour cet entier ? (qui, en généralisant, serait d'une certaine manière caractéristique du couple de formes initiale/finale de mémère ;) à l'instar de l'invariant de Dehn, éventuellement infini si l'équi-decomposition n'existe pas)
Oui c'est un majorant, la méthode permet de réduire un peu le majorant mais pour ce que j'en comprend elle ne semble pas adaptée à trouver de bons majorants. *C'est amusant de penser que le nombre de morceaux minimal (mettons sans condition particulière sur leurs formes) est un entier universel bien donné* Ça va dépendre de ce qui est autorisé et il est possible que si on est trop laxiste (comme autoriser les approches non constructives avec ou sans axiome du choix) ce nombre ne soit même pas défini (indécidable), ça serait étonnant, mais ce genre de choses arrivent en maths. Mais oui sinon en s'y prenant bien on peut avoir un nombre caractéristique de nature étonnante. *A-t-on un espoir de pouvoir déterminer un jour cet entier ?* Je ne pense pas qu'on dispose des outils pour avoir un min, par contre ça semble assez clair qu'on pourrait aborder le problème d'une autre manière pour espérer des petites valeurs, si on découvre qu'elles sont suffisamment petites ça peut devenir possible de demontrer qu'on peut pas faire mieux. *il devrait être tout de même encore immense* C'est ce que je croyais aussi mais A.Marks estime que si ça se trouve une 20aine de pieces ça passe, l'argument est essentiellement que ça marche bien dans l'approximation pixel (avec A.Mathe qui exhibe dans cette approx l'animation avec 6 pieces). Au départ je ne pensais pas que ça puisse être petit, mais en ayant observé moi même le comportement du problème pixel avec un programme similaire j'ai pu me rendre compte qu'ajouter une pièce (une translation possible) fait exploser les degrés de liberté du problème et du coup une piece en plus donne vraiment un pouvoir enorme, ce qui va dans le sens que dans le vrai probleme, peu de pièces c'est envisageable.
@@PasseScience Très intéressant, merci pour la réponse (et avant tout pour la vidéo extrêmement bien réalisée et présentée ! Et super didactique !). J'ai tout de même un doute sur le fait que le nombre de morceaux pourrait être indéfini ou non calculable, à partir du moment où ce qui est autorisé est clairement défini en amont. D'autant plus que ce nombre devrait logiquement décroître en relâchant les conditions exigées si bien qu'en étant "trop laxiste" (aucune condition de dimension fractale de contour, ni de mesurabilité, ni même de constructivité... peut-on encore relâcher quelque-chose ?), le nombre de morceaux devrait être plus réduit, non ? Mais il est vrai que ces histoires de non calculabilité choquent l'intuition. Question meta, du coup : ne pourrait-on pas prouver, si on définit rigoureusement le type de morceaux autorisés (disons au moins dans le cas le plus laxiste), que ce nombre est calculable... Ou bien l'énoncé "Sous telles et telles conditions, le nombre de morceaux minimal est calculable" pourrait-il être... indécidable 🤯
@@Faxbable Déjà on pose nécessairement des contraintes car on pose le cadre axiomatique pour définir le problème et dans lequel on en cherche une démo. Disons ZFC. D'après le théorème de complétude de Godel (sans le in- : en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem) si il existe un nombre de pièces qui convient dans tous les modèles de notre théorie et que pour aucun de ces modèles il n'y a de nombre plus petit qui convient, alors il sera démontrable dans ZFC que ce nombre est bien le min. Mais on pourrait très bien se trouver dans un cas ou pour un des modèles de ZFC le min est différent du min dans un autre modèle de ZFC, auquel cas cette vérité serait indépendante de ZFC, indécidable, non démontrable dans ZFC. Et c'est parfaitement compatible avec l'existence d'un majorant, on peut avoir un majorant qui marche dans tout modèle, et donc qui est démontrable dans ZFC, sans pour autant avoir de min démontrable dans ZFC (car dépendant du modèle de ZFC qu'on choisit) De prime abord du coup je ne vois rien de trivial! d'autant plus qu'ici on parle de nuage de points et de partitions dans des ensembles à la puissance du continue qui sont presque partout constitués de points qu'on ne peut meme pas définir mathématiquement (car une définition est un texte, donc il y en a une infinite denombrable et les points ici sont en infinité non dénombrable). Une grande partie des cas d'indécidabilité semblent paradoxaux on a l'impression que c'est soit vrai soit faux alors que les maths nous disent que ca peut etre l'un ou l'autre en fonction de ce qu'on décide d'ajouter comme axiome. Ca me rappelle ce probleme la: en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger%E2%80%93Nelson_problem qui traite aussi de partitionnement du plan, et il me semble avoir croisé à une époque un truc qui disait qu'on était pas certain que le nombre min soit décidable (malgré le fait qu'on puisse démontrer qu'il est inférieur ou égal à 7 et supérieur ou égal à 4) L'intro dit bien: The correct value may depend on the choice of axioms for set theory. Après ça dépasse clairement mes capacité ici, mais mon instinct de prime abord ne voit pas d'argument simple.
1:51 qu'ils partagent la mémère ? 🤔
Oui, meme la transcription automatique est d'accord avec ca.
J'ai du mal avec l'argument statistique à la fin, d'autant plus génant que l'on sait que c'est là que la magie opère (je passe sur les réseaux de flot à entiers bornés même si on reste un peu sur notre faim, parce que j'imagine que c'est loin d'être évident). On sent bien que, en effet, statistiquement, un truc qui grandit généralement en O(n^2) va bien finir par être plus grand qu'un O(n). Mais c'est un peu le problème: le théorème centrale limite nous donne bien sûr certaines garanties, mais permet-il vraiment d'affirmer que l'on va "nécessairement" finir par tomber sur un n suffisament grand pour vérifier la propriété? Je veux dire qu'on ne pourra pas trouver un seul contre-exemple où le flot est trop important pour être compensé par les sources à l'intérieur du carré? C'est bien ça que ça veut dire "borné", non? Qu'il existe une valeur de la borne pour laquelle il n'y a pas de contre-exemple? Globalement, je suis plutôt convaincu, mais ce point particulier parait un peu fumeux, non?
Hello, c'est une ébauche de preuve, bien sûr que pour rigoureusement démontrer la chose on ne se contente pas de dire "au bout d'un moment ça marche" :) Cependant c'est une technicité, c'est à dire que ce qu'on utilise concrètement c'est bien ce fait (que le quadratique dépasse le linéaire partout au bout d'un moment), et le démontrer rigoureusement ensuite est simplement affaire de technique, il faut définir précisément les quantités dont on parle, les fonctions dont on parle, exprimer des encadrements précis et construire une constante depuis les définitions à partir de laquelle ca passe. On notera aussi que pour que l'argument marche il faut que la borne soit la meme sur toutes les orbites (si toutes les orbites sont bornées avec des bornes différentes leur union peut ne pas avoir de majorant, je ne sais pas comment est adressé ce point). En tout cas c'est en effet un point délicat, et ça prend certainement plusieurs pages, mais c'est le cas aussi de beaucoup d'autres points de la preuve que j'explique intuitivement!
Je me doutais bien que Hutch n'était pas le cerveau du duo...
Après les maths de grand papi, les polygones de mémère…
La surface est l'objet, le nombre qui mesure sa taille est l'aire. Est-ce moi qui suis dans l'erreur ?
Oui techniquement surface c'est l'objet, aire c'est la mesure. Dans l'usage (c'est à dire l'utilisation non technique) on amalgame les termes surface superficie et aire. Ca m'arrive d'être informel :)
Comprends pas. Si 2 trucs ont strictement le même volume, tu peux forcément changer l'un en l'autre. En faisant des découpes suffisamment petites, voire infiniment petites. Je vois pas pourquoi ça serait pas possible : 1l d'eau, c'est 1l d'eau. Quelle que soit la forme du bidon.
C'est avec un nombre fini de pièces que c'est impossible. (pièces au sens découpe, c'est a dire le sens intuitif).
@@PasseScience càd qu'il y a une division quelque part qui ne tombe pas rond...ok. Bon, j'en suis qu'au début : je poursuis la vidéo. Ton toi du mois dernier l'explique peut-être très bien dans la suite 😆
C'est mal, l'axiome du choix : ça permet de fabriquer des ensembles non mesurables.
Oui, mais on a pas le choix.
Tu m'as perdu avec les ensembles de Vitali...
C'est pas facile c'est sur. Je peux aider mais il faut en avoir envie et si l'envie est la il suffit de m'indiquer la première phrase ou tu décroches.
@@PasseScience grosso modo à la base, à 10:30... Désolé. Pourtant....
Je vais aller un peu a contre courant de la majorité des commentaires, mais je ne suis pas convaincu par ce genre de démonstration reposant sur des outils fortement remis en question par une partie de la communauté mathématique (en particulier, les démonstrations qui utilisent les propriétés supposées des ensembles infinis). Ce que j'ai appris en mathématiques, c'est une certaine rigueur, qui permet de montrer que si un résultat est absurde, cela signifie que le raisonnement n'est pas parfait, ou contient des erreurs. Banach-Tarski est pour moi un non sens total (car 1 ne vaut pas 2), tout comme "la somme des entiers = -1/12" (car cette somme diverge) ou encore, toutes les démonstrations fallacieuses a base de division par 0, etc. Concernant le problème décrit dans cette vidéo, je pense que quel que soit le type de découpage effectué (par découpe ou par ensemble), l'argument donné en début de vidéo concernant les courbures internes et externes reste valable en considérant les formes convexes des pièces obtenues (même après 10^50 découpes). Pour finir, la vidéo est très intéressante, mais je vais plutôt m'amuser à chercher de plus près l'erreur de raisonnement, plutôt que de l'accepter car "un mathématicien a dit que c'est vrai, et c'est trop compliqué de prouver qu'il y a une erreur"
Hello, il semble y avoir qq invompréhension sur comment marchent les maths depuis Gödel (notamment ce qu'est un axiome etc...) mais je prefere sauter à plus concret: *Banach-Tarski est pour moi un non sens total (car 1 ne vaut pas 2)* Je me permet une question plus simple. Je prend une droite, je lui donne une graduation, et je considère dessus les points dont les graduations correspondant aux entiers naturels. (je considère donc la demi droite discrète des entiers naturels) C'est un ensemble infini de points. Je détache les 10 premiers points (je les met de cote) et je translate ce qu'il reste pour mettre le 11eme points la ou le 1er se trouvait avant. Ici on est bien d'accord que j'ai retiré 10 points mais ce qu'il reste est identique à ce que j'avais avant sans les retirer? Maintenant on peut faire la même chose mais sur un cercle: enroulez sur un cercle la demi droite discrète des entiers mais en faisant en sorte qu'on ne retombe jamais sur le même point (il suffit de prendre le rapport entre le pas entre chaque point et le périmètre du cercle irrationnel). Ça donne aussi un ensemble infini de points enroulé sur le cercle. Je retire les 10 premiers je les met de cote. Je vais tourner le nuage de point restant pour mettre le 11eme point la ou se trouvait le premier. Ici on est bien d'accord que j'ai retiré 10 points mais ce qu'il reste est identique à ce que j'avais avant sans les retirer? Banach Tarski fonctionne essentiellement sur ce principe, mais ici on a qu'une rotation alors que pour que Banach Tarski marche il faut en avoir 2 et enrouler une grille sur une sphère (et non une demi droite discrète sur un cercle). C'est très étonnant et c'est paradoxalement très abordable donc je ne peux que vous inviter à voir comment Banach Tarski se démontre (Cf vidéos suggérées). Vous trouverez aussi pas mal de chose sur l'utilisation dans Banach Tarski de l'axiome du choix et de savoir si c'est bien ou pas mais j’attire votre attention que ce qui est choquant dans Banach Tarski c'est bien de faire 2 ensembles depuis 1 seul identique à chaque (tout en découpant en un nombre fini de pièces), l'axiome du choix permet de faire en sorte que ces ensembles soient des boules, mais sans axiomes du choix on peut dupliquer certains nuages de points, en utilisant le principe que j'ai illustré ci dessus, on peut enrouler des infinis et par rotation faire en sorte qu'un point prenne la place du précédent etc... ça permet de retirer des points sans qu'il n'en manque et ce principe qui permet des duplications paradoxales. *tout comme "la somme des entiers = -1/12"* Votre critique sur Banach Tarski et votre critique sur cet autre point sont de natures très différentes. Dans le cas Banach Tarski vous êtes sceptique (on peut même dire légitimement) a propos d'un résultat démontré mais très contre intuitif et paradoxal, alors que sur ce second point vous attribuez plutôt des propos aux mathématiciens qu'ils n'ont en fait jamais tenu. Ici vous prenez pour argent comptant une formulation un peu sensationnaliste d'un résultat mathématique mais ce n'est pas vraiment ça le résultat mathématique. Du coup ça n'a rien a voir avec votre premier critique. Il y a bien une raison pour laquelle les gros titres et même certains mathématiciens le formulent ainsi (somme des entiers = -1/12) mais c'est un raccourci (rigoureusement c'est faux), le résultat brut n'a aucun intérêt en soit car le vrai résultat mathématique c'est le chemin qui y mène. C'est a dire notamment savoir ce qu'est la fonction Zeta de Reiman, et ce qu'est un prolongement. Une bonne introduction la dessus c'est cette vidéo: kzhead.info/sun/l7KplLGReWqmjas/bejne.html le résultat étonnant mathématiquement c'est qu'on défini une fonction à base de somme, qui comme vous le dites n'est parfois pas définie (ça diverge) mais on constate que bizarrement il semble y avoir une unique bonne manière de la prolonger et que lorsqu'on le fait, ce qui "devrait être" la somme des entiers vaut -1/12. Une autre superbe vidéo sur zêta et pourquoi elle a un "bon prolongement" se trouve ici: kzhead.info/sun/pqhpfs6arqOijK8/bejne.html et du coup le vrai résultat mathématique c'est ça, et non le résultat sensationnaliste abusivement formulé que la somme des entiers vaut -1/12. Ce domaine la est passionnant (cf les deux vidéos) et il y a beaucoup plus de chance que ça vous plaise et que vous acceptiez la chose que dans le cas de Banach Tarski (qu'il est totalement légitime de refuser de prime abord). *je vais plutôt m'amuser à chercher de plus près l'erreur de raisonnement, plutôt que de l'accepter car "un mathématicien a dit que c'est vrai* Et je vous y encourage!, ça devrait être le cas de tout le monde! si je donne des détails assez poussés de démonstration c'est bien pour qu'on y réfléchisse, si mon objectif était qu'on admette je pourrais faire bien plus court. :)
@@PasseScience je viens de me relire, et je me rends compte que j'ai peut etre eu l'air un peu arrogant (surement). Je vais tenter d'exprimer plus clairement ce qui me pose probleme ici. Tout d'abord, je ne suis pas scientifique de metier, mais plutot un amateur passionné de mathematiques, et il y a de nombreuses choses qui me dépassent. Concernant B-T, je ne veux pas remettre en cause le raisonnement dans la demonstration, mais plutot les outils utilisés. Je me pose ces questions car le resultat n'est pas seulement contre intuitif, mais insensé. L'accepter comme une vérité revient a dire que ce resultat peut etre utilisé pour dire que le volume d'une boule est egal au volume de 2 boules, soit 1=2. Dans ce genre de situation, on peu soit accepter que le resultat est incroyable, soit questionner la validité du raisonnement. Pour reprendre un exemple de Bruce d'e-penser, si on me dit que "lorsqu'il y a du vent, je contate toujours que l'eolienne tourne, alors l'eolienne produit du vent", je trouve legitime de questionner le raisonnement. Pour le -1/12, je parlais surtout de la demonstration fallacieuse initiée maladroitement par Numberphile, sans contexte, et massivement relayée par la suite. Cette demonstration repose aussi sur l'element qui me pose probleme (j'y viens!) "Retirer un nombre d'éléments fini a un ensemble d'element infini ne modifie pas l'ensemble" ? Non, je ne suis pas d'accord, et pour une raison toute simple : ca ouvre la porte a toutes sorte de resultats surrealistes et contradictoires. Accepter qu'un ensemble d'éléments infinis est equivalent a ce meme ensemble auquel on retire un nombre fini d'éléments signifie qu'on peut les soustraire, et que par consequent, l'ensemble vide est egal a l'ensemble des points qu'on a retiré. Pour cette meme raison, je ne peut pas etre d'accord avec le decalage des points enroulés sur un cercle : le concept du decalage d'une suite de points est de decaler le point de depart et le point d'arrivée d'une liste de points. Or, si une liste de points a une longueur infinie, il n'y a pas de "dernier point". Le decalage est donc une operation impossible (ou du moins, elle ne devrait pas l'etre) Je ne comprend vraiment pas pourquoi cette operation devrait etre supposée vraie : on peu "magiquement" creer ou faire disparaitre des elements a partir d'un ensemble d'elements infinis, et j'ai l'impression d'etre la seule personne que ca choque ^^'
@@cyrilleconte4363 *je ne veux pas remettre en cause le raisonnement dans la démonstration, mais plutôt les outils utilisés* Ca à mon avis ca meriterait une petite mise à plat du fondement des maths (Axiomes tout ca tout ca) mais c'est trop long à faire en texte, peut etre en vocals sur whatsapp ou messenger *revient a dire que ce resultat peut etre utilisé pour dire que le volume d'une boule est egal au volume de 2 boules* Alors non justement, car si vous avez suivit ce que j'explique dans l'episode, vous parlez ici de "volume" c'est une notion de mesure (au sens mathematique du terme que j'explique dans l'episode. On peut demontrer que certains ensembles de points n'ont pas de mesure (qu'il est impossible de definir la notion) voir la demo de la video sur les ensembles de vitali. Dans banach tarski les pieces sont dans ce cas, ce sont des ensembles non measurables, il n'y a pas de maniere de parler de leur volume et du coup BT n'implique pas ce que vous decrivez. *on peut soit accepter que le resultat est incroyable, soit questionner la validité du raisonnement* Comme je l'ai dit je vous encourage grandement à regarder le raisonnement et à le questionner, je dirais que c'est dailleurs la trajectoire de tout passionnés de math lorsqu'il croise banach tarski, refuser d'y croire avant de voir le raisonnement soit meme. C'est ce que j'ai personnellement fait, une fois qu'on a vu le raisonnement c'est enfin moins dingue qu'on ne pense. J'attire aussi votre attention sur le fait que vous parlez beaucoup d'intuition et de rapport à la realite, mais n'oubliez pas qu'un espace continu mathematique comme les reels c'est un espace tres abstrait et qui n'a pas vraiment de rapport avec quoi que ce soit d'intuitif, BT ou pas BT, c'est infini, infiniement divisible, autosimilaire à toute echelle, et comme je le disais recemment à qq la majorite des points de la droite des reels vous ne pouvez meme pas les designer ou les definir (Car pour designer ou definir qq chose il faut une definition qui est homogene grossomodo à un texte fini, il y en a une infinite denombrable, mais il y a une infinite non demombrable de point, donc en tres grand majorite il ne sont meme pas definissables). Et donc au final B-T revele surtout des comportements etranges de ces objects mathematique abstrait que sont les espaces continus qui n'ont en fait pas du tout les proprietes intuitives qu'on aimerait qu'ils aient *je parlais surtout de la demonstration fallacieuse initiée maladroitement par Numberphile* Je vous invite a plutot regarder les videos que je suggere sur la fonction Zeta. *"Retirer un nombre d'éléments fini a un ensemble d'element infini ne modifie pas l'ensemble" ? Non, je ne suis pas d'accord,* Alors ce n'est pas exactement la question j'ai posé, je n'ai pas juste dit qu'on riterait n'importe quoi n'importe comme à un ensemble qcq, j'ai donné un exemple precis. Cet exemple etait la demi droite discrete des entiers, je retirais les 10 premiers et ensuite je faisait une translation du reste pour que le 11eme points occupe la place du 1er point (qui fait partie des points retiré) et du coup le 12em point prend la place de l'ancien 2eme, le 13eme prend la place de l'ancien 3eme etc... Au final ce qu'il me reste apres soustraction des 10 premiers points puis translation, est identique à l'ensemble original. Sinon je vous invite a me dire quel point il manque. *le concept du decalage d'une suite de points est de decaler le point de depart* Je n'aime pas le mot decalage, ici je faisais subir des transformation à tous les points, de maniere independante. Translater une forme c'est translater chacun de ces points, rotater une forme c'est rotater chacun de ces points. Et bien dans les exemples que je donnais c'est ce que je faisais. *on peu "magiquement" creer ou faire disparaitre des elements a partir d'un ensemble d'elements infinis, et j'ai l'impression d'etre la seule personne que ca choque* Je reformulerais plutot que c'est une propriete de l'infini qui ne vous plait pas, et du coup vous en avez le droit, mais c'est en dehors des concepts de vrais et de faux, ici c'est plutot une sorte de critique des fondements mathematiques ou du cadre axiomatiques que vous trouvez pertinent. Il y a des cadres mathematiques differents qui restreignent les axiomes usuels, et refusent par exemple d'utiliser l'axiome du choix ou l'axiome de l'infini qui vous pose probleme. Mais comme je le disais au depart, tout ceci necessiterait une mise à plat de ce qu'est un cadre mathematique, des axiomes, la notion de verite, de demonstrabilite etc... et comme je le disais le faire par texte serait un peu trop long, mais en vocals à l'occasion si ca vous chante.
@@PasseScience Oh... cette histoire de volume m'a effectivement échappé : je croyais qu'il était sous entendu que les 2 boules formées dans le résultat étaient "en tout point identiques" a la boule de départ, volume inclus, en passant par des étapes impliquant des ensembles intermédiaires non mesurables. Ça change beaucoup de choses. Cependant, l'étape des rotations des ensembles me chagrine : en ajoutant une rotation a chaque point de l'ensemble, et en affirmant que le résultat de cette rotation contient les mêmes points qu'un autre ensemble défini différemment et est par conséquent équivalent, je refuse ! et j'insiste : ce n'est pas que je ne comprend pas, je refuse juste cette équivalence : les ensembles ont l'air de se ressembler, chaque élément de chaque ensemble se trouve dans l'autre, mais malgré tout, je pense que ça ne marche pas, car ce raisonnement engendre des paradoxes. Au final, je crois que mon souci se résume a accepter ces axiomes liés a l'infini : j'ai bien comprit que les mathématiques ne sont qu'un "jeu" dont les axiomes sont les règles de base, qu'il n'y a pas a les prouver ou a les remettre en cause, tant qu'elles n'entrent pas en contradiction les unes avec les autres. Ajouter une nouvelle règle n'est pas un problème, mais j'ai franchement du mal avec celle la, au vu des étranges résultats qu'elle engendre. (et j'en vient a me demander si ces axiomes ne finissent pas par engendrer des contradictions avec les autres) Pour ce qui est de discuter, je ne pense pas avoir grand chose a dire de plus. j'ai très bien comprit ce qui est expliqué, je refuse juste d'accepter ces résultats tels quels. Peut être qu'ils sont utiles dans certains contextes (en acceptant d'avoir recours a ces axiomes)
@@cyrilleconte4363 *je croyais qu'il était sous entendu que les 2 boules formées dans le résultat étaient "en tout point identiques" a la boule de départ, volume inclus* C'est le cas, les deux boules finales sont identiques à la boule initiale INTERIEUR inclus (ne pas dire volume ici, sinon on confond avec la notion de mesure). Si vous pensez que j'ai dit le contraire dans mon précédent message c'est que je me suis mal exprimé. Ce que je disais c'est que le volume (la mesure mathématique) entre le départ et l'arrivé double bien, MAIS que ce n'est pas un problème parce qu'au niveau des intermédiaires les pièces n'ont pas de volumes (je parle de la mesure pas d'interieur). En gros on ne passe pas de 1 à 2, on passe de 1 à indéfini puis à 2 et c'est une différence importante. *les ensembles ont l'air de se ressembler, chaque élément de chaque ensemble se trouve dans l'autre* Alors du coup c'est pas "ont l'air", si on retrouve les éléments de chacun dans l'autre ces ensembles sont identiques par DEFINITION, ce n'est pas une démonstration c'est une définition (axiomatique) de ce que deux ensembles identiques sont. *ce n'est pas que je ne comprend pas, je refuse juste cette équivalence...car ce raisonnement engendre des paradoxes* Oui c'est bien ce que je disais c'est une objection de cadre axiomatique, de fondement de la théorie dans laquelle on se place, mais elle est maladroite car je pense que vous ne voyez pas bien les notions de théorie mathématique, d'axiomes, de vrai et de faux, de démontrabilité etc... (la formalisation moderne des maths depuis Godel) *Au final, je crois que mon souci se résume à accepter ces axiomes liés à l'infini* Oui c'est ça. A priori c'est la seule solution à vos tracas, changer le système axiomatique. *j'ai bien comprit que les mathématiques ne sont qu'un "jeu" dont les axiomes sont les règles de base, qu'il n'y a pas à les prouver ou à les remettre en cause, tant qu'elles n'entrent pas en contradiction les unes avec les autres* Oui c'est ca, le truc à comprendre c'est qu'il faut sortir de la vue classique qui consiste à penser que dans l'univers des concepts abstraits il existe des vérités objectives et universelles qu'on pourrait démontrer grâce à un outil que les maths seraient. En fait, il n'y a aucune vérité définissable si vous ne stipulez pas avant l'ensemble des axiomes que vous postulez, le vrai n'est pas universel mais uniquement relatif à cet ensemble d'axiomes qu'on appelle théorie. Il faut bien comprendre ici que ya pas de bon ensemble d'axiomes ou de mauvais ensembles d'axiomes (du moment qu'ils ne sont pas contradictoires) il y a juste des choix totalement arbitraire à faire et généralement on les fait pour que ce qui en découle soit utile ou trouve une forme d'analogie avec des trucs concrets. Banach Tarski par exemple a suscité des réactions comme la vôtre mais plutôt sur l'axiome du choix que l'axiome de l'infini, certains mathématiciens constataient que ce qu'on pouvait démontrer SANS ERREUR avec, à savoir Banach Tarski, était trop bizarre pour qu'on puisse trouver pertinent de choisir l'axiome du choix en plus des axiomes ZF. Mais comme je l'ai dit dans mon premier commentaire, le caractère bizarre dans BT, celui qui permet de doubler une forme, est le meme sans l'axiome du choix (lui ne permet que de passer d'une forme bizarre à le faire avec une boule), et du coup c'est plutôt l'axiome de l'infini qui vous deplait ici. Mais le truc à saisir c'est que c'est ici en dehors de notion de vrai ou de faux ou d'erreur, l'axiome il est ni vrai ni faux, c'est un choix arbitraire (c'est frustrant mais c'est ainsi que sont les maths). On reboucle comme je vous metait en garde sur le fait que ces étrangetés viennent surtout des espaces continus qu'on a l'impression de comprendre mais qui rigoureusement (tels quils sont mathematiquement definis) sont des objets totalement monstrueux aux conséquences plus qu'etrange. *j'ai très bien comprit ce qui est expliqué, je refuse juste d'accepter ces résultats tels quels* Ça c'est une autre formulation qui revient sur une vu classique(erronée) de la vérité dans les résultats mathématiques. Rigoureusement ici, dans le cadre de la theorie ZFC (en gros toutes nos maths usuels) c'est rigoureusement demontré et donc vrai (il y des subtilites entre vrai et demontrable que je ne detaille pas ici). Il ne faut pas le voir comme comme un resultat universel mais comme une implication "si les axiomes de ZFC alors BT" et le truc à saisir c'est qu'on ne peut voir une propriete mathematique QUE ainsi sous la forme d'une implication "tel ensemble d'axiome implique ou non la propriete" une propriete ne peut pas s'evaluer en dehors d'un cadre arbitrairement choisi. Du coup ici c'est ce choix arbitraire, cette construction abstraite, la base, que vous attaquez via une argumentation non mathematique (mais legitime. c'est le travail des mathematiciens theoriciens) assez subjective et qui consiste à dire "ce que la theorie implique etre trop bizare, je prefere la refondre pour impliquer moins de truc tordu" c'est potentiellement legitime mais c'est en dehors des notions de vrai et de faux et ca n'a rien a voir avec une erreur de demonstration. Mais vous pouvez aussi douter de l'implication zfc implique bt (en imaginant une erreur) mais ce sont deux objection de nature différentes